《分数乘除法的思维导图》

一、分数乘法

1. 意义

• a. 分数乘整数： 表示几个相同分数的和，与整数乘法的意义相同。
  • 例如：(3/5) × 4 表示 4 个 (3/5) 相加，即 (3/5) + (3/5) + (3/5) + (3/5)。
• b. 分数乘分数： 表示一个数的几分之几是多少。
  • 例如：(1/2) × (2/3) 表示 (2/3) 的 (1/2) 是多少。 可以理解为把 (2/3) 平均分成两份，取其中的一份。

2. 计算方法

• a. 分数乘整数：
  • 分子与整数相乘的积作分子，分母不变。
  • 能约分的要先约分，再计算，这样可以简化计算过程。
  • 公式： (a/b) × c = (a×c) / b （其中，c为整数，b≠0）
• b. 分数乘分数：
  • 分子与分子相乘的积作分子，分母与分母相乘的积作分母。
  • 能约分的要先约分，再计算，约分时可以把不同分数的分子和分母进行约分。
  • 公式： (a/b) × (c/d) = (a×c) / (b×d) （其中，b≠0，d≠0）

3. 运算定律

• a. 乘法交换律： 两个数相乘，交换因数的位置，积不变。
  • 公式： a × b = b × a
• b. 乘法结合律： 三个数相乘，先把前两个数相乘，再和第三个数相乘；或者先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，它们的积不变。
  • 公式： (a × b) × c = a × (b × c)
• c. 乘法分配律： 两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再把所得的积相加。
  • 公式： (a + b) × c = a × c + b × c
  • 反向运用： a × c + b × c = (a + b) × c
  • 拓展： (a - b) × c = a × c - b × c
  • 反向运用： a × c - b × c = (a - b) × c

4. 倒数的认识

• a. 定义： 乘积是 1 的两个数互为倒数。
  • 例如：3/5 和 5/3 互为倒数，因为 (3/5) × (5/3) = 1。
• b. 特殊情况：
  • 1 的倒数是 1。
  • 0 没有倒数。（因为任何数乘以 0 都等于 0，不可能等于 1）。
• c. 求倒数的方法：
  • 求分数的倒数：交换分子和分母的位置。
    • 例如：a/b 的倒数是 b/a。
  • 求整数的倒数：把整数看作分母是 1 的分数，再交换分子和分母的位置。
    • 例如：5 的倒数是 1/5。
  • 求带分数的倒数：先把带分数化成假分数，再求倒数。
    • 例如：1又1/2 = 3/2, 3/2 的倒数是 2/3, 所以1又1/2的倒数是2/3

二、分数除法

1. 意义

• a. 分数除以整数： 表示把一个数平均分成若干份，求其中的一份是多少。
  • 例如：(4/5) ÷ 2 表示把 (4/5) 平均分成 2 份，求每一份是多少。
• b. 整数除以分数： 表示已知一个数的几分之几是多少，求这个数是多少。或者求一个数里面包含几个几分之几。
  • 例如：6 ÷ (2/3) 表示已知一个数的 (2/3) 是 6，求这个数是多少。也可以理解为6里面有几个2/3。
• c. 分数除以分数： 表示已知一个数的几分之几是多少，求这个数是多少。或者求一个数里面包含几个几分之几。
  • 例如：(3/4) ÷ (1/2) 表示已知一个数的 (1/2) 是 (3/4)，求这个数是多少。也可以理解为3/4里面有几个1/2。

2. 计算方法

• 除以一个数等于乘这个数的倒数。
• a. 分数除以整数：
  • 公式： (a/b) ÷ c = (a/b) × (1/c) = a / (b×c) （其中，c为整数，且c≠0, b≠0）
• b. 整数除以分数：
  • 公式： c ÷ (a/b) = c × (b/a) = (c×b) / a （其中，c为整数，a≠0, b≠0）
• c. 分数除以分数：
  • 公式： (a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c) = (a×d) / (b×c) （其中，b≠0，c≠0，d≠0）

3. 比的认识

• a. 比的意义： 两个数相除又叫做两个数的比。
  • 例如：a : b （b≠0）
• b. 比的各部分名称：
  • a : b 中，a 叫做比的前项，b 叫做比的后项，a ÷ b 叫做比值。
• c. 比与分数、除法的关系：
  • 比的前项相当于分数的分子，相当于除法中的被除数。
  • 比的后项相当于分数的分母，相当于除法中的除数。（比的后项不能为 0，分母不能为 0，除数不能为 0）。
  • 比值相当于分数的分数值，相当于除法中的商。
• d. 比的基本性质： 比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0 除外），比值不变。
  • 公式： a : b = (a × c) : (b × c) = (a ÷ c) : (b ÷ c) （其中，c≠0）

4. 化简比

• a. 整数比： 找到前项和后项的最大公因数，然后同时除以最大公因数。
  • 例如：12 : 18 = (12 ÷ 6) : (18 ÷ 6) = 2 : 3
• b. 分数比： 先把前项和后项同时乘以分母的最小公倍数，化成整数比，再化简。
  • 例如：(1/2) : (2/3) = (1/2 × 6) : (2/3 × 6) = 3 : 4
• c. 小数比： 先把前项和后项同时乘以10、100、1000……，转化成整数比，再化简。
  • 例如：0.6 : 1.5 = (0.6 × 10) : (1.5 × 10) = 6 : 15 = 2 : 5

三、分数混合运算及应用

1. 运算顺序

• 与整数混合运算的顺序相同。
  • 先乘除，后加减。
  • 有括号的，先算括号里面的，先算小括号，再算中括号，最后算大括号。

2. 解决问题

• a. 求一个数的几分之几是多少的问题： 用乘法计算。
  • 关键是找准单位“1”，找出对应的分数。
• b. 已知一个数的几分之几是多少，求这个数的问题： 用除法计算，或者用方程解。
  • 关键是找准单位“1”，找出对应的分数，列出等量关系式。
• c. 稍复杂的分数乘除法应用题：
  • 分析题意，找准单位“1”，确定解题思路。
  • 根据数量关系，列出算式或方程。
  • 检验答案是否符合题意。

3. 百分数的认识

• a. 定义： 表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数，也叫百分率或百分比。
• b. 百分数与分数的区别：
  • 意义不同：百分数只表示两个数之间的倍数关系，不表示具体的数量。分数既可以表示两个数之间的倍数关系，也可以表示具体的数量。
  • 写法不同：百分数后面要带“%”。
  • 单位不同：百分数没有单位名称。
• c. 百分数的读写：
  • 读法：先读“百分之”，再读后面的数。例如：25% 读作百分之二十五。
  • 写法：先写数字，再写百分号“%”。
• d. 百分数的应用：
  • 求一个数是另一个数的百分之几。
  • 求一个数比另一个数多（或少）百分之几。
  • 求一个数的百分之几是多少。
  • 已知一个数的百分之几是多少，求这个数。
  • 折扣、成数、税率、利率等。

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