《关于有理数的思维导图》

一、 核心概念：有理数

1.1 定义

• 整数： 正整数、零、负整数的总称。
  • 正整数： 大于零的整数，例如：1, 2, 3, ...
  • 零： 表示没有，既不是正数也不是负数。
  • 负整数： 小于零的整数，例如：-1, -2, -3, ...
• 分数： 表示把一个整体平均分成若干份，表示其中的一份或几份的数。
  • 正分数： 大于零的分数，例如：1/2, 3/4, 2/5, ...
  • 负分数： 小于零的分数，例如：-1/2, -3/4, -2/5, ...
• 有理数： 整数和分数的统称。 可以表示成 p/q 的形式，其中 p, q 都是整数且 q ≠ 0。

1.2 分类

• 按照定义分类：
  • 整数
    • 正整数
    • 零
    • 负整数
  • 分数
    • 正分数
    • 负分数
• 按照正负分类：
  • 正有理数
    • 正整数
    • 正分数
  • 零
  • 负有理数
    • 负整数
    • 负分数

1.3 重要性质

• 有序性： 任何两个有理数都可以比较大小。
• 传递性： 若 a > b, b > c，则 a > c。
• 稠密性： 任何两个不相等的有理数之间都存在无限个有理数。
• 运算封闭性： 有理数集对于加、减、乘、除（除数不为零）运算是封闭的，即结果仍然是有理数。

二、 有理数的运算

2.1 运算法则

• 加法：
  • 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
  • 异号两数相加，绝对值相等时和为零；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
  • 一个数同零相加，仍得这个数。
• 减法：
  • 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 a - b = a + (-b)
• 乘法：
  • 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
  • 任何数同零相乘，都得零。
  • 多个非零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。奇数个负因数，积为负；偶数个负因数，积为正。
• 除法：
  • 除以一个不等于零的数，等于乘以这个数的倒数。 a ÷ b = a × (1/b) (b≠0)
  • 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
  • 零除以任何不等于零的数，都得零。
• 乘方：
  • 求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方。 aⁿ 表示 n 个 a 相乘。
  • 正数的任何次幂都是正数；负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；零的任何正整数次幂都是零。

2.2 运算律

• 加法交换律： a + b = b + a
• 加法结合律： (a + b) + c = a + (b + c)
• 乘法交换律： a × b = b × a
• 乘法结合律： (a × b) × c = a × (b × c)
• 乘法分配律： a × (b + c) = a × b + a × c

2.3 运算顺序

1. 先算乘方，再算乘除，最后算加减。
2. 同级运算，从左到右进行。
3. 如果有括号，先算括号里面的。 遵循 小括号 -> 中括号 -> 大括号 的顺序。

三、 数轴

3.1 定义

• 规定了原点、正方向和单位长度的直线。

3.2 要素

• 原点： 数轴上表示 0 的点。
• 正方向： 数轴上从原点向右的方向（习惯上）。
• 单位长度： 数轴上相邻两个刻度之间的长度。

3.3 作用

• 表示数： 数轴上的点与有理数一一对应。
• 比较大小： 在数轴上，右边的数总比左边的数大。
• 几何意义： 可以用来表示数的绝对值、相反数、两点间的距离等。

四、 重要概念延伸

4.1 相反数

• 定义： 只有符号不同的两个数，互为相反数。 a 的相反数是 -a。
• 性质： a + (-a) = 0， 在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且到原点的距离相等。

4.2 绝对值

• 定义： 数轴上表示数 a 的点与原点的距离，叫做数 a 的绝对值，记作 |a|。
• 性质：
  • 正数的绝对值是它本身。
  • 负数的绝对值是它的相反数。
  • 零的绝对值是零。
• 几何意义： 表示点到原点的距离。

4.3 科学计数法

• 定义： 把一个大于 10 或小于 -10 的数表示成 a × 10ⁿ 的形式，其中 1 ≤ |a| < 10，n 为整数。
• 作用： 方便表示较大的数或较小的数。

五、 应用

5.1 实际问题

• 温度变化、海拔高度、收支盈余、水位升降等。

5.2 数学问题

• 解方程、函数、几何等。

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