《五年级上册第三单元思维导图》

一、单元概述

主题：小数除法

• 核心：理解小数除法的意义、算理，掌握小数除法的计算方法，解决与小数除法相关的实际问题。
• 地位：是整数除法的延伸，是学习分数、百分数、比等知识的基础，也是解决日常生活和实际问题的重要工具。
• 目标：
  • 理解小数除法的意义，掌握小数除以整数、一个数除以小数的计算方法。
  • 能正确进行小数除法的计算，并能运用估算对计算结果进行验算。
  • 会用循环小数表示商，了解循环小数、有限小数、无限小数的概念。
  • 会运用小数除法解决简单的实际问题，培养应用意识。
  • 感受数学与生活的联系，培养学习数学的兴趣。
• 重点：小数除以整数，一个数除以小数的计算方法。
• 难点：理解一个数除以小数的算理，商的小数点定位。

二、知识点拆解

2.1 小数除以整数

• 意义： 与整数除法的意义相同，是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
• 计算方法：
  • 按照整数除法的方法去除。
  • 商的小数点要和被除数的小数点对齐。
  • 整数部分不够除，商0，点上小数点，继续除。
  • 如果有余数，要添0继续除。
• 特殊情况：
  • 被除数是整数，除数是整数的情况，商可能是小数。
  • 被除数的小数部分不够除时，添0继续除。
• 例题： 4.5 ÷ 5 = ？, 12 ÷ 5 = ?

2.2 一个数除以小数

• 转化思想： 运用商不变的性质，将除数是小数的除法转化为除数是整数的除法。
• 计算方法：
  • 移动除数的小数点，使它变成整数。除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用“0”补足）。
  • 按照除数是整数的小数除法的方法进行计算。
• 易错点：
  • 忘记移动被除数的小数点或移动的位数与除数不同。
  • 商的小数点位置出错。
• 例题： 6.24 ÷ 0.26 = ?, 2.1 ÷ 1.4 = ?

2.3 商的近似数

• 实际问题： 在实际问题中，有时不需要求出准确的商，只需要求出商的近似数。
• 取近似数的方法：
  • 四舍五入法： 根据需要保留的位数，看下一位上的数，满5进1，不满5舍去。
  • 进一法： 无论下一位上的数是多少，都进1。
  • 去尾法： 无论下一位上的数是多少，都舍去。
• 选择方法： 根据具体情况选择合适的方法。例如，分东西时，往往使用去尾法；做东西时，往往使用进一法。
• 例题： 一段布料长15米，做一件衣服用布2.4米，最多可以做多少件衣服？(去尾法)

2.4 循环小数

• 概念： 一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。
• 循环节： 一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节。
• 简便记法： 在循环节的首位和末位数字上各点一个点。例如：5.333... 记作 5.3（3上面有点）。
• 分类：
  • 纯循环小数： 从小数部分的第一位开始循环的循环小数。
  • 混循环小数： 不是从小数部分的第一位开始循环的循环小数。
• 有限小数： 小数部分的位数是有限的小数。
• 无限小数： 小数部分的位数是无限的小数。包括循环小数和无限不循环小数。
• 关系： 循环小数是无限小数，有限小数不是循环小数。
• 例题： 将 1 ÷ 3, 1 ÷ 7, 1 ÷ 11 写成循环小数的简便记法。

2.5 用计算器探索规律

• 目的： 通过计算器进行计算，发现算式中隐含的规律，培养学生的观察、分析、推理能力。
• 方法：
  • 利用计算器进行大量的计算，收集数据。
  • 观察数据，寻找规律。
  • 运用发现的规律进行推算。
  • 验证推算的结果。
• 例题： 利用计算器计算，发现 1 ÷ 11 = 0.0909..., 2 ÷ 11 = 0.1818..., 推算出 3 ÷ 11, 4 ÷ 11 的结果。

2.6 解决问题

• 类型：
  • 单价、数量、总价之间的关系。
  • 工作效率、工作时间、工作总量之间的关系。
  • 根据实际情况灵活选择解决问题的方法。
• 步骤：
  • 分析题意，理清数量关系。
  • 确定解题思路，列出算式。
  • 进行计算，求出结果。
  • 检验答案是否符合题意。
• 注意事项：
  • 注意单位名称的统一。
  • 根据实际情况，选择合适的取近似值的方法。
• 例题： 妈妈买了5千克苹果，共花了22.5元，平均每千克苹果多少元？ 如果妈妈要买8千克苹果，需要花多少钱？

三、思维导图呈现

• 中心主题： 五年级上册第三单元：小数除法
  • 一级分支：
    • 小数除以整数
      • 二级分支：
        • 意义
        • 计算方法
        • 注意事项
        • 例题
    • 一个数除以小数
      • 二级分支：
        • 转化思想
        • 计算方法
        • 易错点
        • 例题
    • 商的近似数
      • 二级分支：
        • 实际问题
        • 取近似数的方法 (四舍五入，进一法，去尾法)
        • 选择方法
        • 例题
    • 循环小数
      • 二级分支：
        • 概念
        • 循环节
        • 简便记法
        • 分类 (纯循环，混循环)
        • 有限小数，无限小数
        • 关系
        • 例题
    • 用计算器探索规律
      • 二级分支：
        • 目的
        • 方法
        • 例题
    • 解决问题
      • 二级分支：
        • 类型
        • 步骤
        • 注意事项
        • 例题

四、总结与反思

本单元学习了小数除法的相关知识，包括小数除以整数、一个数除以小数的计算方法，商的近似数的求法，循环小数的认识以及如何运用小数除法解决实际问题。 通过本单元的学习，不仅要掌握小数除法的计算技能，更重要的是培养学生的数学思维，例如转化思想、估算意识以及应用意识。在教学过程中，应该注重学生的自主探究和合作交流，鼓励学生运用所学知识解决实际问题，提高学生的数学素养。在复习时，应侧重于学生对概念的理解和计算的熟练程度，特别是对于商的近似数和循环小数，需要加强练习和巩固。同时，也要注重学生对解决问题方法的灵活运用，培养学生分析问题和解决问题的能力。

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