华罗庚思维导图四年级

# 《华罗庚思维导图四年级》 ## 第一章：整数加减法的巧算 ### 1.1 加法交换律与结合律 * **加法交换律:** a + b = b + a * 思维导图： * 中心：加法交换律 * 分支1：定义 - 改变加数位置，和不变 * 分支2：举例 - 5 + 3 = 3 + 5 = 8 * 分支3：应用 - 简化计算，如 27 + 13 + 3 = 27 + 3 + 13 = 43 * **加法结合律:** (a + b) + c = a + (b + c) * 思维导图： * 中心：加法结合律 * 分支1：定义 - 先加哪两个数，和不变 * 分支2：举例 - (2 + 8) + 5 = 2 + (8 + 5) = 15 * 分支3：应用 - 凑整计算，如 34 + 16 + 25 = 34 + (16 + 25) = 75 * **综合应用:** 灵活运用交换律和结合律简化计算 * 思维导图： * 中心：加法巧算 * 分支1：目标 - 凑整 * 分支2：策略 - 交换位置、结合分组 * 分支3：例题 - 18 + 47 + 2 + 3 = (18 + 2) + (47 + 3) = 20 + 50 = 70 ### 1.2 减法的性质 * **减法性质一:** a - b - c = a - (b + c) * 思维导图： * 中心：减法性质一 * 分支1：定义 - 连续减去两个数等于减去这两个数的和 * 分支2：举例 - 10 - 3 - 2 = 10 - (3 + 2) = 5 * 分支3：应用 - 简化连续减法，如 56 - 17 - 3 = 56 - (17 + 3) = 36 * **减法性质二:** a - (b - c) = a - b + c * 思维导图： * 中心：减法性质二 * 分支1：定义 - 从一个数中减去两个数的差等于减去第一个数加上第二个数 * 分支2：举例 - 15 - (7 - 2) = 15 - 7 + 2 = 10 * 分支3：应用 - 处理带括号的减法，如 48 - (18 - 5) = 48 - 18 + 5 = 35 * **综合应用:** 结合加法交换律和结合律以及减法性质简化计算 * 思维导图： * 中心：加减混合巧算 * 分支1：目标 - 凑整、合并同类项 * 分支2：策略 - 改变顺序、添括号、去括号 * 分支3：例题 - 83 - 27 + 17 = 83 + 17 - 27 = 100 - 27 = 73 ## 第二章：整数乘除法的巧算 ### 2.1 乘法交换律与结合律 * **乘法交换律:** a × b = b × a * 思维导图： * 中心：乘法交换律 * 分支1：定义 - 改变乘数位置，积不变 * 分支2：举例 - 4 × 5 = 5 × 4 = 20 * 分支3：应用 - 简化计算，如 25 × 3 × 4 = 25 × 4 × 3 = 300 * **乘法结合律:** (a × b) × c = a × (b × c) * 思维导图： * 中心：乘法结合律 * 分支1：定义 - 先乘哪两个数，积不变 * 分支2：举例 - (2 × 5) × 3 = 2 × (5 × 3) = 30 * 分支3：应用 - 凑整计算，如 2 × 13 × 5 = 2 × 5 × 13 = 130 * **综合应用:** 灵活运用交换律和结合律简化计算，重点寻找能凑成整十、整百、整千的数。 * 思维导图： * 中心：乘法巧算 * 分支1：目标 - 凑整（10, 100, 1000等） * 分支2：策略 - 交换位置、结合分组 * 分支3：例题 - 8 × 125 × 7 = (8 × 125) × 7 = 1000 × 7 = 7000 ### 2.2 乘法分配律 * **乘法分配律:** (a + b) × c = a × c + b × c 或 a × (b + c) = a × b + a × c * 思维导图： * 中心：乘法分配律 * 分支1：定义 - 一个数与两个数的和相乘，等于这个数分别与这两个数相乘，再将积相加 * 分支2：举例 - (3 + 4) × 5 = 3 × 5 + 4 × 5 = 35 * 分支3：应用 - 简化计算，如 12 × 101 = 12 × (100 + 1) = 12 × 100 + 12 × 1 = 1212 * **逆用乘法分配律:** a × c + b × c = (a + b) × c 或 a × b + a × c = a × (b + c) * 思维导图： * 中心：乘法分配律逆用 * 分支1：定义 - 提取公因数 * 分支2：举例 - 7 × 8 + 3 × 8 = (7 + 3) × 8 = 80 * 分支3：应用 - 简化计算，如 23 × 15 + 23 × 5 = 23 × (15 + 5) = 23 × 20 = 460 * **综合应用:** 灵活运用乘法交换律、结合律和分配律，处理复杂的乘法计算。 * 思维导图： * 中心：乘法综合巧算 * 分支1：目标 - 凑整、提取公因数 * 分支2：策略 - 分解数字、组合数字、提取公因数 * 分支3：例题 - 25 × 16 = 25 × 4 × 4 = 100 × 4 = 400 ### 2.3 除法的性质 * **除法性质一:** a ÷ b ÷ c = a ÷ (b × c) * 思维导图： * 中心：除法性质一 * 分支1：定义 - 连续除以两个数等于除以这两个数的积 * 分支2：举例 - 24 ÷ 2 ÷ 3 = 24 ÷ (2 × 3) = 4 * 分支3：应用 - 简化连续除法，如 120 ÷ 5 ÷ 2 = 120 ÷ (5 × 2) = 12 * **除法分配律 (除法性质):** (a + b) ÷ c = a ÷ c + b ÷ c * 思维导图： * 中心：除法分配律 * 分支1：定义 - 两个数的和除以一个数等于这两个数分别除以这个数，再将商相加（必须能整除） * 分支2：举例 - (15 + 9) ÷ 3 = 15 ÷ 3 + 9 ÷ 3 = 8 * 分支3：应用 - 分解数字进行计算，如 72 ÷ 8 + 40 ÷ 8 = (72 + 40) ÷ 8 = 112 ÷ 8 = 14 ## 第三章：应用题初步 ### 3.1 和差问题 * 思维导图： * 中心：和差问题 * 分支1：公式 - (和 + 差) ÷ 2 = 大数， (和 - 差) ÷ 2 = 小数 * 分支2：特点 - 已知两个数的和和差，求这两个数 * 分支3：例题 - 甲乙两数之和是 20，甲比乙大 4，求甲乙两数。（甲:(20+4)/2=12, 乙:(20-4)/2=8） ### 3.2 和倍问题 * 思维导图： * 中心：和倍问题 * 分支1：公式 - 和 ÷ (倍数 + 1) = 较小数， 较小数 × 倍数 = 较大数 * 分支2：特点 - 已知两个数的和以及两个数之间的倍数关系，求这两个数 * 分支3：例题 - 苹果和梨共有 15 个，苹果的个数是梨的 2 倍，求苹果和梨各有多少个。（梨: 15/(2+1)=5个, 苹果:5*2=10个） ### 3.3 差倍问题 * 思维导图： * 中心：差倍问题 * 分支1：公式 - 差 ÷ (倍数 - 1) = 较小数， 较小数 × 倍数 = 较大数 * 分支2：特点 - 已知两个数的差以及两个数之间的倍数关系，求这两个数 * 分支3：例题 - 哥哥比弟弟多 8 支铅笔，哥哥的铅笔数量是弟弟的 3 倍，求哥哥和弟弟各有多少支铅笔。（弟弟:8/(3-1)=4支, 哥哥:4*3=12支） ### 3.4 年龄问题 * 思维导图： * 中心：年龄问题 * 分支1：关键 - 年龄差不变 * 分支2：策略 - 利用年龄差转化为和差问题或差倍问题 * 分支3：例题 - 今年爸爸 30 岁，儿子 5 岁，几年后爸爸的年龄是儿子的 4 倍？（年龄差：30-5=25岁，几年后儿子：25/(4-1)=25/3岁， 无法直接得出答案，需要根据实际情况推算。 通常需要假设几年后。） ## 第四章：简单图形计数 ### 4.1 数线段 * 思维导图： * 中心：数线段 * 分支1：公式 - n 个点可以构成 n(n-1)/2 条线段 * 分支2：方法 - 从左到右，依次以每个点为起点计数 * 分支3：注意 - 避免重复计数 ### 4.2 数角 * 思维导图： * 中心：数角 * 分支1：公式 - n 条射线可以构成 n(n-1)/2 个角 * 分支2：方法 - 从小到大，依次计数 * 分支3：注意 - 区分锐角、直角、钝角 ### 4.3 数正方形 * 思维导图： * 中心：数正方形 * 分支1：规律 - 不同大小的正方形分别计数 * 分支2：方法 - 从小到大，有序计数 * 分支3：例题 - 在一个3x3的方格中，有多少个正方形？（1x1的有9个, 2x2的有4个，3x3的有1个，共14个） ## 第五章：周期问题 * 思维导图： * 中心：周期问题 * 分支1：关键 - 找出循环周期 * 分支2：公式 - 总数 ÷ 周期 = 商 ... 余数 * 分支3：应用 - 判断第几个是什么，或判断总数是多少 * 分支4：例题 - 按照“红黄蓝”的顺序排列彩旗，第 20 面彩旗是什么颜色？（20 ÷ 3 = 6 ... 2， 所以是黄色）

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