《六上数学第二单元思维导图》

核心主题：分数除法

本单元的核心是理解和掌握分数除法的意义、计算方法，并能运用分数除法解决实际问题。思维导图围绕此核心展开。

一、 倒数的意义和求法 ( foundational concept for fraction division )

• 1. 倒数的意义

  • 定义：乘积是 1 的两个数互为倒数。
  • 关键词：乘积是1，互为 ( reciprocal relationship is mutual )。
  • 理解：
    • 倒数是相互的，不能孤立地说“某个数是倒数”，必须说“谁是谁的倒数”。
    • 例如： 2/3 的倒数是 3/2，因为 (2/3) * (3/2) = 1。同样，3/2 的倒数是 2/3。

• 2. 求倒数的方法

  • 求分数的倒数：将分数的分子和分母颠倒位置。
    • 例如：5/8 的倒数是 8/5。
  • 求整数的倒数：先把整数看作分母是 1 的分数，再求倒数。
    • 例如：6 可以看作 6/1，它的倒数是 1/6。
  • 求带分数的倒数：先把带分数化成假分数，再求倒数。
    • 例如：2 又 1/4 化为 9/4，它的倒数是 4/9。
  • 特殊数的倒数：
    • 1 的倒数是 1。 ( 1 * 1 = 1 )
    • 0 没有倒数。 ( 因为任何数乘以 0 都得 0，不得 1；且 0 不能作除数/分母 )。

• 3. 倒数的应用

  • 是学习分数除法的基础，计算法则的核心步骤就是乘以除数的倒数。

二、 分数除法的意义与计算

• 1. 分数除法的意义

  • 与整数除法的意义类似，主要有两种：
    • 含义一 (等分除)：已知一个总数和平均分成的份数，求每份是多少。 ( 如：把 4/5 米长的绳子平均分成 2 段，每段长多少米？列式：(4/5) ÷ 2 )
    • 含义二 (包含除)：已知一个总数和每份的数量，求可以分成多少份。 ( 如：一根 4/5 米长的绳子，每 1/5 米剪一段，可以剪多少段？列式：(4/5) ÷ (1/5) )
    • 核心联系：分数除法是已知一个数的几分之几是多少，求这个数。
      • 例如：一个数的 2/3 是 6，求这个数。 列式：6 ÷ (2/3)。

• 2. 分数除法计算法则

  • 核心法则：除以一个不为 0 的数，等于乘这个数的倒数。
  • 符号表示：a ÷ b = a × (1/b) (其中 b ≠ 0 )
  • 适用范围：此法则适用于分数除以整数、整数除以分数、分数除以分数的所有情况。
  • 关键步骤：
    1. 将被除数不变。
    2. 将除号变为乘号。
    3. 将除数变为它的倒数。
    4. 按照分数乘法的法则进行计算。

• 3. 不同类型分数除法的计算

  • 类型一：分数除以整数
    • 方法：等于分数乘这个整数的倒数。
    • 示例：(3/4) ÷ 2 = (3/4) × (1/2) = 3/8
    • 注意：整数 a ( a ≠ 0 ) 的倒数是 1/a。
  • 类型二：整数除以分数
    • 方法：等于整数乘这个分数的倒数。
    • 示例：5 ÷ (2/3) = 5 × (3/2) = 15/2
    • 注意：将整数看作分母为 1 的分数进行计算。
  • 类型三：分数除以分数
    • 方法：等于被除数乘除数的倒数。
    • 示例：(2/5) ÷ (3/4) = (2/5) × (4/3) = 8/15
  • 计算技巧：
    • 先约分再计算：在乘法步骤中，如果分子和分母有公因数，可以先约分，使计算简化。
    • 结果化简：计算结果必须是最简分数；如果是假分数，有时需要化成带分数或整数。

• 4. 商与被除数、除数的关系

  • 当除数大于 1 时，商小于被除数 ( 例如：6 ÷ 2 = 3, 3 < 6；(1/2) ÷ 2 = 1/4, 1/4 < 1/2 )。
  • 当除数等于 1 时，商等于被除数 ( 例如：6 ÷ 1 = 6；(1/2) ÷ 1 = 1/2 )。
  • 当除数小于 1 ( 且不为 0 ) 时，商大于被除数 ( 例如：6 ÷ (1/2) = 12, 12 > 6；(1/2) ÷ (1/4) = 2, 2 > 1/2 )。
  • 记忆口诀：“越除越小”（除数大于1时），“越除越大”（除数小于1时）。

三、 分数混合运算

• 1. 运算顺序

  • 与整数混合运算顺序完全相同。
  • 规则：
    • 同级运算 ( 只有加减或只有乘除 )：从左到右依次计算。
    • 不同级运算 ( 既有加减又有乘除 )：先算乘除，后算加减。
    • 有括号的：先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。

• 2. 简便运算

  • 整数运算中的运算定律 ( 加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律 ) 在分数运算中同样适用。
  • 重点应用：
    • 乘法分配律：a × (b + c) = a × b + a × c 或 (a + b) × c = a × c + b × c。在分数混合运算中尤其常用，特别是当括号内是和或差，括号外是乘法时。
    • 提取公因数：乘法分配律的逆运用，a × b + a × c = a × (b + c)。
    • 结合律和交换律：用于凑整或使计算更方便。
  • 示例：
    • (3/4 + 1/2) ÷ 1/4 = (3/4 + 2/4) × 4 = (5/4) × 4 = 5 (先算括号内加法，再除法变乘法)
    • 7/8 × 1/5 + 1/8 × 1/5 = (7/8 + 1/8) × 1/5 = 1 × 1/5 = 1/5 (运用乘法分配律逆运算)
    • 5/6 ÷ 7 + 1/6 × 1/7 = 5/6 × 1/7 + 1/6 × 1/7 = (5/6 + 1/6) × 1/7 = 1 × 1/7 = 1/7 (除法变乘法后用分配律逆运算)

四、 运用分数除法解决问题

• 1. 基本类型：“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”

  • 特征：题目中通常包含“是...的几分之几”、“占...的几分之几”、“比...多/少几分之几”等描述，且单位“1”的量未知。
  • 解题关键：找准单位“1”的量。
  • 两种方法：
    • 方程法：设单位“1”的量为 x，根据等量关系列出方程求解。
      • 例：六年级有男生20人，占全班人数的 2/5，全班有多少人？
        • 解：设全班有 x 人。 x × (2/5) = 20 => x = 20 ÷ (2/5) => x = 20 × (5/2) => x = 50 (人)
    • 算术法：直接用对应的量 ÷ 对应的分率 = 单位“1”的量。
      • 例：同上。 20 ÷ (2/5) = 20 × (5/2) = 50 (人)

• 2. 稍复杂的应用题

  • 类型：
    • 和倍/差倍问题变式：已知两个量的和/差以及一个量是另一个量的几分之几，求这两个量。
    • 工程问题：涉及工作总量、工作效率、工作时间，常用到分数除法。
    • 行程问题：涉及路程、速度、时间，可能结合分数除法。
    • 百分数应用题的预备：分数应用题是百分数应用题的基础。
  • 解题步骤：
    1. 审题：仔细阅读题目，理解题意，找出已知条件和所求问题。
    2. 分析：找准单位“1”，分析数量关系，确定是求单位“1”还是求单位“1”的几分之几。
    3. 列式：根据数量关系选择合适的方法（方程或算术）列出算式或方程。
    4. 计算：准确运用分数除法及混合运算规则进行计算。
    5. 检验：检查结果是否符合实际意义，单位是否正确。
    6. 作答：写出完整的答案。

• 3. 画线段图辅助分析

  • 对于较复杂的应用题，画线段图可以帮助可视化数量关系，更清晰地找到单位“1”和各部分量之间的关系，有助于列出正确的算式或方程。

五、 知识梳理与易错点睛

• 1. 知识联系

  • 与分数乘法的关系：分数除法是分数乘法的逆运算。计算法则最终转化为分数乘法。解决问题时，求一个数的几分之几用乘法，已知一个数的几分之几是多少求这个数用除法。
  • 与倒数的关系：倒数是分数除法计算法则的关键。
  • 与整数除法的联系：意义相通，运算顺序一致。

• 2. 常见错误

  • 倒数概念不清：忘记 0 没有倒数；求带分数倒数时忘记先化成假分数；混淆倒数和相反数。
  • 计算法则用错：将被除数和除数颠倒；忘记将除号变乘号；忘记将除数变为倒数；或者只变符号不变倒数/只变倒数不变符号。
  • 混合运算顺序错误：不按先乘除后加减、先括号内的顺序计算。
  • 简便运算误用：不符合运算定律的强行简算，尤其是在加减法中误用乘法分配律。
  • 解决问题找错单位“1”：导致列式错误，用乘法代替了除法。
  • 计算粗心：约分错误，乘法计算错误，结果未化简等。

• 3. 学习建议

  • 重理解：深刻理解分数除法的意义和计算法则的来源（为何要乘以倒数）。
  • 勤练习：通过足量练习熟练掌握计算方法和技巧。
  • 多思考：解决问题时积极思考数量关系，尝试画图分析。
  • 常总结：归纳不同类型问题的解题思路和常见错误，查漏补缺。
  • 细检查：养成计算后和解题后检查的习惯。

总结：本单元以分数除法为核心，串联了倒数、分数混合运算及应用问题。掌握好分数除法的计算法则是基础，理解其意义并灵活运用于解决实际问题是关键。注意运算顺序和运算定律的运用，警惕常见错误，才能全面掌握本单元知识。