《高二数学思维导图》
一、集合与常用逻辑用语
1. 集合
- 概念：
- 集合的定义、元素的特性（确定性、互异性、无序性）
- 集合的表示方法（列举法、描述法、韦恩图法）
- 集合间的关系：
- 子集、真子集、空集
- 集合的相等
- 集合的运算：
- 并集、交集、补集
- 运算性质（交换律、结合律、分配律、德摩根定律）
- 应用：
- 解决简单的集合运算问题
- 利用集合思想解决实际问题
2. 常用逻辑用语
- 命题：
- 命题的定义、真假判断
- 简单命题与复合命题（且、或、非）
- 逻辑联结词：
- “且”、“或”、“非”的含义与真值表
- 量词：
- 全称量词、存在量词
- 全称命题、特称命题及其否定
- 充分条件与必要条件：
- 定义、判断方法
- 充要条件
- 逻辑推理：
- 合情推理（归纳推理、类比推理）
- 演绎推理
- 直接证明（综合法、分析法）
- 间接证明（反证法）
- 应用：
- 判断命题的真假
- 证明数学结论
- 解决实际问题中的逻辑推理
二、不等式
1. 不等关系与不等式
- 不等式的性质：
- 基本性质（对称性、传递性、加法、乘法）
- 推论
- 不等式的解法：
- 一元一次不等式
- 一元二次不等式
- 简单分式不等式
- 简单绝对值不等式
2. 基本不等式
- 基本不等式：
a+b >= 2√(ab)- 使用条件（一正二定三相等）
- 应用：
- 求最值问题
- 解决实际问题
3. 线性规划
- 线性规划问题：
- 可行域的绘制
- 目标函数的确定
- 最优解的求法（角点法）
- 应用：
- 解决简单的线性规划问题
- 实际问题的建模与求解
三、函数
1. 函数的概念与性质
- 函数的定义：
- 定义域、值域、对应法则
- 函数的表示方法：
- 解析法、图像法、列表法
- 函数的性质：
- 单调性（定义、判断、应用）
- 奇偶性（定义、判断、应用）
- 周期性（定义、判断、应用）
- 对称性 (关于点对称，关于直线对称)
- 函数的图像：
- 图像的绘制与识别
- 图像变换（平移、伸缩、对称）
2. 基本初等函数
- 指数函数：
- 定义、图像、性质
- 指数函数的应用
- 对数函数：
- 定义、图像、性质
- 对数函数的应用
- 幂函数：
- 定义、图像、性质
- 常见的幂函数
- 复合函数:
- 复合函数的定义域和值域
- 复合函数的单调性
3. 函数的应用
- 方程的根与函数的零点：
- 零点的定义
- 零点存在性定理
- 二分法求方程的近似解
- 函数模型的应用：
- 建立函数模型
- 解决实际问题
四、三角函数
1. 任意角和弧度制
- 角的概念的推广：
- 正角、负角、零角
- 象限角、终边相同的角
- 弧度制：
- 弧度的定义
- 弧度与角度的换算
- 弧长公式、扇形面积公式
2. 三角函数的定义
- 三角函数的定义：
- 正弦、余弦、正切的定义
- 三角函数值的符号
- 同角三角函数的关系：
- 平方关系、商数关系、倒数关系
- 诱导公式：
- 公式的记忆与应用
3. 三角函数的图像与性质
- 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质：
- 定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性、对称性
- 图像变换（平移、伸缩）
- 函数
y = Asin(ωx + φ)的图像与性质：- A、ω、φ 对函数图像的影响
4. 三角恒等变换
- 两角和与差的三角函数公式：
- 正弦、余弦、正切公式
- 倍角公式：
- 正弦、余弦、正切公式
- 半角公式（了解）：
- 辅助角公式：
asin(x) + bcos(x) = √(a^2+b^2) sin(x + φ)
- 应用：
- 化简三角函数式
- 证明三角恒等式
- 解决与三角函数有关的实际问题
5. 解三角形
- 正弦定理：
a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R
- 余弦定理：
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cosA
- 应用：
- 解决三角形中的有关问题
- 测量问题
- 实际问题的建模与求解
五、数列
1. 数列的概念
- 数列的定义：
- 数列的项、通项公式
- 数列的表示方法：
- 通项公式、递推公式
- 数列的分类：
- 等差数列、等比数列
2. 等差数列
- 等差数列的定义：
- 公差
- 等差数列的通项公式：
an = a1 + (n-1)d
- 等差数列的前n项和公式：
Sn = n(a1 + an)/2 = na1 + n(n-1)d/2
- 等差数列的性质：
- 等差中项
- 重要推论
3. 等比数列
- 等比数列的定义：
- 公比
- 等比数列的通项公式：
an = a1 * q^(n-1)
- 等比数列的前n项和公式：
Sn = a1(1-q^n)/(1-q) = (a1 - an*q)/(1-q)(q≠1)
- 等比数列的性质：
- 等比中项
- 重要推论
4. 数列的应用
- 解决实际问题：
- 增长率问题
- 储蓄问题
- 其他应用问题
- 数列求和的常用方法：
- 公式法
- 分组求和法
- 裂项相消法
- 错位相减法
六、立体几何初步
1. 空间几何体
- 空间几何体的结构特征：
- 多面体（棱柱、棱锥、棱台）
- 旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）
- 空间几何体的直观图：
- 斜二测画法
- 空间几何体的表面积与体积：
- 各种几何体的表面积和体积公式
2. 空间点、直线、平面之间的位置关系
- 公理与推论：
- 确定平面的公理
- 推论
- 空间直线与直线的位置关系：
- 平行、相交、异面
- 空间直线与平面的位置关系：
- 直线在平面内
- 直线与平面平行
- 直线与平面相交
- 平面与平面的位置关系：
- 平行
- 相交
- 直线与平面垂直的判定与性质：
- 判定定理
- 性质定理
- 平面与平面垂直的判定与性质：
- 判定定理
- 性质定理
- 直线与平面的夹角：
- 二面角：
3. 空间向量与立体几何
- 空间向量的概念与运算：
- 空间向量的线性运算（加法、减法、数乘）
- 空间向量的数量积
- 空间向量的应用：
- 求直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角
- 证明平行、垂直关系
- 求点到直线的距离、点到平面的距离