图形王国思维导图

# 《图形王国思维导图》

## 一、基础图形认知

### A. 点

*   **定义:** 空间中的一个位置，无大小，无形状。
*   **性质:** 是构成所有图形的基本元素。
*   **表示:** 通常用小圆点表示，并用大写字母标记，如点A。
*   **应用:** 坐标系中的坐标点，几何作图的定位点。

### B. 线

*   **定义:** 点的运动轨迹。
*   **分类:**
    *   直线: 两点之间最短的距离，可以无限延伸。
        *   **表示:** 直线AB，直线BA，直线l。
        *   **性质:** 两点确定一条直线。
    *   射线: 直线的一部分，只有一个端点，可以向一个方向无限延伸。
        *   **表示:** 射线OA，端点字母必须写在前面。
        *   **性质:** 端点和方向决定射线。
    *   线段: 直线的一部分，有两个端点，长度有限。
        *   **表示:** 线段AB，线段BA。
        *   **性质:** 可以测量长度，是构成图形的边。
    *   曲线: 非直的线。
        *   **举例:** 圆，椭圆，抛物线。
        *   **性质:** 复杂的形状，变化多样。

### C. 角

*   **定义:** 有公共端点的两条射线组成的图形。
*   **组成:** 顶点，两条边。
*   **分类:**
    *   锐角: 大于0°小于90°的角。
    *   直角: 等于90°的角。
    *   钝角: 大于90°小于180°的角。
    *   平角: 等于180°的角，相当于一条直线。
    *   周角: 等于360°的角。
*   **度量:** 用量角器测量，单位是度 (°)。
*   **关系:**
    *   互余: 两角之和等于90°。
    *   互补: 两角之和等于180°。

## 二、平面图形

### A. 三角形

*   **定义:** 由三条线段首尾顺次相连组成的封闭图形。
*   **组成:** 三条边，三个角，三个顶点。
*   **分类:**
    *   按角分:
        *   锐角三角形: 三个角都是锐角。
        *   直角三角形: 有一个角是直角。
        *   钝角三角形: 有一个角是钝角。
    *   按边分:
        *   不等边三角形: 三边都不相等。
        *   等腰三角形: 有两条边相等。
            *   等边三角形: 三条边都相等，也叫正三角形。
*   **性质:**
    *   三角形内角和等于180°。
    *   任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
    *   大角对大边，小角对小边。
*   **特殊线段:**
    *   中线: 连接顶点和对边中点的线段。
    *   高线: 从顶点到对边作的垂线段。
    *   角平分线: 平分一个内角的射线与对边相交形成的线段。
*   **面积:** 1/2 * 底 * 高。
*   **周长:** 三边之和。

### B. 四边形

*   **定义:** 由四条线段首尾顺次相连组成的封闭图形。
*   **组成:** 四条边，四个角，四个顶点。
*   **分类:**
    *   平行四边形: 两组对边分别平行且相等。
        *   性质: 对角相等，邻角互补。
    *   矩形: 有一个角是直角的平行四边形。
        *   性质: 对角线相等。
    *   菱形: 四条边都相等的平行四边形。
        *   性质: 对角线互相垂直平分。
    *   正方形: 四条边都相等，四个角都是直角的四边形，是特殊的矩形和菱形。
    *   梯形: 只有一组对边平行的四边形。
        *   等腰梯形: 两腰相等的梯形。
        *   直角梯形: 有一个角是直角的梯形。
*   **面积:**
    *   平行四边形: 底 * 高。
    *   矩形: 长 * 宽。
    *   菱形: 1/2 * 对角线1 * 对角线2。
    *   梯形: 1/2 * (上底 + 下底) * 高。
*   **周长:** 四边之和。

### C. 圆

*   **定义:** 平面上到定点距离等于定长的所有点的集合。
*   **组成:** 圆心，半径，直径。
*   **关系:** 直径是半径的两倍。
*   **周长:** 2 * π * 半径 (C = 2πr)。
*   **面积:** π * 半径的平方 (S = πr²)。
*   **弧:** 圆周上任意两点之间的部分。
*   **扇形:** 由圆心角所对的弧和两半径围成的图形。
    *   **面积:** (圆心角/360°) * π * 半径的平方。
    *   **弧长:** (圆心角/360°) * 2 * π * 半径。

## 三、立体图形

### A. 长方体

*   **定义:** 由六个面组成的，每个面都是矩形的立体图形。
*   **组成:** 六个面，十二条棱，八个顶点。
*   **性质:** 对面相等，相对的棱相等。
*   **体积:** 长 * 宽 * 高。
*   **表面积:** 2 * (长 * 宽 + 长 * 高 + 宽 * 高)。

### B. 正方体

*   **定义:** 由六个完全相同的正方形组成的正多面体。
*   **组成:** 六个面，十二条棱，八个顶点。
*   **性质:** 六个面都是正方形，十二条棱都相等。
*   **体积:** 棱长 * 棱长 * 棱长 (棱长³)。
*   **表面积:** 6 * 棱长 * 棱长 (6 * 棱长²)。

### C. 圆柱

*   **定义:** 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的几何体。
*   **组成:** 两个底面 (圆形)，一个侧面 (曲面)。
*   **性质:** 两个底面是完全相同的圆。
*   **体积:** π * 底面半径的平方 * 高 (πr²h)。
*   **侧面积:** 底面周长 * 高 (2πrh)。
*   **表面积:** 侧面积 + 2 * 底面积 (2πrh + 2πr²)。

### D. 圆锥

*   **定义:** 以直角三角形的一条直角边为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的几何体。
*   **组成:** 一个底面 (圆形)，一个侧面 (曲面)，一个顶点。
*   **体积:** 1/3 * π * 底面半径的平方 * 高 (1/3 πr²h)。

## 四、图形变换

### A. 平移

*   **定义:** 图形上的所有点都沿相同方向移动相同距离。
*   **性质:** 图形的大小和形状不变，只是位置发生改变。

### B. 旋转

*   **定义:** 图形绕着一个定点旋转一定角度。
*   **性质:** 图形的大小和形状不变，只是位置和方向发生改变。

### C. 轴对称

*   **定义:** 如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形。
*   **性质:** 对应点到对称轴的距离相等，对应线段相等，对应角相等。
*   **对称轴:** 折叠时重合的直线。

### D. 中心对称

*   **定义:** 如果一个图形绕着一个点旋转180°后，能够与原来的图形完全重合，这个图形就叫做中心对称图形。
*   **性质:** 对应点到对称中心的距离相等，对应线段平行且相等，对应角相等。
*   **对称中心:** 旋转的定点。

《图形王国思维导图》

一、基础图形认知

A. 点

定义: 空间中的一个位置，无大小，无形状。
性质: 是构成所有图形的基本元素。
表示: 通常用小圆点表示，并用大写字母标记，如点A。
应用: 坐标系中的坐标点，几何作图的定位点。

B. 线

定义: 点的运动轨迹。
分类:
- 直线: 两点之间最短的距离，可以无限延伸。
  - 表示: 直线AB，直线BA，直线l。
  - 性质: 两点确定一条直线。
- 射线: 直线的一部分，只有一个端点，可以向一个方向无限延伸。
  - 表示: 射线OA，端点字母必须写在前面。
  - 性质: 端点和方向决定射线。
- 线段: 直线的一部分，有两个端点，长度有限。
  - 表示: 线段AB，线段BA。
  - 性质: 可以测量长度，是构成图形的边。
- 曲线: 非直的线。
  - 举例: 圆，椭圆，抛物线。
  - 性质: 复杂的形状，变化多样。

C. 角

定义: 有公共端点的两条射线组成的图形。
组成: 顶点，两条边。
分类:
- 锐角: 大于0°小于90°的角。
- 直角: 等于90°的角。
- 钝角: 大于90°小于180°的角。
- 平角: 等于180°的角，相当于一条直线。
- 周角: 等于360°的角。
度量: 用量角器测量，单位是度 (°)。
关系:
- 互余: 两角之和等于90°。
- 互补: 两角之和等于180°。

二、平面图形

A. 三角形

定义: 由三条线段首尾顺次相连组成的封闭图形。
组成: 三条边，三个角，三个顶点。
分类:
- 按角分:
  - 锐角三角形: 三个角都是锐角。
  - 直角三角形: 有一个角是直角。
  - 钝角三角形: 有一个角是钝角。
- 按边分:
  - 不等边三角形: 三边都不相等。
  - 等腰三角形: 有两条边相等。
    - 等边三角形: 三条边都相等，也叫正三角形。
性质:
- 三角形内角和等于180°。
- 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
- 大角对大边，小角对小边。
特殊线段:
- 中线: 连接顶点和对边中点的线段。
- 高线: 从顶点到对边作的垂线段。
- 角平分线: 平分一个内角的射线与对边相交形成的线段。
面积: 1/2 底高。
周长: 三边之和。

B. 四边形

定义: 由四条线段首尾顺次相连组成的封闭图形。
组成: 四条边，四个角，四个顶点。
分类:
- 平行四边形: 两组对边分别平行且相等。
  - 性质: 对角相等，邻角互补。
- 矩形: 有一个角是直角的平行四边形。
  - 性质: 对角线相等。
- 菱形: 四条边都相等的平行四边形。
  - 性质: 对角线互相垂直平分。
- 正方形: 四条边都相等，四个角都是直角的四边形，是特殊的矩形和菱形。
- 梯形: 只有一组对边平行的四边形。
  - 等腰梯形: 两腰相等的梯形。
  - 直角梯形: 有一个角是直角的梯形。
面积:
- 平行四边形: 底 * 高。
- 矩形: 长 * 宽。
- 菱形: 1/2 对角线1 对角线2。
- 梯形: 1/2 (上底 + 下底) 高。
周长: 四边之和。

C. 圆

定义: 平面上到定点距离等于定长的所有点的集合。
组成: 圆心，半径，直径。
关系: 直径是半径的两倍。
周长: 2 π 半径 (C = 2πr)。
面积: π * 半径的平方 (S = πr²)。
弧: 圆周上任意两点之间的部分。
扇形: 由圆心角所对的弧和两半径围成的图形。
- 面积: (圆心角/360°) π 半径的平方。
- 弧长: (圆心角/360°) 2 π * 半径。

三、立体图形

A. 长方体

定义: 由六个面组成的，每个面都是矩形的立体图形。
组成: 六个面，十二条棱，八个顶点。
性质: 对面相等，相对的棱相等。
体积: 长宽高。
表面积: 2 (长宽 + 长 高 + 宽 高)。

B. 正方体

定义: 由六个完全相同的正方形组成的正多面体。
组成: 六个面，十二条棱，八个顶点。
性质: 六个面都是正方形，十二条棱都相等。
体积: 棱长棱长棱长 (棱长³)。
表面积: 6 棱长棱长 (6 * 棱长²)。

C. 圆柱

定义: 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的几何体。
组成: 两个底面 (圆形)，一个侧面 (曲面)。
性质: 两个底面是完全相同的圆。
体积: π 底面半径的平方 高 (πr²h)。
侧面积: 底面周长 * 高 (2πrh)。
表面积: 侧面积 + 2 * 底面积 (2πrh + 2πr²)。

D. 圆锥

定义: 以直角三角形的一条直角边为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的几何体。
组成: 一个底面 (圆形)，一个侧面 (曲面)，一个顶点。
体积: 1/3 π 底面半径的平方 * 高 (1/3 πr²h)。

四、图形变换

A. 平移

定义: 图形上的所有点都沿相同方向移动相同距离。
性质: 图形的大小和形状不变，只是位置发生改变。

B. 旋转

定义: 图形绕着一个定点旋转一定角度。
性质: 图形的大小和形状不变，只是位置和方向发生改变。

C. 轴对称

定义: 如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形。
性质: 对应点到对称轴的距离相等，对应线段相等，对应角相等。
对称轴: 折叠时重合的直线。

D. 中心对称

定义: 如果一个图形绕着一个点旋转180°后，能够与原来的图形完全重合，这个图形就叫做中心对称图形。
性质: 对应点到对称中心的距离相等，对应线段平行且相等，对应角相等。
对称中心: 旋转的定点。

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