《五年级上册数学思维导图1-8单元》
一、 小数乘法
1.1 小数乘整数
- 意义: 与整数乘法的意义相同，都是求几个相同加数的和的简便运算。
- 计算方法:
- 先把小数扩大成整数；
- 按整数乘法的方法计算；
- 看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。
- 注意事项:
- 积的小数位数不够时，在前面用0补足。
- 计算后要进行验算，保证结果的准确性。
- 应用: 解决实际问题，例如计算物品总价、路程等。
1.2 小数乘小数
- 意义: 求一个数的几分之几或几倍是多少。
- 计算方法:
- 先把小数扩大成整数；
- 按整数乘法的方法计算；
- 看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。
- 注意事项:
- 积的小数位数不够时，在前面用0补足。
- 积的末尾有0时，要去掉末尾的0，使结果最简。
- 积的近似数:
- 用“四舍五入”法保留一定的小数位数。
- 根据题目要求，保留到相应的数位。
- 应用: 复杂的小数乘法问题，例如计算土地面积、税费等。
1.3 乘法运算定律推广到小数
- 定律:
- 乘法交换律: a × b = b × a
- 乘法结合律: (a × b) × c = a × (b × c)
- 乘法分配律: (a + b) × c = a × c + b × c
- 应用: 简便计算，提高计算效率。
- 注意: 判断是否可以使用运算定律进行简便计算。
1.4 解决问题
- 策略:
- 理解题意，明确已知条件和所求问题。
- 分析数量关系，列出算式。
- 正确计算，并进行验算。
- 检查答案是否符合实际情况。
- 类型:
- 购物问题
- 行程问题
- 计算面积问题
二、 位置
2.1 用数对确定位置
- 定义: 用两个数表示平面上一个点的位置，第一个数表示列，第二个数表示行。
- 表示方法: (列, 行)
- 规则: 先横后纵，先列后行。
- 应用: 在地图上确定位置、在教室里确定座位等。
2.2 根据数对在方格纸上描点
- 步骤:
- 确定方格纸上的原点。
- 根据数对找到对应的列和行。
- 在列和行的交点上描点。
- 应用: 绘制简单的图形、表示数据等。
三、 小数除法
3.1 除数是整数的小数除法
- 计算方法:
- 按照整数除法的方法计算；
- 商的小数点要与被除数的小数点对齐；
- 如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添0继续除。
- 注意事项: 商的中间有0的情况，需要特别注意。
3.2 除数是小数的小数除法
- 计算方法:
- 把除数变成整数；
- 被除数也扩大相同的倍数；
- 按照除数是整数的小数除法进行计算。
- 转化: 将除数是小数的除法转化为除数是整数的除法。
- 小数点移动规则:
- 除数扩大多少倍，被除数也要扩大多少倍。
3.3 商的近似数
- 求法:
- 除到要保留的位数多一位，然后用“四舍五入”法取近似值。
- 取近似数方法:
- 四舍五入法、进一法、去尾法。
- 应用: 根据实际情况选择合适的取近似数的方法。
3.4 循环小数
- 定义: 一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。
- 表示方法: 在循环节的首位和末位数字上各点一个圆点，或者在循环节上方画一条横线。
- 有限小数与无限小数: 根据小数位数是否有限进行分类。
- 循环节: 循环小数的循环部分。
3.5 用计算器探索规律
- 方法: 利用计算器进行大量的计算，观察计算结果，发现规律。
- 应用: 寻找数字规律、解决实际问题。
3.6 解决问题
- 策略:
- 理解题意，明确已知条件和所求问题。
- 分析数量关系，列出算式。
- 正确计算，并进行验算。
- 检查答案是否符合实际情况。
- 类型:
- 平均数问题
- 归一问题
- 单价、数量、总价问题
四、 简易方程
4.1 用字母表示数
- 意义: 用字母表示数可以简明地表达数量关系、运算定律和计算公式。
- 规则:
- 字母和数字相乘，可以省略乘号，数字在前，字母在后。
- 相同的字母相乘，可以写成幂的形式。
- 1与字母相乘，1可以省略不写。
- 应用: 表示数量关系、计算公式等。
4.2 方程的意义
- 定义: 含有未知数的等式叫做方程。
- 等式: 表示相等关系的式子。
- 方程与等式的关系: 所有的方程都是等式，但等式不一定是方程。
4.3 解方程
- 定义: 求方程的解的过程叫做解方程。
- 方程的解: 使方程左右两边相等的未知数的值。
- 等式的性质:
- 等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。
- 等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果仍然是等式。
- 常用解方程方法:
- 利用等式的性质解方程
- 根据加减乘除各部分之间的关系解方程
4.4 列方程解决问题
- 步骤:
- 弄清题意，找出未知数，并用字母表示。
- 找出等量关系，列出方程。
- 解方程，求出未知数的值。
- 检验，看答案是否符合题意。
- 类型:
- 和倍问题
- 差倍问题
- 年龄问题
- 行程问题
- 面积问题
五、 多边形的面积
5.1 平行四边形的面积
- 公式: S = ah (底×高)
- 推导过程: 通过割补法，将平行四边形转化成长方形。
- 应用: 计算平行四边形的面积、解决实际问题。
5.2 三角形的面积
- 公式: S = (1/2)ah (底×高÷2)
- 推导过程: 通过两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形。
- 应用: 计算三角形的面积、解决实际问题。
5.3 梯形的面积
- 公式: S = (a + b)h ÷ 2 ((上底 + 下底)×高÷2)
- 推导过程: 通过两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形。
- 应用: 计算梯形的面积、解决实际问题。
5.4 组合图形的面积
- 方法:
- 分割法：将组合图形分割成几个简单的图形，分别计算面积，再求和。
- 添补法：将组合图形添补成一个简单的图形，计算整体面积，再减去添补部分的面积。
- 应用: 灵活运用分割法和添补法解决实际问题。
5.5 不规则图形的面积
- 方法:
- 数格子的方法：将不规则图形放在方格纸上，数出完整的格子数和不完整的格子数，估算出面积。
- 分割法：将不规则图形分割成几个近似的规则图形，计算面积，再求和。
- 估算技巧: 尽可能精确地估算不完整的格子数。
六、 统计与可能性
6.1 可能性的大小
- 事件的分类:
- 确定事件：一定会发生的事情（必然事件）和一定不会发生的事情（不可能事件）。
- 不确定事件：可能发生也可能不发生的事情（随机事件）。
- 可能性的大小: 可能性的大小用概率表示，概率越大，可能性越大。
- 计算简单事件的概率: 概率 = (有利事件的数量) / (总事件的数量)
6.2 游戏公平性
- 判断标准: 游戏中每个参与者获胜的可能性是否相等。
- 公平的游戏: 游戏规则对每个参与者都是公平的，获胜的可能性相等。
- 设计公平的游戏: 通过调整游戏规则，使每个参与者获胜的可能性相等。
七、 数学广角——植树问题
7.1 植树问题基本模型
- 不封闭图形:
- 两端都栽：棵数 = 间隔数 + 1
- 一端栽，一端不栽：棵数 = 间隔数
- 两端都不栽：棵数 = 间隔数 - 1
- 封闭图形: 棵数 = 间隔数
7.2 复杂植树问题
- 变形问题: 结合实际情况，灵活运用植树问题的基本模型。
- 间隔数: 总长度 ÷ 间隔长度
7.3 应用
- 解决实际问题: 公路植树、花园围栏等。
- 注意: 理解题意，明确是哪种植树模型。
八、 总复习
- 小数乘除法: 巩固小数乘除法的计算方法和应用。
- 简易方程: 巩固方程的意义、解方程和列方程解决问题。
- 多边形的面积: 巩固平行四边形、三角形和梯形的面积计算公式和应用。
- 统计与可能性: 巩固可能性的大小和游戏公平性的判断。
- 植树问题: 巩固植树问题的基本模型和应用。
- 查漏补缺: 针对薄弱环节进行重点复习。
- 综合练习: 进行综合练习，提高解题能力。