四年级乘除法思维导图

# 《四年级乘除法思维导图》

## 一、乘法

### 1. 概念与意义

*   **定义：** 求几个相同加数的和的简便运算。
*   **要素：** 乘数、乘数、积
*   **表示：** a × b = c (a 乘 b 等于 c)
*   **意义举例：**
    *   3 × 5 表示 3 个 5 相加，或 5 个 3 相加。
    *   单价 × 数量 = 总价

### 2. 乘法竖式

*   **一位数乘多位数：**
    *   对齐数位。
    *   从个位起，用一位数依次去乘多位数的每一位。
    *   哪一位上乘得的积满几十，就向前一位进几。
*   **两位数乘多位数：**
    *   用两位数个位上的数去乘多位数的每一位。
    *   用两位数十位上的数去乘多位数的每一位，所得的积的末位要和十位对齐。
    *   把两次乘得的积加起来。
*   **估算：**
    *   把两个乘数都看作与它们接近的整十、整百数，再进行计算。例如： 48 × 19 ≈ 50 × 20 = 1000

### 3. 乘法分配律

*   **定义：** 两个数的和与一个数相乘，可以先把这两个数分别与这个数相乘，再把所得的积相加，结果不变。
*   **公式：** (a + b) × c = a × c + b × c
*   **逆运用：** a × c + b × c = (a + b) × c
*   **变式：** (a - b) × c = a × c - b × c
*   **运用场景：**
    *   简化计算：例如 (10 + 2) × 5 = 10 × 5 + 2 × 5 = 50 + 10 = 60
    *   解决实际问题：例如：购买两种不同商品，可以先算总数量再乘以单价，也可以分别计算后再相加。

### 4. 乘法结合律

*   **定义：** 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。
*   **公式：** (a × b) × c = a × (b × c)
*   **运用场景：**
    *   简化计算： 例如： 25 × 37 × 4 = 25 × 4 × 37 = 100 × 37 = 3700
*   **注意：** 结合律改变的是运算顺序，不改变运算符号。

### 5. 乘法交换律

*   **定义：** 两个数相乘，交换两个乘数的位置，积不变。
*   **公式：** a × b = b × a
*   **运用场景：**
    *   简化计算： 例如： 125 × 16 = 125 × 8 × 2 = 1000 × 2 = 2000

### 6. 乘法估算

*   **方法：** 将乘数估算成整十、整百、整千数，进行计算，得出近似值。
*   **注意：** 估算时，应根据实际情况选择合适的估算策略，使结果更接近准确值。
*   **应用：** 快速判断结果范围，检验计算的正确性。

## 二、除法

### 1. 概念与意义

*   **定义：** 已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
*   **要素：** 被除数、除数、商、余数（如果存在）
*   **表示：** a ÷ b = c (a 除以 b 等于 c)
*   **意义举例：**
    *   15 ÷ 3 表示把 15 平均分成 3 份，每份是多少？
    *   15 ÷ 3 表示 15 里面有几个 3？
    *   总价 ÷ 数量 = 单价

### 2. 除法竖式

*   **一位数除多位数：**
    *   从被除数的高位除起。
    *   除到被除数的哪一位，商就写在那一位的上面。
    *   每次除得的余数必须比除数小。
*   **两位数除多位数：**
    *   先用除数试除被除数的前两位，如果前两位比除数小，就试除前三位。
    *   商写在被除数相应数位的上面。
    *   每次除得的余数必须比除数小。
*   **商不变的性质：** 被除数和除数同时乘或除以相同的数（零除外），商不变。
*   **估算：** 把被除数和除数都看作与它们接近的整十、整百数，再进行计算。 例如： 183 ÷ 29 ≈ 180 ÷ 30 = 6

### 3. 除法性质

*   **除法的运算顺序：** 只有同级运算时，按照从左到右的顺序计算。
*   **带括号的除法：** 先算括号里面的，再算括号外面的。
*   **连除的性质：** 一个数连续除以两个数，等于除以这两个数的积。
    *   a ÷ b ÷ c = a ÷ (b × c)

### 4. 余数问题

*   **定义：** 在整数除法中，如果商是整数，被除数不能被除数整除，就会产生余数。
*   **公式：** 被除数 = 除数 × 商 + 余数
*   **余数特点：** 余数必须小于除数。
*   **应用：**
    *   求被除数：已知除数、商和余数，可以求出被除数。
    *   周期问题：通过计算余数，确定循环的规律。

### 5. 除法估算

*   **方法：** 将被除数和除数估算成整十、整百、整千数，进行计算，得出近似值。
*   **注意：** 估算时，应根据实际情况选择合适的估算策略，使结果更接近准确值。
*   **应用：** 快速判断结果范围，检验计算的正确性。

## 三、乘除法综合运用

### 1. 混合运算

*   **运算顺序：**
    *   只有加减法或只有乘除法，从左到右依次计算。
    *   既有乘除法又有加减法，先乘除后加减。
    *   有括号的，先算括号里面的，再算括号外面的。
*   **简便计算：** 灵活运用乘法分配律、结合律、交换律以及除法的性质，简化计算过程。

### 2. 解决实际问题

*   **审题：** 认真阅读题目，理解题意，明确已知条件和所求问题。
*   **分析：** 分析数量关系，确定解题思路。
*   **列式：** 根据数量关系，列出算式。
*   **计算：** 认真计算，确保结果正确。
*   **检验：** 检查计算过程和结果是否正确，是否符合题意。
*   **答题：** 完整地写出答案。
*   **常见类型：**
    *   归一问题
    *   归总问题
    *   连乘连除问题
    *   行程问题 (初步)
    *   工程问题 (初步)
    *   植树问题 (简单)

### 3. 数量关系式

*   **单价 × 数量 = 总价**
*   **总价 ÷ 单价 = 数量**
*   **总价 ÷ 数量 = 单价**
*   **速度 × 时间 = 路程**
*   **路程 ÷ 速度 = 时间**
*   **路程 ÷ 时间 = 速度**
*   **工作效率 × 工作时间 = 工作总量**
*   **工作总量 ÷ 工作效率 = 工作时间**
*   **工作总量 ÷ 工作时间 = 工作效率**

## 四、易错点

*   乘法竖式计算中，忘记进位。
*   除法竖式计算中，商的位置写错。
*   乘法分配律运用错误，漏乘或多乘。
*   混合运算中，运算顺序出错。
*   审题不认真，导致列式错误。
*   余数大于或等于除数。
*   估算结果与实际值偏差过大。
*   不注意题目中的隐含条件。

# 《四年级乘除法思维导图》 ## 一、乘法 ### 1. 概念与意义 * **定义：** 求几个相同加数的和的简便运算。 * **要素：** 乘数、乘数、积 * **表示：** a × b = c (a 乘 b 等于 c) * **意义举例：** * 3 × 5 表示 3 个 5 相加，或 5 个 3 相加。 * 单价 × 数量 = 总价 ### 2. 乘法竖式 * **一位数乘多位数：** * 对齐数位。 * 从个位起，用一位数依次去乘多位数的每一位。 * 哪一位上乘得的积满几十，就向前一位进几。 * **两位数乘多位数：** * 用两位数个位上的数去乘多位数的每一位。 * 用两位数十位上的数去乘多位数的每一位，所得的积的末位要和十位对齐。 * 把两次乘得的积加起来。 * **估算：** * 把两个乘数都看作与它们接近的整十、整百数，再进行计算。例如： 48 × 19 ≈ 50 × 20 = 1000 ### 3. 乘法分配律 * **定义：** 两个数的和与一个数相乘，可以先把这两个数分别与这个数相乘，再把所得的积相加，结果不变。 * **公式：** (a + b) × c = a × c + b × c * **逆运用：** a × c + b × c = (a + b) × c * **变式：** (a - b) × c = a × c - b × c * **运用场景：** * 简化计算：例如 (10 + 2) × 5 = 10 × 5 + 2 × 5 = 50 + 10 = 60 * 解决实际问题：例如：购买两种不同商品，可以先算总数量再乘以单价，也可以分别计算后再相加。 ### 4. 乘法结合律 * **定义：** 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 * **公式：** (a × b) × c = a × (b × c) * **运用场景：** * 简化计算：例如： 25 × 37 × 4 = 25 × 4 × 37 = 100 × 37 = 3700 * **注意：** 结合律改变的是运算顺序，不改变运算符号。 ### 5. 乘法交换律 * **定义：** 两个数相乘，交换两个乘数的位置，积不变。 * **公式：** a × b = b × a * **运用场景：** * 简化计算：例如： 125 × 16 = 125 × 8 × 2 = 1000 × 2 = 2000 ### 6. 乘法估算 * **方法：** 将乘数估算成整十、整百、整千数，进行计算，得出近似值。 * **注意：** 估算时，应根据实际情况选择合适的估算策略，使结果更接近准确值。 * **应用：** 快速判断结果范围，检验计算的正确性。 ## 二、除法 ### 1. 概念与意义 * **定义：** 已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。 * **要素：** 被除数、除数、商、余数（如果存在） * **表示：** a ÷ b = c (a 除以 b 等于 c) * **意义举例：** * 15 ÷ 3 表示把 15 平均分成 3 份，每份是多少？ * 15 ÷ 3 表示 15 里面有几个 3？ * 总价 ÷ 数量 = 单价 ### 2. 除法竖式 * **一位数除多位数：** * 从被除数的高位除起。 * 除到被除数的哪一位，商就写在那一位的上面。 * 每次除得的余数必须比除数小。 * **两位数除多位数：** * 先用除数试除被除数的前两位，如果前两位比除数小，就试除前三位。 * 商写在被除数相应数位的上面。 * 每次除得的余数必须比除数小。 * **商不变的性质：** 被除数和除数同时乘或除以相同的数（零除外），商不变。 * **估算：** 把被除数和除数都看作与它们接近的整十、整百数，再进行计算。例如： 183 ÷ 29 ≈ 180 ÷ 30 = 6 ### 3. 除法性质 * **除法的运算顺序：** 只有同级运算时，按照从左到右的顺序计算。 * **带括号的除法：** 先算括号里面的，再算括号外面的。 * **连除的性质：** 一个数连续除以两个数，等于除以这两个数的积。 * a ÷ b ÷ c = a ÷ (b × c) ### 4. 余数问题 * **定义：** 在整数除法中，如果商是整数，被除数不能被除数整除，就会产生余数。 * **公式：** 被除数 = 除数 × 商 + 余数 * **余数特点：** 余数必须小于除数。 * **应用：** * 求被除数：已知除数、商和余数，可以求出被除数。 * 周期问题：通过计算余数，确定循环的规律。 ### 5. 除法估算 * **方法：** 将被除数和除数估算成整十、整百、整千数，进行计算，得出近似值。 * **注意：** 估算时，应根据实际情况选择合适的估算策略，使结果更接近准确值。 * **应用：** 快速判断结果范围，检验计算的正确性。 ## 三、乘除法综合运用 ### 1. 混合运算 * **运算顺序：** * 只有加减法或只有乘除法，从左到右依次计算。 * 既有乘除法又有加减法，先乘除后加减。 * 有括号的，先算括号里面的，再算括号外面的。 * **简便计算：** 灵活运用乘法分配律、结合律、交换律以及除法的性质，简化计算过程。 ### 2. 解决实际问题 * **审题：** 认真阅读题目，理解题意，明确已知条件和所求问题。 * **分析：** 分析数量关系，确定解题思路。 * **列式：** 根据数量关系，列出算式。 * **计算：** 认真计算，确保结果正确。 * **检验：** 检查计算过程和结果是否正确，是否符合题意。 * **答题：** 完整地写出答案。 * **常见类型：** * 归一问题 * 归总问题 * 连乘连除问题 * 行程问题 (初步) * 工程问题 (初步) * 植树问题 (简单) ### 3. 数量关系式 * **单价 × 数量 = 总价** * **总价 ÷ 单价 = 数量** * **总价 ÷ 数量 = 单价** * **速度 × 时间 = 路程** * **路程 ÷ 速度 = 时间** * **路程 ÷ 时间 = 速度** * **工作效率 × 工作时间 = 工作总量** * **工作总量 ÷ 工作效率 = 工作时间** * **工作总量 ÷ 工作时间 = 工作效率** ## 四、易错点 * 乘法竖式计算中，忘记进位。 * 除法竖式计算中，商的位置写错。 * 乘法分配律运用错误，漏乘或多乘。 * 混合运算中，运算顺序出错。 * 审题不认真，导致列式错误。 * 余数大于或等于除数。 * 估算结果与实际值偏差过大。 * 不注意题目中的隐含条件。

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