集合与常用逻辑用语思维导图
# 《集合与常用逻辑用语思维导图》
## I. 集合
### A. 集合的概念
* **1. 定义:**
* 具有某种特定性质的对象的**总体**。
* 集合中的对象称为**元素**。
* **2. 特性:**
* **确定性:** 元素是否属于集合必须明确。
* **互异性:** 集合中的元素必须互不相同。
* **无序性:** 集合中元素的顺序无关紧要。
* **3. 表示方法:**
* **列举法:** 将集合中的元素一一列举出来，用花括号括起来。 {1, 2, 3}
* **描述法:** 用元素的共同特征描述集合。 {x | x > 0, x ∈ R}
* **韦恩图:** 用封闭曲线的内部表示集合。
* **4. 集合的分类:**
* **有限集:** 含有有限个元素的集合。
* **无限集:** 含有无限个元素的集合。
* **空集:** 不含任何元素的集合，记作 ∅ 。
### B. 集合间的基本关系
* **1. 子集:**
* 定义： 对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的子集，记作 A ⊆ B (或 B ⊇ A)。
* 性质：
* A ⊆ A (任何集合都是它自身的子集)。
* ∅ ⊆ A (空集是任何集合的子集)。
* 若 A ⊆ B 且 B ⊆ C，则 A ⊆ C (传递性)。
* **2. 真子集:**
* 定义： 对于两个集合A与B，如果A是B的子集，且B中至少有一个元素不属于A，则称A是B的真子集，记作 A ⊂ B (或 B ⊃ A)。
* 性质：
* ∅ ⊂ A (A非空时，空集是任何非空集合的真子集)。
* **3. 集合相等:**
* 定义： 如果两个集合A与B的元素完全相同，则称集合A与集合B相等，记作 A = B 。
* 性质： A = B ⇔ A ⊆ B 且 B ⊆ A
### C. 集合的基本运算
* **1. 并集:**
* 定义： 由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，记作 A ∪ B 。
* 表示： A ∪ B = {x | x ∈ A 或 x ∈ B}
* 性质：
* A ∪ ∅ = A
* A ∪ A = A
* A ∪ B = B ∪ A
* A ⊆ (A ∪ B), B ⊆ (A ∪ B)
* **2. 交集:**
* 定义： 由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，记作 A ∩ B 。
* 表示： A ∩ B = {x | x ∈ A 且 x ∈ B}
* 性质：
* A ∩ ∅ = ∅
* A ∩ A = A
* A ∩ B = B ∩ A
* (A ∩ B) ⊆ A, (A ∩ B) ⊆ B
* **3. 补集:**
* 定义： 如果已知全集U，则由所有属于U但不属于A的元素所组成的集合，称为A在U中的补集，记作 ∁UA 。
* 表示： ∁UA = {x | x ∈ U 且 x ∉ A}
* 性质：
* ∁U(∁UA) = A
* A ∪ (∁UA) = U
* A ∩ (∁UA) = ∅
## II. 常用逻辑用语
### A. 命题及其关系
* **1. 命题:**
* 定义： 可以判断真假的语句。
* 分类：
* 真命题： 判断为真的命题。
* 假命题： 判断为假的命题。
* **2. 逻辑联结词:**
* **或(∨):** p∨q，只要p、q中至少有一个为真，则 p∨q 为真；p、q都为假，则 p∨q 为假。
* **且(∧):** p∧q，当p、q都为真时，p∧q 为真；p、q中至少有一个为假，则 p∧q 为假。
* **非(¬):** ¬p，当p为真时，¬p 为假；当p为假时，¬p 为真。
* **3. 简单命题与复合命题:**
* 简单命题： 不包含逻辑联结词的命题。
* 复合命题： 由简单命题和逻辑联结词构成的命题。
* **4. 四种命题及其关系:**
* 原命题： 若 p 则 q。
* 逆命题： 若 q 则 p。
* 否命题： 若 ¬p 则 ¬q。
* 逆否命题： 若 ¬q 则 ¬p。
* 关系：
* 原命题与逆否命题等价。
* 逆命题与否命题等价。
### B. 充分条件与必要条件
* **1. 定义:**
* 若 p ⇒ q，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件。
* 若 q ⇒ p，则 q 是 p 的充分条件，p 是 q 的必要条件。
* 若 p ⇔ q，则 p 是 q 的充分必要条件(充要条件)。
* **2. 判断方法:**
* 直接法： 从定义出发，判断 p ⇒ q 或 q ⇒ p 是否成立。
* 集合法： 若集合P (满足条件p的元素组成的集合) 是集合Q (满足条件q的元素组成的集合) 的子集，则p是q的充分条件；反之，q是p的充分条件。
### C. 全称量词与存在量词
* **1. 全称量词:**
* 定义： 表示“所有”、“一切”、“每一个”等含义的词语，记作 ∀ 。
* 全称命题： 含有全称量词的命题，形式为 ∀x ∈ M, p(x) 。
* 全称命题的否定： ∃x ∈ M, ¬p(x) 。
* **2. 存在量词:**
* 定义： 表示“存在”、“至少有一个”、“有些”等含义的词语，记作 ∃ 。
* 存在命题： 含有存在量词的命题，形式为 ∃x ∈ M, p(x) 。
* 存在命题的否定： ∀x ∈ M, ¬p(x) 。
* **3. 命题的否定:**
* 区别于否命题：否命题是对原命题的条件和结论都进行否定，而命题的否定只是否定命题的结论。
### D. 逻辑推理
* **1. 推理规则：**
* 三段论推理：
* 大前提：M是P。
* 小前提：S是M。
* 结论：S是P。
* **2. 直接证明：**
* 综合法： 从已知条件出发，逐步推导出结论成立。
* 分析法： 从要证的结论出发，逐步寻找使其成立的充分条件，直至转化为已知条件或明显的事实。
* **3. 间接证明：**
* 反证法： 先假设命题的结论不成立，然后进行推理，导出矛盾，从而证明命题的结论成立。
这便是集合与常用逻辑用语的思维导图内容。 这包含了重要的概念、关系以及运算。
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