《小数点思维导图》
1. 小数点概念
1.1 定义
- 小数点是用来分隔整数部分和小数部分的符号。
- 表示一个数不是整数，而是整数的一部分或超过整数的部分。
1.2 组成部分
- 整数部分: 小数点左边的数字，代表完整的数值单位。
- 小数点: 分隔整数部分和小数部分的符号 (.).
- 小数部分: 小数点右边的数字，代表不足一个单位的部分。
1.3 位值制
- 小数点后的每一位都有相应的位值，从左到右依次递减。
- 十分位 (0.1)
- 百分位 (0.01)
- 千分位 (0.001)
- 万分位 (0.0001)
- 以此类推
1.4 读法
- 整数部分按照整数的读法。
- 小数点读作“点”。
- 小数部分按照数字的顺序依次读出，不遵循整数的读法规则。（例如，0.123 读作 零点一二三，而不是零点一百二十三）
2. 小数的分类
2.1 有限小数
- 小数部分位数是有限的。
- 例如：3.14， 0.5， 1.732
2.2 无限小数
-
小数部分位数是无限的。
-
2.2.1 无限循环小数
- 从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字依次不断地重复出现。
- 例如：0.333... （记作 0.3̄）， 1.428571428571... （记作 1.428571̄）
-
2.2.2 无限不循环小数
- 小数部分位数是无限的，且没有任何数字或数字组合重复出现。
- 例如：圆周率 π ≈ 3.1415926... ， √2 ≈ 1.4142135...
-
2.3 特殊小数
- 纯小数: 整数部分为 0 的小数。 例如：0.1， 0.75
- 带小数: 整数部分不为 0 的小数。 例如：1.5， 10.2
3. 小数的大小比较
3.1 整数部分比较
- 先比较整数部分，整数部分大的小数就大。
3.2 整数部分相同，小数部分比较
- 整数部分相同，比较小数部分，从十分位开始依次比较，直到比较出大小为止。
- 位数不够的，可以先用 0 补齐。
3.3 位数不同的小数比较
- 可以先将位数少的补 0 使位数相同，再进行比较。
4. 小数的运算
4.1 加法
- 对齐原则: 小数点对齐，相同数位对齐。
- 计算方法: 按照整数加法计算，结果小数点与加数的小数点对齐。
- 进位规则: 满十进一。
4.2 减法
- 对齐原则: 小数点对齐，相同数位对齐。
- 计算方法: 按照整数减法计算，结果小数点与被减数的小数点对齐。
- 退位规则: 不够减向前一位借一当十。
4.3 乘法
- 计算方法: 先按照整数乘法计算，然后看两个乘数一共有几位小数，就从积的右边数出几位，点上小数点。
- 小数点位数确定: 积的小数位数等于两个乘数的小数位数之和。
4.4 除法
- 除数是整数: 按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐。
- 除数是小数: 先把除数变成整数，同时被除数也扩大相同的倍数，再按照除数是整数的除法进行计算。
5. 小数的性质
5.1 末尾添 0 或去 0
- 在小数的末尾添上 0 或去掉 0，小数的大小不变。
- 例如：0.5 = 0.50 = 0.500
5.2 小数点位置移动
- 小数点向右移动一位，小数扩大到原来的 10 倍。
- 小数点向右移动两位，小数扩大到原来的 100 倍。
- 小数点向右移动三位，小数扩大到原来的 1000 倍。
- 依此类推。
- 小数点向左移动一位，小数缩小到原来的 1/10。
- 小数点向左移动两位，小数缩小到原来的 1/100。
- 小数点向左移动三位，小数缩小到原来的 1/1000。
- 依此类推。
6. 小数与分数、百分数的互化
6.1 小数化分数
- 看是几位小数，就在 1 后面添几个 0 做分母，原来的小数去掉小数点做分子，能约分的要约分。
- 例如：0.7 = 7/10， 0.25 = 25/100 = 1/4
6.2 分数化小数
- 用分子除以分母，除不尽的，可以根据需要保留几位小数。
- 可以先把分数约分成最简分数，再进行计算。
- 分母是 10，100，1000 等的分数可以直接写成小数。 例如： 3/10 = 0.3， 27/100 = 0.27
6.3 小数化百分数
- 先把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。
- 例如：0.65 = 65%， 1.2 = 120%
6.4 百分数化小数
- 先把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。
- 例如：75% = 0.75， 150% = 1.5
7. 小数的应用
7.1 实际生活中的应用
- 计量单位：身高、体重、长度、面积、体积、价格等。
- 科学计算：精确度要求较高的计算。
- 统计分析：数据处理和分析。
7.2 近似数
- 四舍五入: 根据要求保留位数，将后面的数四舍五入。
- 进一法: 保留整数部分，无论小数点后一位是什么数字，都进 1。
- 去尾法: 保留整数部分，直接舍去小数部分。
8. 易错点
8.1 小数点对齐问题
- 进行加减法运算时，一定要保证小数点对齐。
8.2 乘法小数点位数确定
- 容易忘记计算乘积后的小数点位置，或者计算错误。
8.3 除法移动小数点问题
- 除数是小数时，容易忘记同时移动被除数的小数点。
8.4 小数性质的理解
- 误认为在小数的中间添 0 或去 0，小数的大小不变。
8.5 近似数取值
- 不清楚何时使用四舍五入、进一法、去尾法。