《五年级上册思维导图数与代数》

一、小数乘法

• 1.1 小数乘整数

  • 含义：与整数乘法意义相同，求几个相同加数的和的简便运算。
  • 计算方法：
    • 将小数转化为整数进行计算。
    • 按照整数乘法法则计算。
    • 确定积的小数位数：小数位数与乘数相同。
  • 易错点：末尾有0的小数乘法，需要注意去掉积末尾多余的0。

• 1.2 小数乘小数

  • 含义：求一个数的几分之几是多少。
  • 计算方法：
    • 将小数转化为整数进行计算。
    • 按照整数乘法法则计算。
    • 确定积的小数位数：两个因数小数位数之和。
  • 易错点：
    • 积的小数位数不够，需要用0补足。
    • 积的末尾有0，需要先计算完整，再去掉末尾的0。

• 1.3 积的近似数

  • 方法：
    • 先计算出精确的积。
    • 根据需要保留的位数，用“四舍五入”法求近似数。
  • 注意：
    • 保留整数，精确到个位；保留一位小数，精确到十分位；保留两位小数，精确到百分位，以此类推。
    • “四舍五入”后，小数末尾的0不能去掉，表示精确度。

• 1.4 连乘、乘加、乘减

  • 运算顺序：与整数运算顺序相同，先乘除后加减，有括号的先算括号里的。
  • 简便计算：运用乘法交换律、结合律、分配律进行简便计算。
  • 应用：解决实际问题，注意分析题意，找到数量关系。

• 1.5 整数乘法运算定律推广到小数

  • 适用性：整数乘法的交换律、结合律、分配律同样适用于小数乘法。
  • 应用：利用运算定律进行简便计算，提高计算效率。
  • 常见简便计算模型：
    • a×b×c = a×(b×c) （乘法结合律）
    • a×b = b×a （乘法交换律）
    • (a+b)×c = a×c + b×c （乘法分配律）
    • (a-b)×c = a×c - b×c （乘法分配律变形）

二、小数除法

• 2.1 除数是整数的小数除法

  • 计算方法：
    • 按照整数除法法则计算，商的小数点与被除数的小数点对齐。
    • 如果除到被除数的末尾仍有余数，在余数后面添0继续除。
  • 特殊情况：
    • 被除数整数部分比除数小，商的整数部分为0，小数点要占位。
    • 被除数的整数部分为0，也要在商的整数部分写0占位。

• 2.2 除数是小数的小数除法

  • 计算方法：
    • 移动除数的小数点，使它变成整数。
    • 除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用“0”补足）。
    • 按照除数是整数的小数除法进行计算。
  • 易错点：
    • 移动小数点时，位数不够补0的位置。
    • 被除数的小数点移动后，要重新确定小数点的位置。

• 2.3 商的近似数

  • 方法：
    • 先计算出准确的商。
    • 根据需要保留的位数，用“四舍五入”法求近似数。
  • 注意：
    • 计算时，要比需要保留的位数多算一位，再进行“四舍五入”。

• 2.4 循环小数

  • 定义：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。
  • 循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做循环节。
  • 简便写法：循环小数的简便写法是在循环节的首位和末位数字上各点一个圆点。
  • 分类：
    • 纯循环小数：循环节从小数部分的第一位开始的循环小数。
    • 混循环小数：循环节不是从小数部分的第一位开始的循环小数。

• 2.5 用计算器探索规律

  • 利用计算器进行复杂的计算，发现数字规律。
  • 培养学生的观察能力和归纳能力。

• 2.6 解决问题

  • 审题，理解题意，分析数量关系。
  • 选择合适的方法解决问题，例如：平均数问题、归一问题、归总问题等。
  • 检验解答是否合理。
  • 注意：根据实际情况，选择“进一法”或“去尾法”取近似数。

三、简易方程

• 3.1 用字母表示数

  • 意义：用字母表示数可以简明地表达数量、数量关系、运算定律和计算公式。
  • 注意事项：
    • 字母表示数，乘号可以省略，数字在前，字母在后。
    • 两个相同的字母相乘，可以写成该字母的平方。
    • 1与任何字母相乘都省略1，直接写字母。

• 3.2 方程的意义

  • 定义：含有未知数的等式，叫做方程。
  • 关键：
    • 必须是等式。
    • 必须含有未知数。

• 3.3 等式的性质

  • 性质一：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。
  • 性质二：等式两边同时乘或除以同一个非零的数，所得结果仍然是等式。

• 3.4 解方程

  • 定义：求方程的解的过程叫做解方程。
  • 解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
  • 方法：利用等式的性质，将方程转化为x=a的形式。
  • 检验：将求出的解代入原方程，看方程左右两边是否相等。

• 3.5 列方程解决问题

  • 步骤：
    • 弄清题意，找出未知数，用字母x表示。
    • 分析题意，找出等量关系。
    • 根据等量关系，列出方程。
    • 解方程。
    • 检验并写出答案。
  • 常见的等量关系：
    • 总价=单价×数量
    • 路程=速度×时间
    • 工作总量=工作效率×工作时间
    • 加数+加数=和
    • 被减数-减数=差
    • 被除数÷除数=商
    • 因数×因数=积

• 3.6 稍复杂的方程

  • 含有多步运算的方程，需要运用运算顺序和等式的性质进行化简。
  • 例如：ax+b=c, a(x+b)=c等类型方程的解法。

四、多边形的面积

• 4.1 平行四边形的面积

  • 计算公式：S = ah (面积=底×高)
  • 推导过程：将平行四边形沿着高剪开，平移转化成长方形，长方形的面积等于平行四边形的面积，长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高。

• 4.2 三角形的面积

  • 计算公式：S = (ah)/2 (面积=底×高÷2)
  • 推导过程：用两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，三角形的面积是平行四边形面积的一半，平行四边形的底等于三角形的底，平行四边形的高等于三角形的高。

• 4.3 梯形的面积

  • 计算公式：S = (a+b)h/2 (面积=(上底+下底)×高÷2)
  • 推导过程：用两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，平行四边形的底等于梯形的上底和下底的和，平行四边形的高等于梯形的高。

• 4.4 组合图形的面积

  • 方法：
    • 分割法：将组合图形分割成几个简单的图形，分别计算面积，再求和。
    • 添补法：将组合图形添补成一个简单的图形，计算整体面积，再减去添补部分的面积。
  • 关键：
    • 选择合适的分割或添补方法。
    • 找到组合图形中各简单图形的底和高。

• 4.5 不规则图形的面积估算

  • 方法：将不规则图形放在方格纸上，数出整格的个数和半格的个数，然后估算出面积。
  • 注意：一个完整的方格代表1平方厘米或1平方米等。

五、可能性

• 5.1 可能性的大小

  • 定义：可能性是指事件发生的概率，用数字表示。
  • 可能性大小的判断：
    • 根据事件发生的条件和结果进行判断。
    • 根据事件包含的结果数量进行判断。

• 5.2 用分数表示可能性的大小

  • 计算方法：可能性 = 发生事件的结果数 ÷ 所有可能的结果数
  • 理解：可能性越接近1，事件发生的可能性越大；可能性越接近0，事件发生的可能性越小。

• 5.3 设计公平的游戏规则

  • 原则：保证每个参与者获胜的可能性相同。
  • 方法：设计游戏时，保证每个参与者面临的选择或条件相同，结果出现的机会均等。