《小学五年级数学小数除法思维导图》

中心主题：小数除法

第一分支：意义理解

• 概念：

  • 整数除法的意义：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
  • 小数除法的意义：与整数除法意义相同，都是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
  • 强调：除数可以是小数，被除数也可以是小数，结果表示的是“包含”或“平均分”。

• 应用情境：

  • 实际问题中的“单价”、“数量”、“总价”关系：总价 ÷ 数量 = 单价；总价 ÷ 单价 = 数量。
  • 平均分问题：总量 ÷ 份数 = 每份量。
  • 包含问题：总量 ÷ 每份量 = 份数。
  • 例题：
    • “妈妈买了5千克苹果，花了22.5元，每千克苹果多少元？” (单价问题)
    • “用一根长12.6米的绳子，每1.4米剪一段，可以剪成几段？” (包含问题)
    • “把25.5升水倒入6个同样的杯子里，平均每个杯子倒多少升水？” (平均分问题)

第二分支：计算方法

• 类型一：除数是整数的小数除法

  • 步骤：
    1. 按照整数除法的方法计算。
    2. 商的小数点要和被除数的小数点对齐。
    3. 如果整数部分不够除，商0，点上小数点。
    4. 如果有余数，在余数后面添0继续除。
  • 关键：小数点对齐，添0继续除。
  • 易错点：
    • 忘记小数点对齐。
    • 添0后忘记继续除。
    • 商中间出现0的情况。
  • 例题：
    • 43.4 ÷ 7 = ？
    • 1.68 ÷ 8 = ？
    • 12.5 ÷ 5 = ？

• 类型二：除数是小数的小数除法

  • 步骤：
    1. 将除数变成整数：移动除数的小数点，使它变成整数。
    2. 被除数的小数点也向右移动相同的位数。（位数不够，用0补足）
    3. 按照除数是整数的小数除法进行计算。
  • 关键：除数变整数，被除数也变动相同的位数。
  • 原理：商不变的性质（被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变）。
  • 易错点：
    • 被除数小数点移动位数错误。
    • 忘记在被除数末尾添0补足位数。
    • 移动小数点后，除数不再是小数。
  • 例题：
    • 1.98 ÷ 0.9 = ？
    • 7.65 ÷ 0.85 = ？
    • 2.1 ÷ 0.14 = ？
    • 26 ÷ 0.13 = ？ (强调补0的情况)

• 特殊情况：

  • 被除数小于除数：商小于1，需要商0占位。
  • 循环小数：
    • 定义：一个数的小数部分，从某一位起，一个或几个数字依次不断地重复出现，这样的小数叫做循环小数。
    • 表示方法：在循环节的首位和末位上面点上圆点，或者在循环节上画横线。
    • 有限小数、无限小数、循环小数的关系。
  • 用计算器计算：熟练使用计算器进行小数除法运算。

第三分支：近似值

• 取近似值的方法：
  • 四舍五入法：根据需要保留的位数，看下一位数字，四舍五入。
  • 进一法：无论小数点后一位是什么数字，都向前一位进1（通常用于解决实际问题，如装东西）。
  • 去尾法：无论小数点后一位是什么数字，都舍去（通常用于解决实际问题，如做衣服）。
• 准确数与近似数的区别：
  • 准确数：通过测量或计数得到的准确的数。
  • 近似数：根据实际需要，采用一定的方法得到的与准确数接近的数。
• 实际应用：
  • 根据题目要求，选择合适的取近似值的方法。
  • 例题：
    • “一辆汽车行驶150千米需要用汽油12.5升，平均每千米需要用汽油多少升？（得数保留两位小数）” (四舍五入法)
    • “有25千克糖，每2千克装一袋，最多可以装多少袋？” (去尾法)
    • “有30米布，做一件衣服需要2.2米，最多可以做多少件衣服？” (去尾法)
    • “有23名同学去划船，每条船限乘4人，至少需要多少条船？” (进一法)

第四分支：解决问题

• 步骤：
  1. 认真审题，理解题意。
  2. 分析数量关系，确定解题思路。
  3. 列式计算，写出答案。
  4. 检查验算，确保正确。
• 类型：
  • 单价、数量、总价问题。
  • 行程问题。
  • 工程问题。
  • 归一问题、归总问题。
  • 稍复杂的实际问题。
• 策略：
  • 画线段图帮助理解题意。
  • 列表格整理数据。
  • 从问题出发，逆向思考。
• 例题：
  • “小明买了3本笔记本，共花了13.5元，平均每本笔记本多少元？”
  • “一辆汽车每小时行驶65.5千米，行驶3.5小时，一共行驶多少千米？”
  • “一个修路队修一条路，计划每天修0.8千米，15天完成，实际每天修1.2千米，实际多少天完成？”
  • “一种饮料买一箱(24瓶)需要36元，如果零售，每瓶1.8元，买一箱饮料比零售便宜多少元？”

第五分支：易错题型汇总

• 小数点对齐问题（计算时）。
• 添0补位问题（计算时）。
• 商中间有0的问题（计算时）。
• 除数是小数，忘记将被除数也扩大相同倍数（计算时）。
• 循环小数的简便写法。
• 取近似值时，没有按照题目要求保留位数。
• 解决实际问题时，没有根据实际情况选择合适的取近似值的方法（四舍五入、进一法、去尾法）。
• 解决稍复杂的实际问题，数量关系分析错误。

总结：

小数除法是小学五年级数学的重要内容，需要熟练掌握计算方法，理解其意义，并能灵活运用解决实际问题。 通过练习和总结，可以克服易错点，提高解题能力。