《立体几何与空间向量思维导图》

一、直线与平面

1. 直线与直线

• 位置关系:
  • 相交直线: 有且只有一个公共点。
    • 垂直: 夹角为90°
    • 斜交
  • 平行直线: 在同一平面内没有公共点。
  • 异面直线: 不在任何一个平面内，也没有公共点。
    • 判定定理：如果两条直线分别在一个平面内，并且它们不是平行直线，那么这两条直线是异面直线。
    • 公共垂线：存在且唯一， 连接公共垂线两端点的线段是异面直线上两点间的距离最短的线段。
    • 异面直线的夹角：θ ∈ (0°, 90°]。余弦值计算：cosθ = |cos<a, b>|，其中a、b为异面直线方向向量。
• 空间向量表示:
  • 方向向量共线: 平行或重合
  • 方向向量不共线且存在公共点: 相交
  • 方向向量不共线且无公共点: 异面
• 异面直线距离的计算
  • 直接法: 构建直角三角形或寻找公共垂线段。
  • 向量法: d = |(a × b) · c| / |a × b|， 其中 a，b为方向向量，c为连接两直线上一点的向量

2. 直线与平面

• 位置关系:
  • 直线在平面内: 无数个公共点。
  • 直线与平面相交: 有且只有一个公共点。
    • 斜交
    • 垂直：直线与平面内的所有直线都垂直。判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
  • 直线与平面平行: 没有公共点。判定定理：如果一条直线不在平面内，并且平行于平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面。
• 空间向量表示:
  • 方向向量与平面法向量垂直: 平行或在平面内
  • 方向向量与平面法向量不垂直: 相交
• 直线与平面所成的角:
  • 定义: 直线与其在平面上的射影所成的锐角。
  • 计算: sinθ = |cos<n, a>|，其中n为平面法向量，a为直线方向向量。

3. 平面与平面

• 位置关系:
  • 平行: 没有公共点。判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
  • 相交: 有且只有一条公共直线（交线）。
    • 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形。二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面上分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角。
    • 垂直：二面角平面角为90°。判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
• 空间向量表示:
  • 法向量共线: 平行
  • 法向量不共线: 相交
• 二面角的计算:
  • 定义法：找到二面角的平面角，直接计算。
  • 向量法：cosθ = |cos<n1, n2>|，其中n1、n2为两个平面的法向量。

二、空间几何体

1. 棱柱

• 定义: 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
• 分类: 直棱柱、斜棱柱。
• 性质:
  • 上下底面全等。
  • 侧棱平行且相等。
  • 直棱柱的侧棱长等于高。
• 体积: V = Sh，其中S为底面积，h为高。
• 表面积: S = 2S底 + S侧

2. 棱锥

• 定义: 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
• 分类: 正棱锥。
• 性质:
  • 底面是正多边形，且顶点在底面的投影是底面中心。
  • 各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。
• 体积: V = (1/3)Sh，其中S为底面积，h为高。
• 表面积: S = S底 + S侧

3. 圆柱

• 定义: 以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转所形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱。
• 体积: V = πr²h，其中r为底面半径，h为高。
• 表面积: S = 2πr² + 2πrh

4. 圆锥

• 定义: 以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转所形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。
• 体积: V = (1/3)πr²h，其中r为底面半径，h为高。
• 表面积: S = πr² + πrl，其中l为母线长。

5. 球

• 定义: 到定点的距离等于定长的点的集合叫做球。
• 体积: V = (4/3)πR³，其中R为球的半径。
• 表面积: S = 4πR²

三、空间向量运算

1. 向量加减法

• 加法: 几何意义：平行四边形法则、三角形法则。坐标运算：a + b = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)。
• 减法: 几何意义：从减向量的终点指向被减向量的终点。坐标运算：a - b = (x1 - x2, y1 - y2, z1 - z2)。

2. 向量数乘

• 定义: λa，方向与a相同或相反，模长为|λ||a|。
• 坐标运算: λa = (λx, λy, λz)。

3. 向量点乘（数量积）

• 定义: a · b = |a||b|cosθ，θ为a、b的夹角。
• 坐标运算: a · b = x1x2 + y1y2 + z1z2。
• 应用:
  • 判断向量是否垂直: a · b = 0 ⇔ a ⊥ b。
  • 求向量的模长: |a| = √(a · a)。
  • 求向量的夹角: cosθ = a · b / (|a||b|)。

4. 向量叉乘（向量积）

• 定义: a × b 是一个向量，其模长为 |a||b|sinθ，θ为a、b的夹角。方向垂直于a和b所决定的平面，并且a、b、a × b符合右手定则。
• 坐标运算: a × b = (y1z2 - y2z1, z1x2 - z2x1, x1y2 - x2y1)。
• 应用:
  • 求平面的法向量。
  • 求平行四边形的面积: S = |a × b|，其中a、b为平行四边形的两条邻边。
  • 判断共面向量：如果三个向量共面，则 (a x b) . c = 0
  • 求三棱锥的体积: V = 1/6 * |(a × b) · c|

四、常用结论与技巧

• 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线和这个平面内的任何一条直线都没有公共点。
• 线面垂直的性质定理：如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线。
• 面面平行的性质定理：如果两个平面平行，那么在一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面。
• 面面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
• 建系技巧: 充分利用已知条件建立合适的空间直角坐标系，简化计算。例如:以正方体的一个顶点为原点，与该顶点相连的三条棱所在直线为坐标轴建立坐标系。
• 向量法的优势: 将几何问题转化为代数运算，避免复杂的空间想象。
• 关注特殊图形: 注意观察图形中是否存在特殊的直角三角形、等腰三角形等，利用这些特殊图形的性质简化解题过程。
• 转化思想: 善于将空间问题转化为平面问题，例如将异面直线的夹角问题转化为平面向量的夹角问题。
• 参数法: 适当地引入参数，将几何量表示为参数的函数，利用函数的性质解决问题。

五、注意事项

• 认真审题，明确题目要求。
• 画出准确的图形，有助于理解题意。
• 选择合适的方法，简化计算过程。
• 注意书写规范，表达清晰。
• 仔细检查，避免错误。

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