《三角形平行四边形思维导图》

I. 三角形

A. 定义与基本要素

• 1. 定义: 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形。
• 2. 基本要素:
  • a. 顶点: 三角形的三个端点。
  • b. 边: 连接顶点的三条线段。
  • c. 内角: 三角形内部，两边所夹的角。
  • d. 外角: 三角形一边与其相邻边的延长线所夹的角。

B. 三角形的分类

• 1. 按角分类:
  • a. 锐角三角形: 三个内角均为锐角（小于90°）。
  • b. 直角三角形: 有一个内角为直角（等于90°）。
    • 斜边: 直角所对的边。
    • 直角边: 另外两条边。
    • 勾股定理: a² + b² = c² (a, b为直角边，c为斜边)
  • c. 钝角三角形: 有一个内角为钝角（大于90°）。
• 2. 按边分类:
  • a. 不等边三角形: 三条边长度均不相等。
  • b. 等腰三角形: 两条边长度相等。
    • 腰: 相等的两条边。
    • 底边: 另一条边。
    • 顶角: 两腰的夹角。
    • 底角: 底边与腰的夹角。
    • 性质: 两底角相等，顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。
  • c. 等边三角形: 三条边长度均相等（也称为正三角形）。
    • 性质: 三个内角均为60°。是特殊的等腰三角形。

C. 三角形的性质

• 1. 内角和定理: 三角形三个内角之和等于180°。
• 2. 外角性质:
  • a. 外角等于不相邻的两个内角之和。
  • b. 外角大于任何一个不相邻的内角。
• 3. 三角形三边关系:
  • a. 任意两边之和大于第三边。
  • b. 任意两边之差小于第三边。
• 4. 重要线段:
  • a. 高: 从一个顶点向它的对边（或对边的延长线）作垂线，顶点和垂足之间的线段。
  • b. 中线: 连接一个顶点和它的对边中点的线段。
  • c. 角平分线: 一个内角的角平分线与对边相交，顶点和交点之间的线段。
  • d. 中位线: 连接三角形两边中点的线段。
    • 性质: 平行于第三边，且等于第三边的一半。

D. 三角形的面积

• 1. 一般三角形:
  • 公式: S = (1/2) 底 高 (S = (1/2) b h)
• 2. 已知两边及夹角:
  • 公式: S = (1/2) a b * sinC (a, b为两边，C为夹角)
• 3. 海伦公式:
  • 公式: S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)) (a, b, c为三边，p为半周长，p = (a+b+c)/2)

II. 平行四边形

A. 定义与基本要素

• 1. 定义: 两组对边分别平行的四边形。
• 2. 基本要素:
  • a. 顶点: 四边形的四个端点。
  • b. 边: 连接顶点的四条线段。
    • 对边: 没有公共顶点的边。
  • c. 角: 四边形内部，两边所夹的角。
    • 对角: 没有公共边的角。
  • d. 对角线: 连接不相邻顶点的线段。

B. 平行四边形的性质

• 1. 对边平行且相等。
• 2. 对角相等。
• 3. 邻角互补（和为180°）。
• 4. 对角线互相平分。

C. 平行四边形的判定

• 1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 (定义)。
• 2. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
• 3. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
• 4. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
• 5. 对角线互相平分的四边形是平行四边形。

D. 特殊的平行四边形

• 1. 矩形:
  • 定义: 有一个角是直角的平行四边形。
  • 性质: 具有平行四边形的所有性质，且四个角都是直角，对角线相等。
  • 判定: 有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形。
• 2. 菱形:
  • 定义: 一组邻边相等的平行四边形。
  • 性质: 具有平行四边形的所有性质，且四条边都相等，对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角。
  • 判定: 一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形。
• 3. 正方形:
  • 定义: 一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形。也可以说，是矩形和菱形的结合体。
  • 性质: 具有矩形和菱形的所有性质，即四条边都相等，四个角都是直角，对角线相等且互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角。
  • 判定: 一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形；一组邻边相等的矩形是正方形。

E. 平行四边形的面积

• 1. 一般平行四边形:
  • 公式: S = 底 高 (S = b h)
• 2. 矩形:
  • 公式: S = 长 宽 (S = a b)
• 3. 菱形:
  • 公式: S = (1/2) 对角线1 对角线2 (S = (1/2) d1 d2)
• 4. 正方形:
  • 公式: S = 边长 * 边长 = 边长² (S = a²)

III. 联系与区别

• A. 联系:
  • 平行四边形可以看作是更一般的四边形类型。
  • 矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。
  • 三角形的性质，例如中位线性质，可以帮助解决与平行四边形相关的问题。
• B. 区别:
  • 三角形有三个边和三个角，平行四边形有四个边和四个角。
  • 三角形的内角和为180°，平行四边形的内角和为360°。
  • 平行四边形有对边平行且相等的性质，三角形没有。
  • 特殊的平行四边形（矩形、菱形、正方形）拥有更多特殊的性质，而三角形的特殊类型(等腰、等边、直角)也拥有自己的特性。