三角形思维导图
《三角形思维导图》
中心主题：三角形
一、定义与基本要素
- 定义： 由同一平面内不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形。
- 要素：
- 顶点： A, B, C (通常用大写字母表示)
- 边： AB, BC, CA (也可用小写字母 a, b, c 表示，a对应A的对边，以此类推)
- 角： ∠A, ∠B, ∠C (通常用大写字母或希腊字母表示)
- 表示方法： △ABC
二、三角形的分类
- 按角分类：
- 锐角三角形： 三个内角都是锐角（小于90°）。
- 直角三角形： 有一个角是直角（等于90°）。
- 直角边： 组成直角的两条边。
- 斜边： 直角所对的边 (最长边)。
- 勾股定理： a² + b² = c² (a, b为直角边，c为斜边)
- 钝角三角形： 有一个角是钝角（大于90°且小于180°）。
- 按边分类：
- 不等边三角形： 三条边都不相等。
- 等腰三角形： 有两条边相等。
- 腰： 相等的两条边。
- 底边： 第三条边。
- 顶角： 两腰的夹角。
- 底角： 底边与腰的夹角。
- 性质：
- 两腰相等
- 两个底角相等 (等边对等角)
- 顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）
- 等边三角形： 三条边都相等（也称为正三角形）。
- 性质：
- 三个内角都相等，且都等于60°。
- 是特殊的等腰三角形。
- 具有等腰三角形的所有性质。
三、三角形的性质
- 内角和定理： 三角形三个内角之和等于180°。 (∠A + ∠B + ∠C = 180°)
- 外角： 三角形的一边与另一边的延长线所组成的角。
- 性质：
- 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
- 三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角。
- 三角形的三边关系：
- 三角形任意两边之和大于第三边。 (a + b > c, a + c > b, b + c > a)
- 三角形任意两边之差小于第三边。 (|a - b| < c, |a - c| < b, |b - c| < a)
四、三角形的重要线段
- 中线： 连接三角形的顶点和对边中点的线段。
- 性质：
- 三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心。
- 重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍。
- 角平分线： 三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点和交点之间的线段。
- 性质：
- 三角形的三条角平分线交于一点，这点称为三角形的内心。
- 内心到三角形三边的距离相等。
- 高： 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。
- 性质：
- 三角形的三条高（或高的延长线）交于一点，这点称为三角形的垂心。
- 中位线： 连接三角形两边中点的线段。
- 性质：
- 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
五、三角形的面积
- 一般三角形：
- S = (1/2) 底 高 (S = (1/2) b h)
- S = (1/2) a b * sinC (已知两边和夹角)
- 海伦公式： S = √(p(p-a)(p-b)(p-c))，其中 p = (a+b+c)/2
- 直角三角形：
- 等边三角形：
六、全等三角形
- 定义： 能够完全重合的两个三角形。
- 判定方法：
- SSS (边边边)： 三边对应相等的两个三角形全等。
- SAS (边角边)： 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。
- ASA (角边角)： 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。
- AAS (角角边)： 两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等。
- HL (斜边、直角边)： 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
- 性质： 全等三角形的对应边相等，对应角相等。
七、相似三角形
- 定义： 形状相同，但大小不一定相同的两个三角形。
- 判定方法：
- AA (角角)： 两角对应相等的两个三角形相似。
- SAS (边角边)： 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
- SSS (边边边)： 三边对应成比例的两个三角形相似。
- 性质：
- 相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
- 相似三角形的周长比等于相似比。
- 相似三角形的面积比等于相似比的平方。
- 相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比。
八、特殊三角形的应用
- 30-60-90 直角三角形： 边之间的比例关系为 1:√3:2。
- 45-45-90 直角三角形： 边之间的比例关系为 1:1:√2。
- 黄金分割三角形： 符合黄金分割比例的三角形，具有独特的几何性质。
九、三角形与几何变换
- 平移： 三角形的整体位置的改变，大小和形状不变。
- 旋转： 三角形绕某一点旋转一定的角度，大小和形状不变。
- 轴对称： 三角形关于某一条直线对称，大小和形状不变。
- 中心对称： 三角形关于某一点对称，大小和形状不变。
十、三角形与坐标系
- 坐标表示： 通过坐标系确定三角形各顶点的坐标。
- 距离公式： 利用坐标计算三角形的边长。
- 斜率： 利用坐标计算三角形边的斜率。
- 面积计算： 通过坐标计算三角形的面积 (如鞋带公式)。
十一、解三角形
- 正弦定理： a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R (R为外接圆半径)
- 余弦定理： a² = b² + c² - 2bccosA, b² = a² + c² - 2accosB, c² = a² + b² - 2abcosC
- 应用： 解决已知某些边和角，求其他边和角的问题。
十二、拓展：四边形和其他多边形
- 四边形： 可以分解成两个三角形来解决问题。
- 多边形： 可以分解成多个三角形来解决问题。
- 三角形的稳定性： 三角形具有稳定性，广泛应用于建筑、工程等领域。
