《函数单调框架整理思维导图》

一、框架总览

函数单调性是函数性质的重要组成部分，研究其单调性是解决许多函数问题的基础。该思维导图旨在系统整理函数单调性的相关概念、判定方法、常见类型和应用，构建一个完整的知识体系，并着重强调不同场景下判定方法的选择与组合运用。

mermaid graph TD A[函数单调性] --> B(定义) A --> C(判定方法) A --> D(常见类型) A --> E(应用)

B --> B1(单调递增)
B --> B2(单调递减)
B --> B3(严格/非严格)

C --> C1(定义法)
C --> C2(导数法)
C --> C3(复合函数法)
C --> C4(特殊函数性质法)
C --> C5(图像法)

D --> D1(一次函数)
D --> D2(二次函数)
D --> D3(指数函数)
D --> D4(对数函数)
D --> D5(幂函数)
D --> D6(三角函数)
D --> D7(抽象函数)

E --> E1(求值域/最值)
E --> E2(解不等式)
E --> E3(比较大小)
E --> E4(证明不等式)
E --> E5(讨论方程根的个数)

二、具体内容展开

1. 定义 (B)

• 单调递增 (B1): 对于定义域内的任意 x1 < x2，都有 f(x1) < f(x2)。
  • 理解：自变量增大，函数值也增大。
  • 图形特征：图像呈上升趋势。
• 单调递减 (B2): 对于定义域内的任意 x1 < x2，都有 f(x1) > f(x2)。
  • 理解：自变量增大，函数值减小。
  • 图形特征：图像呈下降趋势。
• 严格/非严格 (B3):
  • 严格单调：不等式中不包含等号，例如 f(x1) < f(x2) 或 f(x1) > f(x2)。
  • 非严格单调：不等式中包含等号，例如 f(x1) <= f(x2) 或 f(x1) >= f(x2)。在单调区间端点处可能取等号。

2. 判定方法 (C)

• 定义法 (C1):
  • 步骤：
    1. 设 x1, x2 ∈ (a, b) 且 x1 < x2；
    2. 求 f(x1) - f(x2) 或 f(x2) - f(x1)；
    3. 判断差的符号（或求商并判断与1的大小关系，适用于幂函数等）；
    4. 得出结论。
  • 适用范围：一般函数，尤其是抽象函数的单调性证明。
  • 难点：变形技巧，需要一定的代数运算能力。
• 导数法 (C2):
  • 原理：
    • f'(x) > 0 在 (a, b) 上恒成立，则 f(x) 在 (a, b) 上单调递增。
    • f'(x) < 0 在 (a, b) 上恒成立，则 f(x) 在 (a, b) 上单调递减。
    • f'(x) >= 0 且不恒为0，则f(x)在(a,b)上单调递增。
    • f'(x) <= 0 且不恒为0，则f(x)在(a,b)上单调递减。
  • 适用范围：可导函数。
  • 注意：导数为0的点不能太多，通常为有限个。
• 复合函数法 (C3):
  • 原理：“同增异减”。 若y=f(u),u=g(x)是复合函数，
    • 若f(u)和g(x)单调性相同，则y=f(g(x))单调递增；
    • 若f(u)和g(x)单调性相反，则y=f(g(x))单调递减。
  • 步骤：分解复合函数，确定内层函数和外层函数，分别判断单调性。
  • 适用范围：复合函数。
• 特殊函数性质法 (C4):
  • 例如：正比例函数 y = kx (k>0 递增, k<0 递减); 反比例函数 y = k/x (k>0 在定义域内递减, k<0 在定义域内递增)。
  • 需要熟练掌握常见函数的性质。
• 图像法 (C5):
  • 通过函数图像直观判断单调性。
  • 适用范围：已知函数图像或容易画出图像的函数。

3. 常见类型 (D)

• 一次函数 (D1): y = kx + b (k>0 递增, k<0 递减)
• 二次函数 (D2): y = ax² + bx + c (根据对称轴和开口方向判断)
• 指数函数 (D3): y = aˣ (a>1 递增, 0<a<1 递减)
• 对数函数 (D4): y = logₐx (a>1 递增, 0<a<1 递减)
• 幂函数 (D5): y = xᵃ (α>0 时，在 (0,+∞) 上单调递增； α<0 时，在 (0,+∞) 上单调递减)
• 三角函数 (D6): y = sinx, y = cosx, y = tanx (在各自的周期内分析)
• 抽象函数 (D7): 没有具体解析式，需要根据题目给出的条件进行分析。常用赋值法和构造函数法。

4. 应用 (E)

• 求值域/最值 (E1): 利用单调性确定函数在区间端点处的值，从而求出值域或最值。
• 解不等式 (E2): 将不等式转化为 f(x1) > f(x2) 或 f(x1) < f(x2) 的形式，利用单调性去掉函数符号。
• 比较大小 (E3): 构造函数，利用单调性比较函数值的大小。
• 证明不等式 (E4): 构造函数，利用单调性证明不等式。 例如，证明 f(x) > g(x) 在某个区间上成立，可以构造 h(x) = f(x) - g(x)，证明 h(x) 在该区间上单调递增且 h(a) > 0 (a 为区间下端点)。
• 讨论方程根的个数 (E5): 将方程转化为 f(x) = g(x) 的形式，利用两个函数的图像交点的个数来确定方程根的个数。也可以将方程根的个数问题转化为函数的最值问题或者值域问题。

三、总结与建议

函数单调性是函数学习的基础，灵活运用各种判定方法是关键。在实际解题过程中，应注意以下几点：

1. 选择合适的判定方法：根据函数的类型选择最合适的判定方法，例如，可导函数优先考虑导数法。
2. 注意定义域：在讨论单调性时，必须考虑函数的定义域。
3. 分段函数：对于分段函数，需要分段讨论单调性。
4. 抽象函数：对于抽象函数，需要充分利用题目给出的条件，例如 f(x+y) = f(x) + f(y) 等。
5. 数形结合：借助函数图像可以更直观地理解单调性。

通过系统学习和练习，熟练掌握函数单调性的相关知识，可以有效提高解题能力。