直线与圆的方程思维导图高中
《直线与圆的方程思维导图高中》
一、直线方程
1. 直线的方程形式
- 点斜式:
y - y₀ = k(x - x₀)
- 适用范围：已知斜率k和一点(x₀, y₀)
- 注意：斜率不存在的情况(x = x₀)需要单独考虑，此时直线垂直于x轴
- 斜截式:
y = kx + b
- 适用范围：已知斜率k和y轴截距b
- 注意：斜率不存在的情况(x = x₀)需要单独考虑，且无法表示垂直于x轴的直线
- 两点式:
(y - y₁)/(y₂ - y₁) = (x - x₁)/(x₂ - x₁)
- 适用范围：已知两点(x₁, y₁)和(x₂, y₂)且x₁≠x₂，y₁≠y₂
- 注意：不能表示垂直于x轴和水平于x轴的直线
- 截距式:
x/a + y/b = 1
- 适用范围：已知x轴截距a和y轴截距b且a≠0，b≠0
- 注意：不能表示过原点的直线和垂直于坐标轴的直线
- 一般式:
Ax + By + C = 0
- 适用范围：所有直线 (A, B不同时为0)
- A=0时，直线平行于x轴或与x轴重合
- B=0时，直线平行于y轴或与y轴重合
- 优点：适用性最广，可统一表示各种直线
- 斜率：
k = -A/B (B≠0时)
- y轴截距：
b = -C/B (B≠0时)
- x轴截距：
a = -C/A (A≠0时)
2. 直线的位置关系
- 平行:
l₁: A₁x + B₁y + C₁ = 0， l₂: A₂x + B₂y + C₂ = 0
A₁/A₂ = B₁/B₂ ≠ C₁/C₂ 或 k₁ = k₂且b₁≠b₂ （斜截式）- 重合：
A₁/A₂ = B₁/B₂ = C₁/C₂ 或 k₁ = k₂且b₁=b₂（斜截式）
- 垂直:
l₁: A₁x + B₁y + C₁ = 0， l₂: A₂x + B₂y + C₂ = 0
A₁A₂ + B₁B₂ = 0 或 k₁k₂ = -1 (斜率存在时)
- 相交:
A₁/A₂ ≠ B₁/B₂ 或 k₁≠k₂ (斜截式)
3. 点到直线的距离
点(x₀, y₀)到直线Ax + By + C = 0的距离：d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)- 平行线间的距离：
l₁: Ax + By + C₁ = 0， l₂: Ax + By + C₂ = 0
d = |C₁ - C₂| / √(A² + B²)
4. 对称问题
- 点关于点的对称： 利用中点坐标公式
- 点关于直线的对称：
- 直线关于直线的对称：
- 在一条直线上任取两点，求出关于对称轴的对称点，再由两点式求出对称直线方程。
- 利用两直线夹角的角平分线（需要讨论角平分线是否为所求直线）。
5. 直线束
- 平行直线系：
y = kx + b (k确定，b变化) 或 Ax + By + C = 0 (A, B确定，C变化)
- 过定点的直线系：
y - y₀ = k(x - x₀) (斜率变化，点(x₀, y₀)固定)
- 交点式直线系：
A₁x + B₁y + C₁ + λ(A₂x + B₂y + C₂) = 0 （包含l₂但不包含l₁）
二、圆的方程
1. 圆的方程形式
- 标准方程:
(x - a)² + (y - b)² = r²
- 圆心：(a, b)
- 半径：r
- 优点：直接看出圆心和半径
- 一般方程:
x² + y² + Dx + Ey + F = 0
- 圆心：(-D/2, -E/2)
- 半径：
r = √(D²/4 + E²/4 - F) (D²/4 + E²/4 - F > 0)
- 注意：只有当D²/4 + E²/4 - F > 0时，才表示圆的方程；否则表示点或不存在
- 直径式方程:
(x - x₁)(x - x₂) + (y - y₁)(y - y₂) = 0
- 其中(x₁, y₁)和(x₂, y₂)是圆的一条直径的两个端点
2. 点与圆的位置关系
- 点(x₀, y₀)在圆(x - a)² + (y - b)² = r² 外：
(x₀ - a)² + (y₀ - b)² > r²
- 点(x₀, y₀)在圆(x - a)² + (y - b)² = r² 上：
(x₀ - a)² + (y₀ - b)² = r²
- 点(x₀, y₀)在圆(x - a)² + (y₀ - b)² = r² 内：
(x₀ - a)² + (y₀ - b)² < r²
3. 直线与圆的位置关系
- 代数法 (判别式法): 联立直线方程和圆的方程，消去一个变量，得到一元二次方程，判别式Δ：
- Δ > 0：相交 (两个交点)
- Δ = 0：相切 (一个交点)
- Δ < 0：相离 (没有交点)
- 几何法 (圆心到直线的距离): 圆心到直线的距离d，半径r：
- d < r：相交 (两个交点)
- d = r：相切 (一个交点)
- d > r：相离 (没有交点)
4. 圆与圆的位置关系
- 圆心距d，半径r₁, r₂：
- d > r₁ + r₂：外离
- d = r₁ + r₂：外切
- |r₁ - r₂| < d < r₁ + r₂：相交
- d = |r₁ - r₂|：内切
- d < |r₁ - r₂|：内含
5. 切线方程
- 已知圆上一点 (x₀, y₀) 的切线方程：
- 圆：(x - a)² + (y - b)² = r²， 切线：
(x₀ - a)(x - a) + (y₀ - b)(y - b) = r²
- 圆：x² + y² = r²， 切线：
x₀x + y₀y = r²
- 已知斜率 k 的切线方程： 设切线方程为 y = kx + b，利用圆心到直线的距离 d = r 求出 b，得到切线方程。
6. 弦长问题
- 弦长公式： 若直线与圆相交，交点为A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，弦长
|AB| = √((x₁ - x₂)² + (y₁ - y₂)²)
- 弦心距d，半径r，弦长l：
l = 2√(r² - d²) （利用勾股定理）
- 中点弦问题: 设中点为(x₀, y₀), 弦所在直线方程通常用点斜式表示，然后代入圆的方程，利用韦达定理求解。
7. 圆系方程
- 过两圆交点的圆系方程：
x² + y² + D₁x + E₁y + F₁ + λ(x² + y² + D₂x + E₂y + F₂) = 0 (λ ≠ -1，表示除第二个圆以外的所有圆)
- 过直线与圆交点的圆系方程：
x² + y² + Dx + Ey + F + λ(Ax + By + C) = 0 (λ为参数)
三、应用
1. 数形结合思想
2. 转化与化归思想
3. 函数与方程思想
4. 充分利用几何性质简化计算
5. 参数方程（选修）
6. 极坐标方程（选修）
