《集合与常用逻辑用语思维导图》

I. 集合

A. 集合的概念

• 1. 定义:
  • 具有某种特定性质的对象的总体。
  • 集合中的对象称为元素。
• 2. 特性:
  • 确定性: 元素是否属于集合必须明确。
  • 互异性: 集合中的元素必须互不相同。
  • 无序性: 集合中元素的顺序无关紧要。
• 3. 表示方法:
  • 列举法: 将集合中的元素一一列举出来，用花括号括起来。 {1, 2, 3}
  • 描述法: 用元素的共同特征描述集合。 {x | x > 0, x ∈ R}
  • 韦恩图: 用封闭曲线的内部表示集合。
• 4. 集合的分类:
  • 有限集: 含有有限个元素的集合。
  • 无限集: 含有无限个元素的集合。
  • 空集: 不含任何元素的集合，记作 ∅ 。

B. 集合间的基本关系

• 1. 子集:
  • 定义： 对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的子集，记作 A ⊆ B (或 B ⊇ A)。
  • 性质：
    • A ⊆ A (任何集合都是它自身的子集)。
    • ∅ ⊆ A (空集是任何集合的子集)。
    • 若 A ⊆ B 且 B ⊆ C，则 A ⊆ C (传递性)。
• 2. 真子集:
  • 定义： 对于两个集合A与B，如果A是B的子集，且B中至少有一个元素不属于A，则称A是B的真子集，记作 A ⊂ B (或 B ⊃ A)。
  • 性质：
    • ∅ ⊂ A (A非空时，空集是任何非空集合的真子集)。
• 3. 集合相等:
  • 定义： 如果两个集合A与B的元素完全相同，则称集合A与集合B相等，记作 A = B 。
  • 性质： A = B ⇔ A ⊆ B 且 B ⊆ A

C. 集合的基本运算

• 1. 并集:
  • 定义： 由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，记作 A ∪ B 。
  • 表示： A ∪ B = {x | x ∈ A 或 x ∈ B}
  • 性质：
    • A ∪ ∅ = A
    • A ∪ A = A
    • A ∪ B = B ∪ A
    • A ⊆ (A ∪ B), B ⊆ (A ∪ B)
• 2. 交集:
  • 定义： 由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，记作 A ∩ B 。
  • 表示： A ∩ B = {x | x ∈ A 且 x ∈ B}
  • 性质：
    • A ∩ ∅ = ∅
    • A ∩ A = A
    • A ∩ B = B ∩ A
    • (A ∩ B) ⊆ A, (A ∩ B) ⊆ B
• 3. 补集:
  • 定义： 如果已知全集U，则由所有属于U但不属于A的元素所组成的集合，称为A在U中的补集，记作 ∁UA 。
  • 表示： ∁UA = {x | x ∈ U 且 x ∉ A}
  • 性质：
    • ∁U(∁UA) = A
    • A ∪ (∁UA) = U
    • A ∩ (∁UA) = ∅

II. 常用逻辑用语

A. 命题及其关系

• 1. 命题:
  • 定义： 可以判断真假的语句。
  • 分类：
    • 真命题： 判断为真的命题。
    • 假命题： 判断为假的命题。
• 2. 逻辑联结词:
  • 或(∨): p∨q，只要p、q中至少有一个为真，则 p∨q 为真；p、q都为假，则 p∨q 为假。
  • 且(∧): p∧q，当p、q都为真时，p∧q 为真；p、q中至少有一个为假，则 p∧q 为假。
  • 非(¬): ¬p，当p为真时，¬p 为假；当p为假时，¬p 为真。
• 3. 简单命题与复合命题:
  • 简单命题： 不包含逻辑联结词的命题。
  • 复合命题： 由简单命题和逻辑联结词构成的命题。
• 4. 四种命题及其关系:
  • 原命题： 若 p 则 q。
  • 逆命题： 若 q 则 p。
  • 否命题： 若 ¬p 则 ¬q。
  • 逆否命题： 若 ¬q 则 ¬p。
  • 关系：
    • 原命题与逆否命题等价。
    • 逆命题与否命题等价。

B. 充分条件与必要条件

• 1. 定义:
  • 若 p ⇒ q，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件。
  • 若 q ⇒ p，则 q 是 p 的充分条件，p 是 q 的必要条件。
  • 若 p ⇔ q，则 p 是 q 的充分必要条件(充要条件)。
• 2. 判断方法:
  • 直接法： 从定义出发，判断 p ⇒ q 或 q ⇒ p 是否成立。
  • 集合法： 若集合P (满足条件p的元素组成的集合) 是集合Q (满足条件q的元素组成的集合) 的子集，则p是q的充分条件；反之，q是p的充分条件。

C. 全称量词与存在量词

• 1. 全称量词:
  • 定义： 表示“所有”、“一切”、“每一个”等含义的词语，记作 ∀ 。
  • 全称命题： 含有全称量词的命题，形式为 ∀x ∈ M, p(x) 。
  • 全称命题的否定： ∃x ∈ M, ¬p(x) 。
• 2. 存在量词:
  • 定义： 表示“存在”、“至少有一个”、“有些”等含义的词语，记作 ∃ 。
  • 存在命题： 含有存在量词的命题，形式为 ∃x ∈ M, p(x) 。
  • 存在命题的否定： ∀x ∈ M, ¬p(x) 。
• 3. 命题的否定:
  • 区别于否命题：否命题是对原命题的条件和结论都进行否定，而命题的否定只是否定命题的结论。

D. 逻辑推理

• 1. 推理规则：
  • 三段论推理：
    • 大前提：M是P。
    • 小前提：S是M。
    • 结论：S是P。
• 2. 直接证明：
  • 综合法： 从已知条件出发，逐步推导出结论成立。
  • 分析法： 从要证的结论出发，逐步寻找使其成立的充分条件，直至转化为已知条件或明显的事实。
• 3. 间接证明：
  • 反证法： 先假设命题的结论不成立，然后进行推理，导出矛盾，从而证明命题的结论成立。

这便是集合与常用逻辑用语的思维导图内容。 这包含了重要的概念、关系以及运算。