分数思维导图小报

分数 (Fractions)

定义与概念 (Definition & Concept)

• 什么是分数？ (What is a fraction?)
  • 表示把单位“1”平均分成若干份，取其中的一份或几份的数。
  • 也可以看作是除法的商，分子是被除数，分母是除数（分母不能为0）。
• 意义 (Meaning)
  • 表示一个整体（单位“1”）的一部分。
  • 表示两个数（被除数和除数）的比或商。

分数的构成 (Components of a Fraction)

• 分子 (Numerator): 在分数线上方，表示所取的份数。
• 分母 (Denominator): 在分数线下方，表示把单位“1”平均分成的总份数。分母不能为零。
• 分数线 (Fraction Bar): 介于分子和分母之间，代表“平均分”或除号。

分数的分类 (Types of Fractions)

• 真分数 (Proper Fractions)
  • 分子小于分母的分数。
  • 数值大于0且小于1。
  • 例：1/2, 3/4, 5/6
• 假分数 (Improper Fractions)
  • 分子大于或等于分母的分数。
  • 数值大于或等于1。
  • 例：5/4, 7/7, 9/5
• 带分数 (Mixed Numbers)
  • 由整数和真分数组成的数。
  • 是假分数的另一种表示形式。
  • 例：1又1/2 (写成 1 1/2), 3又3/4 (写成 3 3/4)

分数的基本性质 (Basic Properties of Fractions)

• 性质 (Property): 分数的分子和分母同时乘以或除以同一个不为零的数，分数的大小不变。这是进行约分和通分的理论基础。
• 应用 (Application):
  • 约分 (Simplification): 把一个分数化成和它相等但分子和分母都比较小的分数（通常是化成最简分数）。方法是分子分母同除以它们的最大公约数。
  • 通分 (Finding Common Denominators): 根据分数的基本性质，把几个异分母分数，化成与原来分数大小相等、并且分母相同的分数。方法是找到分母的最小公倍数作为公分母，再根据性质化成分母相同的分数。

分数的大小比较 (Comparing Fractions)

• 同分母分数 (Same Denominator): 分母相同时，分子大的分数大。
• 同分子分数 (Same Numerator): 分子相同时，分母小的分数反而大（因为分的份数越少，每一份就越大）。
• 异分母分数 (Different Denominators): 先通分，化成同分母分数后再比较分子。

分数的运算 (Operations with Fractions)

• 加法 (Addition):
  • 同分母：分母不变，分子相加。
  • 异分母：先通分，化成同分母后再相加。结果通常要化为最简分数或带分数。
• 减法 (Subtraction):
  • 同分母：分母不变，分子相减。
  • 异分母：先通分，化成同分母后再相减。结果通常要化为最简分数或带分数。
• 乘法 (Multiplication): 分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。计算前或计算后能约分的要约分，使结果最简。
• 除法 (Division): 除以一个不为零的数，等于乘以这个数的倒数。即：a/b ÷ c/d = a/b × d/c (其中 c/d ≠ 0)。计算方法转化为分数乘法。

分数与其他形式的转化 (Conversion with other forms)

• 分数 -> 小数 (Fraction to Decimal): 分子除以分母。得到的是有限小数或无限循环小数。
• 小数 -> 分数 (Decimal to Fraction): 看小数部分的位数，决定分母是10、100、1000等；小数部分去掉小数点作分子，再约分。例如：0.5 = 5/10 = 1/2； 0.25 = 25/100 = 1/4。
• 分数 -> 百分数 (Fraction to Percentage): 先把分数化成小数（通常除到需要的位数或化为最简分数再处理），再把小数的小数点向右移动两位，同时添上百分号。或者根据分数基本性质，将分数化为分母是100的分数。例：1/2 = 0.5 = 50%； 3/4 = 0.75 = 75%。
• 百分数 -> 分数 (Percentage to Fraction): 把百分数写成以100为分母的分数，再化简。例：25% = 25/100 = 1/4； 120% = 120/100 = 6/5。
• 带分数 <-> 假分数 (Mixed Number <-> Improper Fraction):
  • 带分数化假分数：用整数乘以分母，加上原来的分子，得数作新分子，分母不变。 例：2又1/3 = (2*3+1)/3 = 7/3。
  • 假分数化带分数：用分子除以分母，商作整数，余数作分子，分母不变。例：7/3 = 7 ÷ 3 = 2余1，所以是2又1/3。

分数的应用 (Applications of Fractions)

• 生活中的分数 (Fractions in daily life): 分割物体（如披萨、蛋糕）、表示比例和比例尺（如地图比例尺）、度量（如液体、长度、时间）、表示可能性（如概率）。
• 解决问题 (Problem solving): 用于解决关于部分与整体、比较、分配、增长率或减少率等实际问题。理解“一个数的几分之几是多少”等类型的问题。