《六年级比和比例思维导图》

一、比的认识

1.1 比的定义

• 概念： 两个数相除又叫做两个数的比。
• 读法： a : b 读作 a 比 b
• 各部分名称：
  • a : b = c
  • a：前项
  • b：后项
  • :：比号
  • c：比值
• 与除法和分数的关系：
  • 比：前项相当于分子，后项相当于分母，比值相当于分数值。
  • a : b = a ÷ b = a/b (b≠0)

1.2 比的性质

• 基本性质： 比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。
• 应用： 化简比

1.3 比的应用

• 按比例分配： 把一个数量按照一定的比进行分配。
  • 方法： 先求出总份数，再求出每一份是多少，最后根据每一份求出各部分量。
  • 公式：
    • 总份数 = 各部分比的和
    • 每份量 = 总数量 ÷ 总份数
    • 各部分量 = 每份量 × 对应份数
• 解决实际问题：
  • 例如：配制溶液、分配任务、工程问题等。

1.4 化简比

• 意义： 把一个比化成最简整数比。
• 方法：
  • 前项和后项都是整数： 同时除以它们的最大公因数。
  • 前项和后项是小数： 先把它们转化为整数，再化简。
  • 前项和后项是分数： 先把它们转化为整数，再化简； 或者用前项除以后项。
• 最简整数比： 前项和后项都是整数，并且是互质数。

1.5 求比值

• 意义： 比的前项除以后项所得的商。
• 方法： 用前项除以后项。
• 结果： 比值可以是整数、小数或分数。

二、比例的认识

2.1 比例的定义

• 概念： 表示两个比相等的式子叫做比例。
• 形式： a : b = c : d 或者 a/b = c/d
• 各部分名称：
  • a : b = c : d
  • a 和 d：外项
  • b 和 c：内项
• 比例的基本性质：
  • 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。
  • 如果 a : b = c : d，那么 ad = bc
  • 如果 ad = bc，且 a,b,c,d 都不为0，那么 a : b = c : d 或者 a : c = b : d

2.2 判断两个比能否组成比例

• 方法一： 看两个比的比值是否相等。
• 方法二： 看两个外项的积是否等于两个内项的积。

2.3 解比例

• 概念： 求比例中的未知项。
• 方法： 根据比例的基本性质，把比例式转化为方程，然后解方程。
• 步骤：
  1. 写出比例式。
  2. 根据比例的基本性质，将比例式转化为方程。
  3. 解方程，求出未知数的值。
  4. 验算。

三、正比例和反比例

3.1 正比例

• 定义： 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
• 关系式： y/x = k （k为定值，k ≠ 0）
• 图像： 一条经过原点的直线。
• 判断方法：
  1. 两种量相关联。
  2. 一种量变化，另一种量也随着变化。
  3. 两种量中相对应的两个数的比值一定。
• 例子： 路程和时间（速度一定时）、单价和总价（数量一定时）

3.2 反比例

• 定义： 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
• 关系式： xy = k （k为定值，k ≠ 0）
• 图像： 双曲线（六年级一般不涉及）
• 判断方法：
  1. 两种量相关联。
  2. 一种量变化，另一种量也随着变化。
  3. 两种量中相对应的两个数的积一定。
• 例子： 速度和时间（路程一定时）、单价和数量（总价一定时）

3.3 区分正比例和反比例

特征	正比例	反比例
关系	y/x = k (k为定值，k ≠ 0)	xy = k (k为定值，k ≠ 0)
变化	一个量扩大/缩小，另一个量也扩大/缩小	一个量扩大/缩小，另一个量反而缩小/扩大
比值/积	比值一定	积一定
图象	经过原点的直线	双曲线（六年级不涉及）

3.4 应用比例解决问题

• 步骤：
  1. 判断两种量是否相关联。
  2. 判断两种量是成正比例还是反比例。
  3. 设未知数，列比例式。
  4. 解比例式，求出未知数的值。
  5. 检验并写出答案。
• 例如： 工程问题、行程问题、比例尺问题等。

四、比例尺

4.1 比例尺的定义

• 概念： 图上距离和实际距离的比。
• 公式： 比例尺 = 图上距离 / 实际距离
• 类型：
  • 数值比例尺：例如 1:1000000
  • 线段比例尺：图形表示，需要测量出线段的长度才能转化为数值比例尺。

4.2 比例尺的应用

• 根据比例尺求图上距离或实际距离：
  • 图上距离 = 实际距离 × 比例尺
  • 实际距离 = 图上距离 ÷ 比例尺
• 根据图上距离和实际距离求比例尺。
• 解决实际问题：
  • 例如：地图、建筑图纸等。

4.3 比例尺的转化

• 数值比例尺转化为线段比例尺： 根据比例尺的含义，画出线段。
• 线段比例尺转化为数值比例尺： 测量线段的长度，计算出实际距离，然后写成数值比例尺。

五、易错点总结

• 比和比值的区别： 比是一种关系，比值是比的结果，是一个数。
• 正比例和反比例的判断： 关键是找到两个量的关系，看它们的比值或积是否一定。
• 解比例的计算错误： 注意计算的准确性，尤其是小数点和分数的运算。
• 比例尺单位的统一： 计算时，图上距离和实际距离的单位要统一。
• 应用题审题不清： 认真阅读题目，理解题意，找准数量关系。

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