《七下角的思维导图青岛版》
一、有理数
1.1 有理数的意义
- 概念：
- 正数、负数：表示具有相反意义的量。
- 有理数：整数和分数统称有理数。
- 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。
- 相反数：只有符号不同的两个数。
- 绝对值：数轴上表示这个数的点到原点的距离。
- 分类：
- 按定义：有理数{整数{正整数,零,负整数},分数{正分数,负分数}}
- 按正负性：有理数{正有理数{正整数,正分数},零,负有理数{负整数,负分数}}
- 应用：
- 表示海拔、温度、收支等具有相反意义的量。
- 数轴表示数，比较大小。
- 绝对值的几何意义，求解相关问题。
1.2 有理数的运算
- 运算法则：
- 加法：同号相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
- 减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
- 乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。
- 除法：除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数。
- 乘方：求n个相同因数的积的运算。
- 运算律：
- 加法交换律：a+b=b+a
- 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
- 乘法交换律：a×b=b×a
- 乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)
- 分配律：a×(b+c)=a×b+a×c
- 运算顺序：
- 先乘方，再乘除，最后加减；有括号的先算括号里面的。
- 科学计数法： 将一个大于10或小于-10的数表示成a×10^n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数。
- 近似数： 近似数与精确度。
二、代数式
2.1 用字母表示数
- 代数式的概念： 用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子。
- 单项式： 由数与字母的积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也是单项式。单项式中的数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数的和叫做单项式的次数。
- 多项式： 几个单项式的和叫做多项式。多项式中，每个单项式叫做多项式的一个项，其中不含字母的项叫做常数项。多项式里次数最高的项的次数叫做多项式的次数。
- 整式： 单项式和多项式统称为整式。
- 代数式的值： 用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果。
2.2 合并同类项
- 同类项： 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。
- 合并同类项的法则： 把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。
- 去括号法则：
- 括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不改变符号。
- 括号前面是“−”号，把括号和它前面的“−”号去掉，括号里各项都改变符号。
2.3 代数式求值
- 方法： 先化简代数式，再代入数值进行计算。
- 整体代入： 当已知条件无法直接求出字母的值时，可以将已知条件进行变形，整体代入待求代数式中。
- 规律探索： 通过观察、分析代数式的值的变化，寻找其中的规律。
三、一元一次方程
3.1 从算式到方程
- 方程的概念： 含有未知数的等式叫做方程。
- 一元一次方程： 只含有一个未知数，且未知数的次数是1的方程。
- 方程的解： 使方程左右两边相等的未知数的值。
- 解方程： 求方程解的过程。
- 等式的性质：
- 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
- 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
3.2 解一元一次方程
- 步骤：
- 去分母（方程两边同乘各分母的最小公倍数）。
- 去括号（注意括号前的符号）。
- 移项（把含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到另一边，移项要变号）。
- 合并同类项（把方程化简为ax=b的形式）。
- 系数化为1（方程两边同除以未知数的系数a）。
- 应用： 解含有括号、分母的方程。
3.3 实际问题与一元一次方程
- 列方程解应用题的步骤：
- 审题：理解题意，弄清已知量、未知量以及它们之间的关系。
- 设未知数：通常设所求的量为未知数。
- 列方程：根据题中的等量关系列出方程。
- 解方程：求出方程的解。
- 检验：检验所求的解是否符合题意。
- 答：写出答案。
- 常见应用题类型：
- 行程问题：路程=速度×时间
- 工程问题：工作量=工作效率×工作时间
- 销售问题：利润=售价-进价，利润率=利润/进价×100%
- 储蓄问题：利息=本金×利率×时间
- 数字问题：注意各位、十位、百位等表示方法。
- 分配问题：根据题意找到分配的等量关系。
四、图形认识初步
4.1 多姿多彩的图形
- 立体图形与平面图形：
- 立体图形：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等。
- 平面图形：三角形、四边形、圆等。
- 展开图： 将立体图形的表面展开成平面图形。
4.2 线段、射线、直线
- 线段： 直线上两点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点。
- 射线： 将线段向一个方向无限延伸所形成的图形。
- 直线： 将线段向两个方向无限延伸所形成的图形。
- 两点确定一条直线： 经过两点有且只有一条直线。
- 线段的比较与测量： 用刻度尺测量线段的长度，比较线段的长短。
- 线段的中点： 把一条线段分成两条相等的线段的点。
4.3 角的度量与表示
- 角的定义： 具有公共端点的两条射线组成的图形。
- 角的表示方法： 用三个大写字母表示，角的顶点字母写在中间；用一个大写字母表示，这个字母是角的顶点；用数字或希腊字母表示。
- 角的单位： 度、分、秒（1°=60'，1'=60"）。
- 角的度量： 用量角器测量角的度数。
- 角的分类： 锐角、直角、钝角、平角、周角。
- 余角与补角： 如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角。
- 对顶角： 一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。对顶角相等。
- 角的平分线： 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线。
4.4 图形的初步认识的应用
- 方位角： 指北或指南方向线与目标方向线所成的水平角。
- 利用图形的性质解决问题： 如利用两点之间线段最短解决实际问题。