《四年级乘除法思维导图》

一、乘法

1. 概念与意义

• 定义： 求几个相同加数的和的简便运算。
• 要素： 乘数、乘数、积
• 表示： a × b = c (a 乘 b 等于 c)
• 意义举例：
  • 3 × 5 表示 3 个 5 相加，或 5 个 3 相加。
  • 单价 × 数量 = 总价

2. 乘法竖式

• 一位数乘多位数：
  • 对齐数位。
  • 从个位起，用一位数依次去乘多位数的每一位。
  • 哪一位上乘得的积满几十，就向前一位进几。
• 两位数乘多位数：
  • 用两位数个位上的数去乘多位数的每一位。
  • 用两位数十位上的数去乘多位数的每一位，所得的积的末位要和十位对齐。
  • 把两次乘得的积加起来。
• 估算：
  • 把两个乘数都看作与它们接近的整十、整百数，再进行计算。例如： 48 × 19 ≈ 50 × 20 = 1000

3. 乘法分配律

• 定义： 两个数的和与一个数相乘，可以先把这两个数分别与这个数相乘，再把所得的积相加，结果不变。
• 公式： (a + b) × c = a × c + b × c
• 逆运用： a × c + b × c = (a + b) × c
• 变式： (a - b) × c = a × c - b × c
• 运用场景：
  • 简化计算：例如 (10 + 2) × 5 = 10 × 5 + 2 × 5 = 50 + 10 = 60
  • 解决实际问题：例如：购买两种不同商品，可以先算总数量再乘以单价，也可以分别计算后再相加。

4. 乘法结合律

• 定义： 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。
• 公式： (a × b) × c = a × (b × c)
• 运用场景：
  • 简化计算： 例如： 25 × 37 × 4 = 25 × 4 × 37 = 100 × 37 = 3700
• 注意： 结合律改变的是运算顺序，不改变运算符号。

5. 乘法交换律

• 定义： 两个数相乘，交换两个乘数的位置，积不变。
• 公式： a × b = b × a
• 运用场景：
  • 简化计算： 例如： 125 × 16 = 125 × 8 × 2 = 1000 × 2 = 2000

6. 乘法估算

• 方法： 将乘数估算成整十、整百、整千数，进行计算，得出近似值。
• 注意： 估算时，应根据实际情况选择合适的估算策略，使结果更接近准确值。
• 应用： 快速判断结果范围，检验计算的正确性。

二、除法

1. 概念与意义

• 定义： 已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
• 要素： 被除数、除数、商、余数（如果存在）
• 表示： a ÷ b = c (a 除以 b 等于 c)
• 意义举例：
  • 15 ÷ 3 表示把 15 平均分成 3 份，每份是多少？
  • 15 ÷ 3 表示 15 里面有几个 3？
  • 总价 ÷ 数量 = 单价

2. 除法竖式

• 一位数除多位数：
  • 从被除数的高位除起。
  • 除到被除数的哪一位，商就写在那一位的上面。
  • 每次除得的余数必须比除数小。
• 两位数除多位数：
  • 先用除数试除被除数的前两位，如果前两位比除数小，就试除前三位。
  • 商写在被除数相应数位的上面。
  • 每次除得的余数必须比除数小。
• 商不变的性质： 被除数和除数同时乘或除以相同的数（零除外），商不变。
• 估算： 把被除数和除数都看作与它们接近的整十、整百数，再进行计算。 例如： 183 ÷ 29 ≈ 180 ÷ 30 = 6

3. 除法性质

• 除法的运算顺序： 只有同级运算时，按照从左到右的顺序计算。
• 带括号的除法： 先算括号里面的，再算括号外面的。
• 连除的性质： 一个数连续除以两个数，等于除以这两个数的积。
  • a ÷ b ÷ c = a ÷ (b × c)

4. 余数问题

• 定义： 在整数除法中，如果商是整数，被除数不能被除数整除，就会产生余数。
• 公式： 被除数 = 除数 × 商 + 余数
• 余数特点： 余数必须小于除数。
• 应用：
  • 求被除数：已知除数、商和余数，可以求出被除数。
  • 周期问题：通过计算余数，确定循环的规律。

5. 除法估算

• 方法： 将被除数和除数估算成整十、整百、整千数，进行计算，得出近似值。
• 注意： 估算时，应根据实际情况选择合适的估算策略，使结果更接近准确值。
• 应用： 快速判断结果范围，检验计算的正确性。

三、乘除法综合运用

1. 混合运算

• 运算顺序：
  • 只有加减法或只有乘除法，从左到右依次计算。
  • 既有乘除法又有加减法，先乘除后加减。
  • 有括号的，先算括号里面的，再算括号外面的。
• 简便计算： 灵活运用乘法分配律、结合律、交换律以及除法的性质，简化计算过程。

2. 解决实际问题

• 审题： 认真阅读题目，理解题意，明确已知条件和所求问题。
• 分析： 分析数量关系，确定解题思路。
• 列式： 根据数量关系，列出算式。
• 计算： 认真计算，确保结果正确。
• 检验： 检查计算过程和结果是否正确，是否符合题意。
• 答题： 完整地写出答案。
• 常见类型：
  • 归一问题
  • 归总问题
  • 连乘连除问题
  • 行程问题 (初步)
  • 工程问题 (初步)
  • 植树问题 (简单)

3. 数量关系式

• 单价 × 数量 = 总价
• 总价 ÷ 单价 = 数量
• 总价 ÷ 数量 = 单价
• 速度 × 时间 = 路程
• 路程 ÷ 速度 = 时间
• 路程 ÷ 时间 = 速度
• 工作效率 × 工作时间 = 工作总量
• 工作总量 ÷ 工作效率 = 工作时间
• 工作总量 ÷ 工作时间 = 工作效率

四、易错点

• 乘法竖式计算中，忘记进位。
• 除法竖式计算中，商的位置写错。
• 乘法分配律运用错误，漏乘或多乘。
• 混合运算中，运算顺序出错。
• 审题不认真，导致列式错误。
• 余数大于或等于除数。
• 估算结果与实际值偏差过大。
• 不注意题目中的隐含条件。

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