数学思维导图五上

# 《数学思维导图五上》

## 一、小数乘法

### 1.1 小数乘整数

*   **概念：** 求几个相同加数的和的简便运算。
*   **计算方法：**
    *   按整数乘法算出积。
    *   看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。
*   **性质：** 一个数（0除外）乘大于1的数，积比原来的数大；一个数（0除外）乘小于1的数，积比原来的数小。
*   **注意：** 积的小数部分末尾有0，要化简。
*   **应用：** 解决实际问题，如单价×数量=总价。

### 1.2 小数乘小数

*   **概念：** 两个小数相乘。
*   **计算方法：**
    *   按整数乘法算出积。
    *   看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。
*   **性质：**
    *   两个因数都大于1，积大于每个因数。
    *   两个因数都小于1，积小于每个因数。
    *   一个因数大于1，一个因数小于1，积的大小不确定。
*   **注意：** 积的小数部分位数不够时，用0补位。积的小数部分末尾有0，要化简。
*   **应用：** 解决实际问题，如计算面积、体积等。
*   **估算：** 将小数估成整数，再进行计算。

### 1.3 积的近似数

*   **概念：** 根据需要，用“四舍五入”法保留一定的小数位数。
*   **方法：**
    *   先算出积。
    *   根据需要保留的位数，看下一位上的数。
    *   “四舍五入”。
*   **注意：** 近似数末尾的0不能去掉，表示精确度。

### 1.4 整数乘法运算定律推广到小数

*   **运算定律：**
    *   **乘法交换律：** a × b = b × a
    *   **乘法结合律：** (a × b) × c = a × (b × c)
    *   **乘法分配律：** (a + b) × c = a × c + b × c  和 a × (b + c) = a × b + a × c
*   **应用：** 简便计算。
*   **注意：** 观察算式特征，灵活运用运算定律。

## 二、位置

### 2.1 用数对确定位置

*   **概念：** 用两个数组成的数对表示物体的位置。
*   **表示方法：** (列, 行)，先写列数，再写行数，用逗号隔开，用括号括起来。
*   **理解：**
    *   列：竖排，从左往右数。
    *   行：横排，从前往后数。
*   **应用：** 在平面图上确定物体的位置。
*   **拓展：** 在实际生活中，可以利用经纬度确定位置。

## 三、小数除法

### 3.1 除数是整数的小数除法

*   **概念：** 一个小数除以一个整数。
*   **计算方法：**
    *   按整数除法的方法去除。
    *   商的小数点要和被除数的小数点对齐。
    *   如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添0继续除。
*   **注意：** 除数是整数的小数除法，商的小数点要和被除数的小数点对齐。
*   **应用：** 解决实际问题，如平均分问题。

### 3.2 除数是小数的小数除法

*   **概念：** 一个数除以一个小数。
*   **计算方法：**
    *   将除数转化为整数（利用商不变的性质）。
    *   把除数和被除数同时扩大相同的倍数，使除数变成整数。
    *   按照除数是整数的小数除法进行计算。
*   **注意：** 移动小数点时，位数不够的用0补足。
*   **应用：** 解决实际问题。

### 3.3 商的近似数

*   **概念：** 根据需要，用“四舍五入”法保留一定的小数位数。
*   **方法：**
    *   先算出商，比需要保留的位数多算一位。
    *   根据需要保留的位数，看下一位上的数。
    *   “四舍五入”。
*   **注意：** 近似数末尾的0可以根据题意决定是否保留。

### 3.4 循环小数

*   **概念：** 一个小数，从小数部分的某一位起，一个或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。
*   **表示方法：** 在循环节的首位和末位上面各点一个圆点。也可以在循环节上画一条横线。
*   **分类：**
    *   **纯循环小数：** 从小数部分第一位开始循环的小数。
    *   **混循环小数：** 从小数部分不是第一位开始循环的小数。
*   **有限小数：** 小数部分的位数是有限的小数。
*   **无限小数：** 小数部分的位数是无限的小数。
*   **注意：** 循环小数是无限小数，但无限小数不一定是循环小数。
*   **应用：** 解决实际问题，需要将循环小数取近似值。

### 3.5 用计算器探索规律

*   **探索：** 利用计算器进行计算，观察计算结果，发现规律。
*   **应用：** 利用规律解决相关问题。
*   **注意：** 要仔细观察，多进行尝试。

### 3.6 解决问题

*   **策略：**
    *   认真审题，理解题意。
    *   分析数量关系。
    *   确定解题方法。
    *   正确计算。
    *   检验答案。
*   **类型：** 单价×数量=总价，路程=速度×时间，工作总量=工作效率×工作时间等。

## 四、简易方程

### 4.1 用字母表示数

*   **目的：** 简明地表达数量关系、运算定律和计算公式。
*   **表示方法：** 用字母表示数，字母可以表示任何数。
*   **注意：**
    *   在含有字母的乘法算式里，乘号可以写成“·”，也可以省略不写。
    *   数字和字母相乘时，要把数字写在字母的前面。
    *   当1与字母相乘时，1可以省略不写。
*   **应用：** 表示运算定律、计算公式、数量关系等。

### 4.2 方程的意义

*   **概念：** 含有未知数的等式叫做方程。
*   **理解：**
    *   必须是等式。
    *   必须含有未知数。
*   **判断：** 判断一个式子是不是方程，要同时满足以上两个条件。

### 4.3 等式的性质

*   **性质1：** 等式两边同时加上或减去同一个数，结果仍然是等式。
*   **性质2：** 等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，结果仍然是等式。
*   **应用：** 解方程的依据。

### 4.4 解方程

*   **概念：** 求方程的解的过程叫做解方程。
*   **方程的解：** 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
*   **方法：**
    *   根据等式的性质，将方程变形。
    *   使方程的一边只剩下未知数，另一边是已知数。
*   **步骤：**
    *   写“解：”。
    *   根据等式的性质，进行变形。
    *   求出未知数的值。
*   **注意：**
    *   检验：将求出的未知数的值代入原方程，看左右两边是否相等。
    *   格式要规范。

### 4.5 列方程解决问题

*   **步骤：**
    *   找出未知数，用字母x表示。
    *   分析题目中的数量关系，找出等量关系。
    *   根据等量关系，列出方程。
    *   解方程。
    *   检验，写出答案。
*   **技巧：**
    *   理解题意，找准等量关系。
    *   可以借助线段图等工具分析数量关系。
    *   多加练习，熟能生巧。
*   **常见类型：** 和倍问题、差倍问题、行程问题、工程问题等。

## 五、多边形的面积

### 5.1 平行四边形的面积

*   **公式：** 面积 = 底 × 高 (S = ah)
*   **推导：** 通过割补的方法，将平行四边形转化成长方形。
*   **理解：** 底和高必须是对应的。
*   **应用：** 计算平行四边形的面积，解决实际问题。

### 5.2 三角形的面积

*   **公式：** 面积 = (底 × 高) ÷ 2 (S = ah ÷ 2)
*   **推导：** 通过拼摆的方法，将两个完全相同的三角形拼成一个平行四边形。
*   **理解：** 底和高必须是对应的。
*   **应用：** 计算三角形的面积，解决实际问题。

### 5.3 梯形的面积

*   **公式：** 面积 = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2 (S = (a + b)h ÷ 2)
*   **推导：** 通过拼摆的方法，将两个完全相同的梯形拼成一个平行四边形。
*   **理解：** 上底、下底和高必须是对应的。
*   **应用：** 计算梯形的面积，解决实际问题。

### 5.4 组合图形的面积

*   **概念：** 由几个简单的图形组合而成的图形。
*   **方法：**
    *   **分割法：** 将组合图形分割成几个简单的图形，分别计算面积，再求和。
    *   **添补法：** 将组合图形添补成一个大的图形，计算大图形的面积，再减去添补部分的面积。
*   **注意：** 选择合适的方法，使计算简便。

### 5.5 不规则图形的面积

*   **方法：**
    *   **数方格法：** 将不规则图形放在方格纸上，数出占整格的个数和超过半格的个数，估算出面积。
    *   **近似图形法：** 将不规则图形近似地看作规则图形，估算出面积。
*   **注意：** 估算的结果不是精确值，只是一个近似值。

## 六、数学广角——植树问题

### 6.1 植树问题

*   **类型：**
    *   **两端都栽：** 棵数 = 间隔数 + 1
    *   **一端栽，一端不栽：** 棵数 = 间隔数
    *   **两端都不栽：** 棵数 = 间隔数 - 1
    *   **封闭图形：** 棵数 = 间隔数
*   **间隔数：** 总长度 ÷ 间隔长度
*   **总长度：** 间隔长度 × 间隔数
*   **注意：** 要认真分析题意，确定是哪种类型的植树问题。
*   **应用：** 解决类似的实际问题，如排队、安装路灯等。
*   **变式：** 根据实际情况进行调整，如考虑转角处是否需要多栽树。

以上是一个较为详细的《数学思维导图五上》的内容框架。  可以根据实际情况，将每一个部分的内容更加细化，并配合图形进行展示，使思维导图更加直观和易于理解。

# 《数学思维导图五上》 ## 一、小数乘法 ### 1.1 小数乘整数 * **概念：** 求几个相同加数的和的简便运算。 * **计算方法：** * 按整数乘法算出积。 * 看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。 * **性质：** 一个数（0除外）乘大于1的数，积比原来的数大；一个数（0除外）乘小于1的数，积比原来的数小。 * **注意：** 积的小数部分末尾有0，要化简。 * **应用：** 解决实际问题，如单价×数量=总价。 ### 1.2 小数乘小数 * **概念：** 两个小数相乘。 * **计算方法：** * 按整数乘法算出积。 * 看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。 * **性质：** * 两个因数都大于1，积大于每个因数。 * 两个因数都小于1，积小于每个因数。 * 一个因数大于1，一个因数小于1，积的大小不确定。 * **注意：** 积的小数部分位数不够时，用0补位。积的小数部分末尾有0，要化简。 * **应用：** 解决实际问题，如计算面积、体积等。 * **估算：** 将小数估成整数，再进行计算。 ### 1.3 积的近似数 * **概念：** 根据需要，用“四舍五入”法保留一定的小数位数。 * **方法：** * 先算出积。 * 根据需要保留的位数，看下一位上的数。 * “四舍五入”。 * **注意：** 近似数末尾的0不能去掉，表示精确度。 ### 1.4 整数乘法运算定律推广到小数 * **运算定律：** * **乘法交换律：** a × b = b × a * **乘法结合律：** (a × b) × c = a × (b × c) * **乘法分配律：** (a + b) × c = a × c + b × c 和 a × (b + c) = a × b + a × c * **应用：** 简便计算。 * **注意：** 观察算式特征，灵活运用运算定律。 ## 二、位置 ### 2.1 用数对确定位置 * **概念：** 用两个数组成的数对表示物体的位置。 * **表示方法：** (列, 行)，先写列数，再写行数，用逗号隔开，用括号括起来。 * **理解：** * 列：竖排，从左往右数。 * 行：横排，从前往后数。 * **应用：** 在平面图上确定物体的位置。 * **拓展：** 在实际生活中，可以利用经纬度确定位置。 ## 三、小数除法 ### 3.1 除数是整数的小数除法 * **概念：** 一个小数除以一个整数。 * **计算方法：** * 按整数除法的方法去除。 * 商的小数点要和被除数的小数点对齐。 * 如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添0继续除。 * **注意：** 除数是整数的小数除法，商的小数点要和被除数的小数点对齐。 * **应用：** 解决实际问题，如平均分问题。 ### 3.2 除数是小数的小数除法 * **概念：** 一个数除以一个小数。 * **计算方法：** * 将除数转化为整数（利用商不变的性质）。 * 把除数和被除数同时扩大相同的倍数，使除数变成整数。 * 按照除数是整数的小数除法进行计算。 * **注意：** 移动小数点时，位数不够的用0补足。 * **应用：** 解决实际问题。 ### 3.3 商的近似数 * **概念：** 根据需要，用“四舍五入”法保留一定的小数位数。 * **方法：** * 先算出商，比需要保留的位数多算一位。 * 根据需要保留的位数，看下一位上的数。 * “四舍五入”。 * **注意：** 近似数末尾的0可以根据题意决定是否保留。 ### 3.4 循环小数 * **概念：** 一个小数，从小数部分的某一位起，一个或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。 * **表示方法：** 在循环节的首位和末位上面各点一个圆点。也可以在循环节上画一条横线。 * **分类：** * **纯循环小数：** 从小数部分第一位开始循环的小数。 * **混循环小数：** 从小数部分不是第一位开始循环的小数。 * **有限小数：** 小数部分的位数是有限的小数。 * **无限小数：** 小数部分的位数是无限的小数。 * **注意：** 循环小数是无限小数，但无限小数不一定是循环小数。 * **应用：** 解决实际问题，需要将循环小数取近似值。 ### 3.5 用计算器探索规律 * **探索：** 利用计算器进行计算，观察计算结果，发现规律。 * **应用：** 利用规律解决相关问题。 * **注意：** 要仔细观察，多进行尝试。 ### 3.6 解决问题 * **策略：** * 认真审题，理解题意。 * 分析数量关系。 * 确定解题方法。 * 正确计算。 * 检验答案。 * **类型：** 单价×数量=总价，路程=速度×时间，工作总量=工作效率×工作时间等。 ## 四、简易方程 ### 4.1 用字母表示数 * **目的：** 简明地表达数量关系、运算定律和计算公式。 * **表示方法：** 用字母表示数，字母可以表示任何数。 * **注意：** * 在含有字母的乘法算式里，乘号可以写成“·”，也可以省略不写。 * 数字和字母相乘时，要把数字写在字母的前面。 * 当1与字母相乘时，1可以省略不写。 * **应用：** 表示运算定律、计算公式、数量关系等。 ### 4.2 方程的意义 * **概念：** 含有未知数的等式叫做方程。 * **理解：** * 必须是等式。 * 必须含有未知数。 * **判断：** 判断一个式子是不是方程，要同时满足以上两个条件。 ### 4.3 等式的性质 * **性质1：** 等式两边同时加上或减去同一个数，结果仍然是等式。 * **性质2：** 等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，结果仍然是等式。 * **应用：** 解方程的依据。 ### 4.4 解方程 * **概念：** 求方程的解的过程叫做解方程。 * **方程的解：** 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 * **方法：** * 根据等式的性质，将方程变形。 * 使方程的一边只剩下未知数，另一边是已知数。 * **步骤：** * 写“解：”。 * 根据等式的性质，进行变形。 * 求出未知数的值。 * **注意：** * 检验：将求出的未知数的值代入原方程，看左右两边是否相等。 * 格式要规范。 ### 4.5 列方程解决问题 * **步骤：** * 找出未知数，用字母x表示。 * 分析题目中的数量关系，找出等量关系。 * 根据等量关系，列出方程。 * 解方程。 * 检验，写出答案。 * **技巧：** * 理解题意，找准等量关系。 * 可以借助线段图等工具分析数量关系。 * 多加练习，熟能生巧。 * **常见类型：** 和倍问题、差倍问题、行程问题、工程问题等。 ## 五、多边形的面积 ### 5.1 平行四边形的面积 * **公式：** 面积 = 底 × 高 (S = ah) * **推导：** 通过割补的方法，将平行四边形转化成长方形。 * **理解：** 底和高必须是对应的。 * **应用：** 计算平行四边形的面积，解决实际问题。 ### 5.2 三角形的面积 * **公式：** 面积 = (底 × 高) ÷ 2 (S = ah ÷ 2) * **推导：** 通过拼摆的方法，将两个完全相同的三角形拼成一个平行四边形。 * **理解：** 底和高必须是对应的。 * **应用：** 计算三角形的面积，解决实际问题。 ### 5.3 梯形的面积 * **公式：** 面积 = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2 (S = (a + b)h ÷ 2) * **推导：** 通过拼摆的方法，将两个完全相同的梯形拼成一个平行四边形。 * **理解：** 上底、下底和高必须是对应的。 * **应用：** 计算梯形的面积，解决实际问题。 ### 5.4 组合图形的面积 * **概念：** 由几个简单的图形组合而成的图形。 * **方法：** * **分割法：** 将组合图形分割成几个简单的图形，分别计算面积，再求和。 * **添补法：** 将组合图形添补成一个大的图形，计算大图形的面积，再减去添补部分的面积。 * **注意：** 选择合适的方法，使计算简便。 ### 5.5 不规则图形的面积 * **方法：** * **数方格法：** 将不规则图形放在方格纸上，数出占整格的个数和超过半格的个数，估算出面积。 * **近似图形法：** 将不规则图形近似地看作规则图形，估算出面积。 * **注意：** 估算的结果不是精确值，只是一个近似值。 ## 六、数学广角——植树问题 ### 6.1 植树问题 * **类型：** * **两端都栽：** 棵数 = 间隔数 + 1 * **一端栽，一端不栽：** 棵数 = 间隔数 * **两端都不栽：** 棵数 = 间隔数 - 1 * **封闭图形：** 棵数 = 间隔数 * **间隔数：** 总长度 ÷ 间隔长度 * **总长度：** 间隔长度 × 间隔数 * **注意：** 要认真分析题意，确定是哪种类型的植树问题。 * **应用：** 解决类似的实际问题，如排队、安装路灯等。 * **变式：** 根据实际情况进行调整，如考虑转角处是否需要多栽树。以上是一个较为详细的《数学思维导图五上》的内容框架。可以根据实际情况，将每一个部分的内容更加细化，并配合图形进行展示，使思维导图更加直观和易于理解。

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