《数学思维导图五上》
一、小数乘法
1.1 小数乘整数
- 概念： 求几个相同加数的和的简便运算。
- 计算方法：
- 按整数乘法算出积。
- 看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。
- 性质： 一个数（0除外）乘大于1的数，积比原来的数大；一个数（0除外）乘小于1的数，积比原来的数小。
- 注意： 积的小数部分末尾有0，要化简。
- 应用： 解决实际问题，如单价×数量=总价。
1.2 小数乘小数
- 概念： 两个小数相乘。
- 计算方法：
- 按整数乘法算出积。
- 看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。
- 性质：
- 两个因数都大于1，积大于每个因数。
- 两个因数都小于1，积小于每个因数。
- 一个因数大于1，一个因数小于1，积的大小不确定。
- 注意： 积的小数部分位数不够时，用0补位。积的小数部分末尾有0，要化简。
- 应用： 解决实际问题，如计算面积、体积等。
- 估算： 将小数估成整数，再进行计算。
1.3 积的近似数
- 概念： 根据需要，用“四舍五入”法保留一定的小数位数。
- 方法：
- 先算出积。
- 根据需要保留的位数，看下一位上的数。
- “四舍五入”。
- 注意： 近似数末尾的0不能去掉，表示精确度。
1.4 整数乘法运算定律推广到小数
- 运算定律：
- 乘法交换律： a × b = b × a
- 乘法结合律： (a × b) × c = a × (b × c)
- 乘法分配律： (a + b) × c = a × c + b × c 和 a × (b + c) = a × b + a × c
- 应用： 简便计算。
- 注意： 观察算式特征，灵活运用运算定律。
二、位置
2.1 用数对确定位置
- 概念： 用两个数组成的数对表示物体的位置。
- 表示方法： (列, 行)，先写列数，再写行数，用逗号隔开，用括号括起来。
- 理解：
- 列：竖排，从左往右数。
- 行：横排，从前往后数。
- 应用： 在平面图上确定物体的位置。
- 拓展： 在实际生活中，可以利用经纬度确定位置。
三、小数除法
3.1 除数是整数的小数除法
- 概念： 一个小数除以一个整数。
- 计算方法：
- 按整数除法的方法去除。
- 商的小数点要和被除数的小数点对齐。
- 如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添0继续除。
- 注意： 除数是整数的小数除法，商的小数点要和被除数的小数点对齐。
- 应用： 解决实际问题，如平均分问题。
3.2 除数是小数的小数除法
- 概念： 一个数除以一个小数。
- 计算方法：
- 将除数转化为整数（利用商不变的性质）。
- 把除数和被除数同时扩大相同的倍数，使除数变成整数。
- 按照除数是整数的小数除法进行计算。
- 注意： 移动小数点时，位数不够的用0补足。
- 应用： 解决实际问题。
3.3 商的近似数
- 概念： 根据需要，用“四舍五入”法保留一定的小数位数。
- 方法：
- 先算出商，比需要保留的位数多算一位。
- 根据需要保留的位数，看下一位上的数。
- “四舍五入”。
- 注意： 近似数末尾的0可以根据题意决定是否保留。
3.4 循环小数
- 概念： 一个小数，从小数部分的某一位起，一个或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。
- 表示方法： 在循环节的首位和末位上面各点一个圆点。也可以在循环节上画一条横线。
- 分类：
- 纯循环小数： 从小数部分第一位开始循环的小数。
- 混循环小数： 从小数部分不是第一位开始循环的小数。
- 有限小数： 小数部分的位数是有限的小数。
- 无限小数： 小数部分的位数是无限的小数。
- 注意： 循环小数是无限小数，但无限小数不一定是循环小数。
- 应用： 解决实际问题，需要将循环小数取近似值。
3.5 用计算器探索规律
- 探索： 利用计算器进行计算，观察计算结果，发现规律。
- 应用： 利用规律解决相关问题。
- 注意： 要仔细观察，多进行尝试。
3.6 解决问题
- 策略：
- 认真审题，理解题意。
- 分析数量关系。
- 确定解题方法。
- 正确计算。
- 检验答案。
- 类型： 单价×数量=总价，路程=速度×时间，工作总量=工作效率×工作时间等。
四、简易方程
4.1 用字母表示数
- 目的： 简明地表达数量关系、运算定律和计算公式。
- 表示方法： 用字母表示数，字母可以表示任何数。
- 注意：
- 在含有字母的乘法算式里，乘号可以写成“·”，也可以省略不写。
- 数字和字母相乘时，要把数字写在字母的前面。
- 当1与字母相乘时，1可以省略不写。
- 应用： 表示运算定律、计算公式、数量关系等。
4.2 方程的意义
- 概念： 含有未知数的等式叫做方程。
- 理解：
- 必须是等式。
- 必须含有未知数。
- 判断： 判断一个式子是不是方程，要同时满足以上两个条件。
4.3 等式的性质
- 性质1： 等式两边同时加上或减去同一个数，结果仍然是等式。
- 性质2： 等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，结果仍然是等式。
- 应用： 解方程的依据。
4.4 解方程
- 概念： 求方程的解的过程叫做解方程。
- 方程的解： 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
- 方法：
- 根据等式的性质，将方程变形。
- 使方程的一边只剩下未知数，另一边是已知数。
- 步骤：
- 写“解：”。
- 根据等式的性质，进行变形。
- 求出未知数的值。
- 注意：
- 检验：将求出的未知数的值代入原方程，看左右两边是否相等。
- 格式要规范。
4.5 列方程解决问题
- 步骤：
- 找出未知数，用字母x表示。
- 分析题目中的数量关系，找出等量关系。
- 根据等量关系，列出方程。
- 解方程。
- 检验，写出答案。
- 技巧：
- 理解题意，找准等量关系。
- 可以借助线段图等工具分析数量关系。
- 多加练习，熟能生巧。
- 常见类型： 和倍问题、差倍问题、行程问题、工程问题等。
五、多边形的面积
5.1 平行四边形的面积
- 公式： 面积 = 底 × 高 (S = ah)
- 推导： 通过割补的方法，将平行四边形转化成长方形。
- 理解： 底和高必须是对应的。
- 应用： 计算平行四边形的面积，解决实际问题。
5.2 三角形的面积
- 公式： 面积 = (底 × 高) ÷ 2 (S = ah ÷ 2)
- 推导： 通过拼摆的方法，将两个完全相同的三角形拼成一个平行四边形。
- 理解： 底和高必须是对应的。
- 应用： 计算三角形的面积，解决实际问题。
5.3 梯形的面积
- 公式： 面积 = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2 (S = (a + b)h ÷ 2)
- 推导： 通过拼摆的方法，将两个完全相同的梯形拼成一个平行四边形。
- 理解： 上底、下底和高必须是对应的。
- 应用： 计算梯形的面积，解决实际问题。
5.4 组合图形的面积
- 概念： 由几个简单的图形组合而成的图形。
- 方法：
- 分割法： 将组合图形分割成几个简单的图形，分别计算面积，再求和。
- 添补法： 将组合图形添补成一个大的图形，计算大图形的面积，再减去添补部分的面积。
- 注意： 选择合适的方法，使计算简便。
5.5 不规则图形的面积
- 方法：
- 数方格法： 将不规则图形放在方格纸上，数出占整格的个数和超过半格的个数，估算出面积。
- 近似图形法： 将不规则图形近似地看作规则图形，估算出面积。
- 注意： 估算的结果不是精确值，只是一个近似值。
六、数学广角——植树问题
6.1 植树问题
- 类型：
- 两端都栽： 棵数 = 间隔数 + 1
- 一端栽，一端不栽： 棵数 = 间隔数
- 两端都不栽： 棵数 = 间隔数 - 1
- 封闭图形： 棵数 = 间隔数
- 间隔数： 总长度 ÷ 间隔长度
- 总长度： 间隔长度 × 间隔数
- 注意： 要认真分析题意，确定是哪种类型的植树问题。
- 应用： 解决类似的实际问题，如排队、安装路灯等。
- 变式： 根据实际情况进行调整，如考虑转角处是否需要多栽树。
以上是一个较为详细的《数学思维导图五上》的内容框架。 可以根据实际情况，将每一个部分的内容更加细化，并配合图形进行展示，使思维导图更加直观和易于理解。