五年级上册数学思维导图1-8单元

# 《五年级上册数学思维导图1-8单元》

## 一、 小数乘法

### 1.1 小数乘整数

*   **意义:** 与整数乘法的意义相同，都是求几个相同加数的和的简便运算。
*   **计算方法:**
    *   先把小数扩大成整数；
    *   按整数乘法的方法计算；
    *   看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。
*   **注意事项:**
    *   积的小数位数不够时，在前面用0补足。
    *   计算后要进行验算，保证结果的准确性。
*   **应用:** 解决实际问题，例如计算物品总价、路程等。

### 1.2 小数乘小数

*   **意义:** 求一个数的几分之几或几倍是多少。
*   **计算方法:**
    *   先把小数扩大成整数；
    *   按整数乘法的方法计算；
    *   看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。
*   **注意事项:**
    *   积的小数位数不够时，在前面用0补足。
    *   积的末尾有0时，要去掉末尾的0，使结果最简。
*   **积的近似数:**
    *   用“四舍五入”法保留一定的小数位数。
    *   根据题目要求，保留到相应的数位。
*   **应用:** 复杂的小数乘法问题，例如计算土地面积、税费等。

### 1.3 乘法运算定律推广到小数

*   **定律:**
    *   乘法交换律: a × b = b × a
    *   乘法结合律: (a × b) × c = a × (b × c)
    *   乘法分配律: (a + b) × c = a × c + b × c
*   **应用:** 简便计算，提高计算效率。
*   **注意:** 判断是否可以使用运算定律进行简便计算。

### 1.4 解决问题

*   **策略:**
    *   理解题意，明确已知条件和所求问题。
    *   分析数量关系，列出算式。
    *   正确计算，并进行验算。
    *   检查答案是否符合实际情况。
*   **类型:**
    *   购物问题
    *   行程问题
    *   计算面积问题

## 二、 位置

### 2.1 用数对确定位置

*   **定义:** 用两个数表示平面上一个点的位置，第一个数表示列，第二个数表示行。
*   **表示方法:** (列, 行)
*   **规则:** 先横后纵，先列后行。
*   **应用:** 在地图上确定位置、在教室里确定座位等。

### 2.2 根据数对在方格纸上描点

*   **步骤:**
    *   确定方格纸上的原点。
    *   根据数对找到对应的列和行。
    *   在列和行的交点上描点。
*   **应用:** 绘制简单的图形、表示数据等。

## 三、 小数除法

### 3.1 除数是整数的小数除法

*   **计算方法:**
    *   按照整数除法的方法计算；
    *   商的小数点要与被除数的小数点对齐；
    *   如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添0继续除。
*   **注意事项:** 商的中间有0的情况，需要特别注意。

### 3.2 除数是小数的小数除法

*   **计算方法:**
    *   把除数变成整数；
    *   被除数也扩大相同的倍数；
    *   按照除数是整数的小数除法进行计算。
*   **转化:** 将除数是小数的除法转化为除数是整数的除法。
*   **小数点移动规则:**
    *   除数扩大多少倍，被除数也要扩大多少倍。

### 3.3 商的近似数

*   **求法:**
    *   除到要保留的位数多一位，然后用“四舍五入”法取近似值。
*   **取近似数方法:**
    *   四舍五入法、进一法、去尾法。
*   **应用:** 根据实际情况选择合适的取近似数的方法。

### 3.4 循环小数

*   **定义:** 一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。
*   **表示方法:** 在循环节的首位和末位数字上各点一个圆点，或者在循环节上方画一条横线。
*   **有限小数与无限小数:** 根据小数位数是否有限进行分类。
*   **循环节:** 循环小数的循环部分。

### 3.5 用计算器探索规律

*   **方法:** 利用计算器进行大量的计算，观察计算结果，发现规律。
*   **应用:** 寻找数字规律、解决实际问题。

### 3.6 解决问题

*   **策略:**
    *   理解题意，明确已知条件和所求问题。
    *   分析数量关系，列出算式。
    *   正确计算，并进行验算。
    *   检查答案是否符合实际情况。
*   **类型:**
    *   平均数问题
    *   归一问题
    *   单价、数量、总价问题

## 四、 简易方程

### 4.1 用字母表示数

*   **意义:** 用字母表示数可以简明地表达数量关系、运算定律和计算公式。
*   **规则:**
    *   字母和数字相乘，可以省略乘号，数字在前，字母在后。
    *   相同的字母相乘，可以写成幂的形式。
    *   1与字母相乘，1可以省略不写。
*   **应用:** 表示数量关系、计算公式等。

### 4.2 方程的意义

*   **定义:** 含有未知数的等式叫做方程。
*   **等式:** 表示相等关系的式子。
*   **方程与等式的关系:** 所有的方程都是等式，但等式不一定是方程。

### 4.3 解方程

*   **定义:** 求方程的解的过程叫做解方程。
*   **方程的解:** 使方程左右两边相等的未知数的值。
*   **等式的性质:**
    *   等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。
    *   等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果仍然是等式。
*   **常用解方程方法:**
    *   利用等式的性质解方程
    *   根据加减乘除各部分之间的关系解方程

### 4.4 列方程解决问题

*   **步骤:**
    *   弄清题意，找出未知数，并用字母表示。
    *   找出等量关系，列出方程。
    *   解方程，求出未知数的值。
    *   检验，看答案是否符合题意。
*   **类型:**
    *   和倍问题
    *   差倍问题
    *   年龄问题
    *   行程问题
    *   面积问题

## 五、 多边形的面积

### 5.1 平行四边形的面积

*   **公式:** S = ah (底×高)
*   **推导过程:** 通过割补法，将平行四边形转化成长方形。
*   **应用:** 计算平行四边形的面积、解决实际问题。

### 5.2 三角形的面积

*   **公式:** S = (1/2)ah (底×高÷2)
*   **推导过程:** 通过两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形。
*   **应用:** 计算三角形的面积、解决实际问题。

### 5.3 梯形的面积

*   **公式:** S = (a + b)h ÷ 2 ((上底 + 下底)×高÷2)
*   **推导过程:** 通过两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形。
*   **应用:** 计算梯形的面积、解决实际问题。

### 5.4 组合图形的面积

*   **方法:**
    *   分割法：将组合图形分割成几个简单的图形，分别计算面积，再求和。
    *   添补法：将组合图形添补成一个简单的图形，计算整体面积，再减去添补部分的面积。
*   **应用:** 灵活运用分割法和添补法解决实际问题。

### 5.5 不规则图形的面积

*   **方法:**
    *   数格子的方法：将不规则图形放在方格纸上，数出完整的格子数和不完整的格子数，估算出面积。
    *   分割法：将不规则图形分割成几个近似的规则图形，计算面积，再求和。
*   **估算技巧:** 尽可能精确地估算不完整的格子数。

## 六、 统计与可能性

### 6.1 可能性的大小

*   **事件的分类:**
    *   确定事件：一定会发生的事情（必然事件）和一定不会发生的事情（不可能事件）。
    *   不确定事件：可能发生也可能不发生的事情（随机事件）。
*   **可能性的大小:** 可能性的大小用概率表示，概率越大，可能性越大。
*   **计算简单事件的概率:** 概率 = (有利事件的数量) / (总事件的数量)

### 6.2 游戏公平性

*   **判断标准:** 游戏中每个参与者获胜的可能性是否相等。
*   **公平的游戏:** 游戏规则对每个参与者都是公平的，获胜的可能性相等。
*   **设计公平的游戏:** 通过调整游戏规则，使每个参与者获胜的可能性相等。

## 七、 数学广角——植树问题

### 7.1 植树问题基本模型

*   **不封闭图形:**
    *   两端都栽：棵数 = 间隔数 + 1
    *   一端栽，一端不栽：棵数 = 间隔数
    *   两端都不栽：棵数 = 间隔数 - 1
*   **封闭图形:** 棵数 = 间隔数

### 7.2 复杂植树问题

*   **变形问题:** 结合实际情况，灵活运用植树问题的基本模型。
*   **间隔数:** 总长度 ÷ 间隔长度

### 7.3 应用

*   **解决实际问题:** 公路植树、花园围栏等。
*   **注意:** 理解题意，明确是哪种植树模型。

## 八、 总复习

*   **小数乘除法:** 巩固小数乘除法的计算方法和应用。
*   **简易方程:** 巩固方程的意义、解方程和列方程解决问题。
*   **多边形的面积:** 巩固平行四边形、三角形和梯形的面积计算公式和应用。
*   **统计与可能性:** 巩固可能性的大小和游戏公平性的判断。
*   **植树问题:** 巩固植树问题的基本模型和应用。
*   **查漏补缺:** 针对薄弱环节进行重点复习。
*   **综合练习:** 进行综合练习，提高解题能力。

# 《五年级上册数学思维导图1-8单元》 ## 一、小数乘法 ### 1.1 小数乘整数 * **意义:** 与整数乘法的意义相同，都是求几个相同加数的和的简便运算。 * **计算方法:** * 先把小数扩大成整数； * 按整数乘法的方法计算； * 看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。 * **注意事项:** * 积的小数位数不够时，在前面用0补足。 * 计算后要进行验算，保证结果的准确性。 * **应用:** 解决实际问题，例如计算物品总价、路程等。 ### 1.2 小数乘小数 * **意义:** 求一个数的几分之几或几倍是多少。 * **计算方法:** * 先把小数扩大成整数； * 按整数乘法的方法计算； * 看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。 * **注意事项:** * 积的小数位数不够时，在前面用0补足。 * 积的末尾有0时，要去掉末尾的0，使结果最简。 * **积的近似数:** * 用“四舍五入”法保留一定的小数位数。 * 根据题目要求，保留到相应的数位。 * **应用:** 复杂的小数乘法问题，例如计算土地面积、税费等。 ### 1.3 乘法运算定律推广到小数 * **定律:** * 乘法交换律: a × b = b × a * 乘法结合律: (a × b) × c = a × (b × c) * 乘法分配律: (a + b) × c = a × c + b × c * **应用:** 简便计算，提高计算效率。 * **注意:** 判断是否可以使用运算定律进行简便计算。 ### 1.4 解决问题 * **策略:** * 理解题意，明确已知条件和所求问题。 * 分析数量关系，列出算式。 * 正确计算，并进行验算。 * 检查答案是否符合实际情况。 * **类型:** * 购物问题 * 行程问题 * 计算面积问题 ## 二、位置 ### 2.1 用数对确定位置 * **定义:** 用两个数表示平面上一个点的位置，第一个数表示列，第二个数表示行。 * **表示方法:** (列, 行) * **规则:** 先横后纵，先列后行。 * **应用:** 在地图上确定位置、在教室里确定座位等。 ### 2.2 根据数对在方格纸上描点 * **步骤:** * 确定方格纸上的原点。 * 根据数对找到对应的列和行。 * 在列和行的交点上描点。 * **应用:** 绘制简单的图形、表示数据等。 ## 三、小数除法 ### 3.1 除数是整数的小数除法 * **计算方法:** * 按照整数除法的方法计算； * 商的小数点要与被除数的小数点对齐； * 如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添0继续除。 * **注意事项:** 商的中间有0的情况，需要特别注意。 ### 3.2 除数是小数的小数除法 * **计算方法:** * 把除数变成整数； * 被除数也扩大相同的倍数； * 按照除数是整数的小数除法进行计算。 * **转化:** 将除数是小数的除法转化为除数是整数的除法。 * **小数点移动规则:** * 除数扩大多少倍，被除数也要扩大多少倍。 ### 3.3 商的近似数 * **求法:** * 除到要保留的位数多一位，然后用“四舍五入”法取近似值。 * **取近似数方法:** * 四舍五入法、进一法、去尾法。 * **应用:** 根据实际情况选择合适的取近似数的方法。 ### 3.4 循环小数 * **定义:** 一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。 * **表示方法:** 在循环节的首位和末位数字上各点一个圆点，或者在循环节上方画一条横线。 * **有限小数与无限小数:** 根据小数位数是否有限进行分类。 * **循环节:** 循环小数的循环部分。 ### 3.5 用计算器探索规律 * **方法:** 利用计算器进行大量的计算，观察计算结果，发现规律。 * **应用:** 寻找数字规律、解决实际问题。 ### 3.6 解决问题 * **策略:** * 理解题意，明确已知条件和所求问题。 * 分析数量关系，列出算式。 * 正确计算，并进行验算。 * 检查答案是否符合实际情况。 * **类型:** * 平均数问题 * 归一问题 * 单价、数量、总价问题 ## 四、简易方程 ### 4.1 用字母表示数 * **意义:** 用字母表示数可以简明地表达数量关系、运算定律和计算公式。 * **规则:** * 字母和数字相乘，可以省略乘号，数字在前，字母在后。 * 相同的字母相乘，可以写成幂的形式。 * 1与字母相乘，1可以省略不写。 * **应用:** 表示数量关系、计算公式等。 ### 4.2 方程的意义 * **定义:** 含有未知数的等式叫做方程。 * **等式:** 表示相等关系的式子。 * **方程与等式的关系:** 所有的方程都是等式，但等式不一定是方程。 ### 4.3 解方程 * **定义:** 求方程的解的过程叫做解方程。 * **方程的解:** 使方程左右两边相等的未知数的值。 * **等式的性质:** * 等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。 * 等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果仍然是等式。 * **常用解方程方法:** * 利用等式的性质解方程 * 根据加减乘除各部分之间的关系解方程 ### 4.4 列方程解决问题 * **步骤:** * 弄清题意，找出未知数，并用字母表示。 * 找出等量关系，列出方程。 * 解方程，求出未知数的值。 * 检验，看答案是否符合题意。 * **类型:** * 和倍问题 * 差倍问题 * 年龄问题 * 行程问题 * 面积问题 ## 五、多边形的面积 ### 5.1 平行四边形的面积 * **公式:** S = ah (底×高) * **推导过程:** 通过割补法，将平行四边形转化成长方形。 * **应用:** 计算平行四边形的面积、解决实际问题。 ### 5.2 三角形的面积 * **公式:** S = (1/2)ah (底×高÷2) * **推导过程:** 通过两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形。 * **应用:** 计算三角形的面积、解决实际问题。 ### 5.3 梯形的面积 * **公式:** S = (a + b)h ÷ 2 ((上底 + 下底)×高÷2) * **推导过程:** 通过两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形。 * **应用:** 计算梯形的面积、解决实际问题。 ### 5.4 组合图形的面积 * **方法:** * 分割法：将组合图形分割成几个简单的图形，分别计算面积，再求和。 * 添补法：将组合图形添补成一个简单的图形，计算整体面积，再减去添补部分的面积。 * **应用:** 灵活运用分割法和添补法解决实际问题。 ### 5.5 不规则图形的面积 * **方法:** * 数格子的方法：将不规则图形放在方格纸上，数出完整的格子数和不完整的格子数，估算出面积。 * 分割法：将不规则图形分割成几个近似的规则图形，计算面积，再求和。 * **估算技巧:** 尽可能精确地估算不完整的格子数。 ## 六、统计与可能性 ### 6.1 可能性的大小 * **事件的分类:** * 确定事件：一定会发生的事情（必然事件）和一定不会发生的事情（不可能事件）。 * 不确定事件：可能发生也可能不发生的事情（随机事件）。 * **可能性的大小:** 可能性的大小用概率表示，概率越大，可能性越大。 * **计算简单事件的概率:** 概率 = (有利事件的数量) / (总事件的数量) ### 6.2 游戏公平性 * **判断标准:** 游戏中每个参与者获胜的可能性是否相等。 * **公平的游戏:** 游戏规则对每个参与者都是公平的，获胜的可能性相等。 * **设计公平的游戏:** 通过调整游戏规则，使每个参与者获胜的可能性相等。 ## 七、数学广角——植树问题 ### 7.1 植树问题基本模型 * **不封闭图形:** * 两端都栽：棵数 = 间隔数 + 1 * 一端栽，一端不栽：棵数 = 间隔数 * 两端都不栽：棵数 = 间隔数 - 1 * **封闭图形:** 棵数 = 间隔数 ### 7.2 复杂植树问题 * **变形问题:** 结合实际情况，灵活运用植树问题的基本模型。 * **间隔数:** 总长度 ÷ 间隔长度 ### 7.3 应用 * **解决实际问题:** 公路植树、花园围栏等。 * **注意:** 理解题意，明确是哪种植树模型。 ## 八、总复习 * **小数乘除法:** 巩固小数乘除法的计算方法和应用。 * **简易方程:** 巩固方程的意义、解方程和列方程解决问题。 * **多边形的面积:** 巩固平行四边形、三角形和梯形的面积计算公式和应用。 * **统计与可能性:** 巩固可能性的大小和游戏公平性的判断。 * **植树问题:** 巩固植树问题的基本模型和应用。 * **查漏补缺:** 针对薄弱环节进行重点复习。 * **综合练习:** 进行综合练习，提高解题能力。

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