《六上第一单元思维导图》
中心主题：分数乘法
I. 分数乘整数
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概念理解:
- 意义：求几个相同分数连加的和的简便运算。
- 与整数乘法意义的联系：都是求几个相同加数的和。
- 示例： 3/5 × 4 表示 4个 3/5 相加的和。
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计算方法:
- 分子与整数相乘，分母不变。
- 能约分的要先约分，再计算（整数与分母约分，目的是简化计算）。
- 约分位置：整数与分母约分。
- 计算结果：化为最简分数（分子分母互质）。
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应用题:
- 常见题型：求一个数的几倍是多少。
- 解题步骤：
- 分析题意，明确“谁”是“1”。
- 找准单位“1”，确定倍数关系。
- 列式计算（单位“1”的量 × 倍数 = 所求的量）。
- 例题：一个水桶能装 1/3 吨水，5个这样的水桶能装多少吨水？(1/3 × 5 = 5/3 吨)
II. 分数乘分数
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概念理解:
- 意义：求一个数的几分之几是多少。（不再局限于整数倍）
- 强调“的”的含义：表示乘法。
- 示例：1/2 × 1/3 表示 1/2 的 1/3 是多少。
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计算方法:
- 分子与分子相乘，分母与分母相乘。
- 能约分的要先约分，再计算（分子与分母约分，不同分数的分子分母之间）。
- 约分位置：不同分数的分子和分母。
- 计算结果：化为最简分数。
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应用题:
- 常见题型：求一个数的几分之几是多少。
- 解题步骤：
- 分析题意，明确“谁”是“1”。
- 找准单位“1”，确定分数关系。
- 列式计算（单位“1”的量 × 分数 = 所求的量）。
- 涉及“增加/减少”问题：
- 增加：原数量 + 增加的数量 = 现数量
- 减少：原数量 - 减少的数量 = 现数量
- 注意：增加/减少的数量 = 原数量 × 增加/减少的分数
- 例题：一袋面粉重 5/6 千克，用去了它的 1/2，用去了多少千克？ (5/6 × 1/2 = 5/12 千克)
III. 倒数的认识
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概念:
- 定义：乘积是1的两个数互为倒数。
- 强调“互为”：倒数不能单独存在，必须是两个数之间的关系。
- 示例：3/4 的倒数是 4/3， 4/3 的倒数是 3/4。
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求倒数的方法:
- 分数：分子、分母颠倒位置。
- 整数：看作分母是1的分数，再颠倒位置。（整数a的倒数是 1/a， a≠0）
- 小数：先化成分数，再颠倒位置。
- 带分数：先化成假分数，再颠倒位置。
- 特殊情况：1的倒数是1，0没有倒数（因为0不能做分母）。
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意义:
- 倒数是分数除法的基础。
- 理解倒数的概念有助于理解分数除法的意义和计算方法。
IV. 解决问题
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“求一个数的几分之几是多少”的应用题:
- 关键：找准单位“1”，确定分数关系。
- 方法：
- 线段图分析：直观表示数量关系，帮助理解题意。
- 数量关系式：单位“1”的量 × 分数 = 所求的量。
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稍复杂的“求一个数的几分之几是多少”的应用题:
- 可能涉及两步或多步计算。
- 解题思路：
- 分析题意，确定各个数量之间的关系。
- 可以采用画线段图、列表等方法辅助分析。
- 分步计算或列综合算式。
- 例题：一件上衣原价120元，现在降价 1/5，降价多少元？现价多少元？
- 降价： 120 × 1/5 = 24 (元)
- 现价： 120 - 24 = 96 (元) 或 120 × (1 - 1/5) = 96 (元)
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易错点:
- 单位“1”的确定：审题不清，找错单位“1”。
- 数量关系混淆：混淆倍数关系和分数关系。
- 计算错误：约分错误，忘记化简。
- 审题不认真：忽略题目中的隐含条件。
V. 分数乘法的运算定律
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乘法交换律:
- 定义：a × b = b × a
- 适用于：分数乘法也适用乘法交换律。
- 应用：可以交换因数的位置，简化计算。
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乘法结合律:
- 定义：(a × b) × c = a × (b × c)
- 适用于：分数乘法也适用乘法结合律。
- 应用：可以改变运算顺序，简化计算。
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乘法分配律:
- 定义：(a + b) × c = a × c + b × c
- 适用于：分数乘法也适用乘法分配律。
- 反向运用：a × c + b × c = (a + b) × c
- 应用：提取公因数，简化计算。
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灵活运用:
- 观察算式特点，选择合适的运算定律。
- 可以将整数化为分数，方便计算。
- 注意运算顺序，先乘除，后加减。
VI. 总结与提升
- 核心概念： 单位“1”，分数意义，倒数。
- 核心方法： 画线段图，找数量关系，灵活运用运算定律。
- 易错点： 单位“1”的确定，计算错误，审题不清。
- 提升方向： 培养数感，提高计算能力，加强应用题分析能力。