直线与圆的方程思维导图高中

# 《直线与圆的方程思维导图高中》 ## 一、直线方程 ### 1. 直线的方程形式 * **点斜式:** `y - y₀ = k(x - x₀)` * 适用范围：已知斜率k和一点(x₀, y₀) * 注意：斜率不存在的情况(x = x₀)需要单独考虑，此时直线垂直于x轴 * **斜截式:** `y = kx + b` * 适用范围：已知斜率k和y轴截距b * 注意：斜率不存在的情况(x = x₀)需要单独考虑，且无法表示垂直于x轴的直线 * **两点式:** `(y - y₁)/(y₂ - y₁) = (x - x₁)/(x₂ - x₁)` * 适用范围：已知两点(x₁, y₁)和(x₂, y₂)且x₁≠x₂，y₁≠y₂ * 注意：不能表示垂直于x轴和水平于x轴的直线 * **截距式:** `x/a + y/b = 1` * 适用范围：已知x轴截距a和y轴截距b且a≠0，b≠0 * 注意：不能表示过原点的直线和垂直于坐标轴的直线 * **一般式:** `Ax + By + C = 0` * 适用范围：所有直线 (A, B不同时为0) * A=0时，直线平行于x轴或与x轴重合 * B=0时，直线平行于y轴或与y轴重合 * 优点：适用性最广，可统一表示各种直线 * 斜率：`k = -A/B` (B≠0时) * y轴截距：`b = -C/B` (B≠0时) * x轴截距：`a = -C/A` (A≠0时) ### 2. 直线的位置关系 * **平行:** `l₁: A₁x + B₁y + C₁ = 0`， `l₂: A₂x + B₂y + C₂ = 0` * `A₁/A₂ = B₁/B₂ ≠ C₁/C₂` 或 `k₁ = k₂且b₁≠b₂` （斜截式） * 重合：`A₁/A₂ = B₁/B₂ = C₁/C₂` 或 `k₁ = k₂且b₁=b₂`（斜截式） * **垂直:** `l₁: A₁x + B₁y + C₁ = 0`， `l₂: A₂x + B₂y + C₂ = 0` * `A₁A₂ + B₁B₂ = 0` 或 `k₁k₂ = -1` (斜率存在时) * **相交:** * `A₁/A₂ ≠ B₁/B₂` 或 `k₁≠k₂` (斜截式) ### 3. 点到直线的距离 * `点(x₀, y₀)到直线Ax + By + C = 0的距离：d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)` * **平行线间的距离：** `l₁: Ax + By + C₁ = 0`， `l₂: Ax + By + C₂ = 0` * `d = |C₁ - C₂| / √(A² + B²)` ### 4. 对称问题 * **点关于点的对称：** 利用中点坐标公式 * **点关于直线的对称：** * 利用中点在直线上 * 连接两点的直线与已知直线垂直 * **直线关于直线的对称：** * 在一条直线上任取两点，求出关于对称轴的对称点，再由两点式求出对称直线方程。 * 利用两直线夹角的角平分线（需要讨论角平分线是否为所求直线）。 ### 5. 直线束 * **平行直线系：** `y = kx + b` (k确定，b变化) 或 `Ax + By + C = 0` (A, B确定，C变化) * **过定点的直线系：** `y - y₀ = k(x - x₀)` (斜率变化，点(x₀, y₀)固定) * **交点式直线系：** `A₁x + B₁y + C₁ + λ(A₂x + B₂y + C₂) = 0` （包含l₂但不包含l₁） ## 二、圆的方程 ### 1. 圆的方程形式 * **标准方程:** `(x - a)² + (y - b)² = r²` * 圆心：(a, b) * 半径：r * 优点：直接看出圆心和半径 * **一般方程:** `x² + y² + Dx + Ey + F = 0` * 圆心：(-D/2, -E/2) * 半径：`r = √(D²/4 + E²/4 - F)` (D²/4 + E²/4 - F > 0) * 注意：只有当D²/4 + E²/4 - F > 0时，才表示圆的方程；否则表示点或不存在 * **直径式方程:** `(x - x₁)(x - x₂) + (y - y₁)(y - y₂) = 0` * 其中(x₁, y₁)和(x₂, y₂)是圆的一条直径的两个端点 ### 2. 点与圆的位置关系 * **点(x₀, y₀)在圆(x - a)² + (y - b)² = r² 外：** `(x₀ - a)² + (y₀ - b)² > r²` * **点(x₀, y₀)在圆(x - a)² + (y - b)² = r² 上：** `(x₀ - a)² + (y₀ - b)² = r²` * **点(x₀, y₀)在圆(x - a)² + (y₀ - b)² = r² 内：** `(x₀ - a)² + (y₀ - b)² < r²` ### 3. 直线与圆的位置关系 * **代数法 (判别式法):** 联立直线方程和圆的方程，消去一个变量，得到一元二次方程，判别式Δ： * Δ > 0：相交 (两个交点) * Δ = 0：相切 (一个交点) * Δ < 0：相离 (没有交点) * **几何法 (圆心到直线的距离):** 圆心到直线的距离d，半径r： * d < r：相交 (两个交点) * d = r：相切 (一个交点) * d > r：相离 (没有交点) ### 4. 圆与圆的位置关系 * **圆心距d，半径r₁, r₂：** * d > r₁ + r₂：外离 * d = r₁ + r₂：外切 * |r₁ - r₂| < d < r₁ + r₂：相交 * d = |r₁ - r₂|：内切 * d < |r₁ - r₂|：内含 ### 5. 切线方程 * **已知圆上一点 (x₀, y₀) 的切线方程：** * 圆：(x - a)² + (y - b)² = r²， 切线：`(x₀ - a)(x - a) + (y₀ - b)(y - b) = r²` * 圆：x² + y² = r²， 切线：`x₀x + y₀y = r²` * **已知斜率 k 的切线方程：** 设切线方程为 y = kx + b，利用圆心到直线的距离 d = r 求出 b，得到切线方程。 ### 6. 弦长问题 * **弦长公式：** 若直线与圆相交，交点为A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，弦长`|AB| = √((x₁ - x₂)² + (y₁ - y₂)²)` * **弦心距d，半径r，弦长l：** `l = 2√(r² - d²)` （利用勾股定理） * **中点弦问题:** 设中点为(x₀, y₀), 弦所在直线方程通常用点斜式表示，然后代入圆的方程，利用韦达定理求解。 ### 7. 圆系方程 * **过两圆交点的圆系方程：** `x² + y² + D₁x + E₁y + F₁ + λ(x² + y² + D₂x + E₂y + F₂) = 0` (λ ≠ -1，表示除第二个圆以外的所有圆) * **过直线与圆交点的圆系方程：** `x² + y² + Dx + Ey + F + λ(Ax + By + C) = 0` (λ为参数) ## 三、应用 ### 1. 数形结合思想 ### 2. 转化与化归思想 ### 3. 函数与方程思想 ### 4. 充分利用几何性质简化计算 ### 5. 参数方程（选修） ### 6. 极坐标方程（选修）

上一个主题： 西游记思维导图 下一个主题： 六上数学长方体与正方体思维导图