数学初中思维导图

# 《数学初中思维导图》

## 一、 数与式

### 1.1 有理数

#### 1.1.1 概念

*   **正数**: 大于0的数
*   **负数**: 小于0的数
*   **整数**: 正整数、0、负整数
*   **分数**: 正分数、负分数
*   **有理数**: 整数和分数的统称，能写成分数形式的数

#### 1.1.2 数轴

*   **概念**: 规定了原点、正方向和单位长度的直线
*   **性质**:
    *   原点是基准点
    *   右边的数总比左边的数大
    *   数轴上的点与有理数一一对应

#### 1.1.3 相反数

*   **概念**: 只有符号不同的两个数互为相反数
*   **性质**:
    *   a 的相反数是 -a
    *   0 的相反数是 0
    *   在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称

#### 1.1.4 绝对值

*   **概念**: 数轴上表示数 a 的点与原点的距离，记作 |a|
*   **性质**:
    *   |a| ≥ 0
    *   a > 0 时，|a| = a
    *   a = 0 时，|a| = 0
    *   a < 0 时，|a| = -a

#### 1.1.5 有理数运算

*   **加法**:
    *   同号相加，取相同的符号，并把绝对值相加
    *   异号相加，绝对值相等时结果为0，绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值
    *   任何数与0相加，仍等于这个数
*   **减法**: 减去一个数，等于加上这个数的相反数
*   **乘法**:
    *   同号得正，异号得负，绝对值相乘
    *   任何数与0相乘，都等于0
*   **除法**: 除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数
*   **乘方**: 求 n 个相同因数的积的运算
*   **运算律**: 交换律、结合律、分配律
*   **运算顺序**: 先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号里的

### 1.2 整式

#### 1.2.1 单项式

*   **概念**: 由数与字母的乘积组成的代数式
*   **系数**: 单项式中的数字因数
*   **次数**: 单项式中所有字母的指数的和

#### 1.2.2 多项式

*   **概念**: 几个单项式的和
*   **项**: 多项式中的每个单项式
*   **次数**: 多项式中次数最高的项的次数

#### 1.2.3 整式

*   **概念**: 单项式和多项式的统称

#### 1.2.4 同类项

*   **概念**: 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项
*   **合并同类项**: 把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变

#### 1.2.5 整式运算

*   **加减**: 合并同类项
*   **乘法**:
    *   单项式乘以单项式
    *   单项式乘以多项式
    *   多项式乘以多项式
*   **乘法公式**:
    *   平方差公式：(a + b)(a - b) = a² - b²
    *   完全平方公式：(a ± b)² = a² ± 2ab + b²
*   **除法**:
    *   单项式除以单项式
    *   多项式除以单项式

### 1.3 分式

#### 1.3.1 概念

*   **分式**: 形如 A/B 的代数式，其中 A 和 B 都是整式，且 B 中含有字母
*   **分式有意义的条件**: 分母不等于0

#### 1.3.2 分式的基本性质

*   分式的分子、分母同时乘以或除以同一个不等于0的整式，分式的值不变

#### 1.3.3 分式的运算

*   **加减**: 先通分，再加减
*   **乘除**:
    *   乘法：分子分母分别相乘
    *   除法：除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数

#### 1.3.4 最简分式

*   分子和分母没有公因式的分式

### 1.4 二次根式

#### 1.4.1 概念

*   **二次根式**: 形如√a 的式子，其中 a ≥ 0

#### 1.4.2 性质

*   √(a²) = |a|
*   √(ab) = √a · √b (a ≥ 0, b ≥ 0)
*   √(a/b) = √a / √b (a ≥ 0, b > 0)

#### 1.4.3 二次根式的运算

*   **加减**: 先化简成同类二次根式，再合并
*   **乘除**: 运用性质进行运算
*   **分母有理化**: 将分母中的根号去掉

## 二、 方程与不等式

### 2.1 一元一次方程

#### 2.1.1 概念

*   **一元一次方程**: 只含有一个未知数，且未知数的次数是1的方程

#### 2.1.2 解法

*   **去分母**: 方程两边同时乘以各分母的最小公倍数
*   **去括号**: 按照去括号法则进行
*   **移项**: 把含有未知数的项移到一边，常数项移到另一边
*   **合并同类项**: 把同类项合并成一项
*   **系数化为1**: 方程两边同时除以未知数的系数

#### 2.1.3 应用题

*   **列方程**: 设未知数，找出等量关系，列出方程
*   **解方程**: 解出方程的解
*   **检验**: 检验解是否符合题意
*   **写答案**: 写出完整的答案

### 2.2 二元一次方程组

#### 2.2.1 概念

*   **二元一次方程**: 含有两个未知数，且未知数的次数都是1的方程
*   **二元一次方程组**: 由两个二元一次方程组成的方程组

#### 2.2.2 解法

*   **代入消元法**: 将一个方程中的一个未知数用另一个未知数表示，然后代入另一个方程
*   **加减消元法**: 将两个方程的系数化成相同或相反数，然后相加或相减，消去一个未知数

#### 2.2.3 应用题

*   **列方程组**: 设两个未知数，找出两个等量关系，列出方程组
*   **解方程组**: 解出方程组的解
*   **检验**: 检验解是否符合题意
*   **写答案**: 写出完整的答案

### 2.3 一元一次不等式

#### 2.3.1 概念

*   **不等式**: 用不等号连接的式子
*   **一元一次不等式**: 只含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式

#### 2.3.2 性质

*   不等式两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变
*   不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变
*   不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变

#### 2.3.3 解法

*   与解一元一次方程类似，但要注意不等号的方向

#### 2.3.4 不等式组

*   **概念**: 由几个不等式组成的不等式组
*   **解集**: 各个不等式解集的公共部分

### 2.4 一元二次方程

#### 2.4.1 概念

*   **一元二次方程**: 只含有一个未知数，且未知数的次数是2的方程

#### 2.4.2 解法

*   **直接开平方法**: 适用于形如 (x + m)² = n 的方程
*   **配方法**: 将方程配成 (x + m)² = n 的形式
*   **公式法**: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
*   **因式分解法**: 将方程分解成 (x - a)(x - b) = 0 的形式

#### 2.4.3 根的判别式

*   **Δ = b² - 4ac**:
    *   Δ > 0：有两个不相等的实数根
    *   Δ = 0：有两个相等的实数根
    *   Δ < 0：没有实数根

#### 2.4.4 根与系数的关系（韦达定理）

*   x₁ + x₂ = -b/a
*   x₁x₂ = c/a

## 三、 几何

### 3.1 图形的认识

#### 3.1.1 点、线、面、体

*   **点**: 没有大小，只有位置
*   **线**: 由无数个点组成，分为直线、射线、线段
*   **面**: 由无数条线组成，分为平面和曲面
*   **体**: 由面围成，占有一定空间

#### 3.1.2 角

*   **概念**: 由两条有公共端点的射线组成
*   **分类**: 锐角、直角、钝角、平角、周角
*   **度量**: 度、分、秒

#### 3.1.3 相交线与平行线

*   **相交线**: 两条直线相交
    *   邻补角、对顶角
*   **平行线**: 在同一平面内，不相交的两条直线
    *   同位角、内错角、同旁内角
*   **平行线的判定与性质**

### 3.2 三角形

#### 3.2.1 概念与分类

*   **三角形**: 由三条线段首尾相连围成的图形
*   **分类**:
    *   按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形
    *   按边分：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形

#### 3.2.2 重要线段

*   **高**: 从顶点到对边（或其延长线）的垂线段
*   **中线**: 连接顶点和对边中点的线段
*   **角平分线**: 角的平分线与对边相交的线段

#### 3.2.3 内角和定理

*   三角形的内角和等于180°

#### 3.2.4 全等三角形

*   **概念**: 能够完全重合的两个三角形
*   **判定**:
    *   SSS (边边边)
    *   SAS (边角边)
    *   ASA (角边角)
    *   AAS (角角边)
    *   HL (斜边、直角边，仅适用于直角三角形)

#### 3.2.5 相似三角形

*   **概念**: 形状相同，大小不同的两个三角形
*   **判定**:
    *   平行于三角形一边的直线，截其他两边，所得的三角形与原三角形相似
    *   两角对应相等
    *   两边对应成比例且夹角相等
    *   三边对应成比例
*   **性质**: 对应角相等，对应边成比例

### 3.3 四边形

#### 3.3.1 多边形

*   **概念**: 由若干条线段首尾相连围成的图形
*   **内角和公式**: (n - 2) · 180°

#### 3.3.2 平行四边形

*   **概念**: 两组对边分别平行的四边形
*   **性质**: 对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分

#### 3.3.3 矩形

*   **概念**: 有一个角是直角的平行四边形
*   **性质**: 具有平行四边形的所有性质，且四个角都是直角，对角线相等

#### 3.3.4 菱形

*   **概念**: 有一组邻边相等的平行四边形
*   **性质**: 具有平行四边形的所有性质，且四条边都相等，对角线互相垂直平分

#### 3.3.5 正方形

*   **概念**: 四条边都相等且四个角都是直角的四边形
*   **性质**: 具有矩形和菱形的所有性质

#### 3.3.6 梯形

*   **概念**: 只有一组对边平行的四边形
*   **等腰梯形**: 两腰相等的梯形
*   **直角梯形**: 有一个角是直角的梯形

### 3.4 圆

#### 3.4.1 概念

*   **圆**: 到定点的距离等于定长的所有点的集合
*   **圆心**: 定点
*   **半径**: 定长
*   **弧**: 圆上任意两点之间的部分
*   **弦**: 连接圆上任意两点的线段
*   **圆心角**: 顶点在圆心的角
*   **圆周角**: 顶点在圆上，两边都和圆相交的角

#### 3.4.2 性质

*   **垂径定理**: 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧
*   **圆心角、弧、弦的关系**: 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等
*   **圆周角定理**: 圆周角的度数等于它所对的弧的圆心角的一半
*   **切线的判定与性质**: 切线垂直于经过切点的半径

## 四、 数据分析

### 4.1 数据的收集与整理

#### 4.1.1 调查方式

*   **普查**: 对所有对象进行调查
*   **抽样调查**: 抽取一部分对象进行调查

#### 4.1.2 数据的整理

*   **统计表**: 记录数据的表格
*   **统计图**:
    *   条形图
    *   折线图
    *   扇形图

### 4.2 数据的描述

#### 4.2.1 平均数

*   **算术平均数**: 所有数据的和除以数据的个数
*   **加权平均数**: 考虑不同数据的权重的平均数

#### 4.2.2 中位数

*   将数据从小到大排列，位于中间位置的数（或中间两个数的平均数）

#### 4.2.3 众数

*   数据中出现次数最多的数

#### 4.2.4 方差与标准差

*   **方差**: 描述数据波动程度的量
*   **标准差**: 方差的算术平方根

### 4.3 概率

#### 4.3.1 随机事件

*   **确定事件**: 必然发生或必然不发生的事件
*   **随机事件**: 可能发生也可能不发生的事件

#### 4.3.2 概率的计算

*   **概率**: 事件发生的可能性的大小
*   **公式**: P(A) = 事件 A 发生的可能性 / 所有可能发生的结果数

《数学初中思维导图》

一、数与式

1.1 有理数

1.1.1 概念

正数: 大于0的数
负数: 小于0的数
整数: 正整数、0、负整数
分数: 正分数、负分数
有理数: 整数和分数的统称，能写成分数形式的数

1.1.2 数轴

概念: 规定了原点、正方向和单位长度的直线
性质:
- 原点是基准点
- 右边的数总比左边的数大
- 数轴上的点与有理数一一对应

1.1.3 相反数

概念: 只有符号不同的两个数互为相反数
性质:
- a 的相反数是 -a
- 0 的相反数是 0
- 在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称

1.1.4 绝对值

概念: 数轴上表示数 a 的点与原点的距离，记作 |a|
性质:
- |a| ≥ 0
- a > 0 时，|a| = a
- a = 0 时，|a| = 0
- a < 0 时，|a| = -a

1.1.5 有理数运算

加法:
- 同号相加，取相同的符号，并把绝对值相加
- 异号相加，绝对值相等时结果为0，绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值
- 任何数与0相加，仍等于这个数
减法: 减去一个数，等于加上这个数的相反数
乘法:
- 同号得正，异号得负，绝对值相乘
- 任何数与0相乘，都等于0
除法: 除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数
乘方: 求 n 个相同因数的积的运算
运算律: 交换律、结合律、分配律
运算顺序: 先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号里的

1.2 整式

1.2.1 单项式

概念: 由数与字母的乘积组成的代数式
系数: 单项式中的数字因数
次数: 单项式中所有字母的指数的和

1.2.2 多项式

概念: 几个单项式的和
项: 多项式中的每个单项式
次数: 多项式中次数最高的项的次数

1.2.3 整式

概念: 单项式和多项式的统称

1.2.4 同类项

概念: 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项
合并同类项: 把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变

1.2.5 整式运算

加减: 合并同类项
乘法:
- 单项式乘以单项式
- 单项式乘以多项式
- 多项式乘以多项式
乘法公式:
- 平方差公式：(a + b)(a - b) = a² - b²
- 完全平方公式：(a ± b)² = a² ± 2ab + b²
除法:
- 单项式除以单项式
- 多项式除以单项式

1.3 分式

1.3.1 概念

分式: 形如 A/B 的代数式，其中 A 和 B 都是整式，且 B 中含有字母
分式有意义的条件: 分母不等于0

1.3.2 分式的基本性质

分式的分子、分母同时乘以或除以同一个不等于0的整式，分式的值不变

1.3.3 分式的运算

加减: 先通分，再加减
乘除:
- 乘法：分子分母分别相乘
- 除法：除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数

1.3.4 最简分式

分子和分母没有公因式的分式

1.4 二次根式

1.4.1 概念

二次根式: 形如√a 的式子，其中 a ≥ 0

1.4.2 性质

√(a²) = |a|
√(ab) = √a · √b (a ≥ 0, b ≥ 0)
√(a/b) = √a / √b (a ≥ 0, b > 0)

1.4.3 二次根式的运算

加减: 先化简成同类二次根式，再合并
乘除: 运用性质进行运算
分母有理化: 将分母中的根号去掉

二、方程与不等式

2.1 一元一次方程

2.1.1 概念

一元一次方程: 只含有一个未知数，且未知数的次数是1的方程

2.1.2 解法

去分母: 方程两边同时乘以各分母的最小公倍数
去括号: 按照去括号法则进行
移项: 把含有未知数的项移到一边，常数项移到另一边
合并同类项: 把同类项合并成一项
系数化为1: 方程两边同时除以未知数的系数

2.1.3 应用题

列方程: 设未知数，找出等量关系，列出方程
解方程: 解出方程的解
检验: 检验解是否符合题意
写答案: 写出完整的答案

2.2 二元一次方程组

2.2.1 概念

二元一次方程: 含有两个未知数，且未知数的次数都是1的方程
二元一次方程组: 由两个二元一次方程组成的方程组

2.2.2 解法

代入消元法: 将一个方程中的一个未知数用另一个未知数表示，然后代入另一个方程
加减消元法: 将两个方程的系数化成相同或相反数，然后相加或相减，消去一个未知数

2.2.3 应用题

列方程组: 设两个未知数，找出两个等量关系，列出方程组
解方程组: 解出方程组的解
检验: 检验解是否符合题意
写答案: 写出完整的答案

2.3 一元一次不等式

2.3.1 概念

不等式: 用不等号连接的式子
一元一次不等式: 只含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式

2.3.2 性质

不等式两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变
不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变
不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变

2.3.3 解法

与解一元一次方程类似，但要注意不等号的方向

2.3.4 不等式组

概念: 由几个不等式组成的不等式组
解集: 各个不等式解集的公共部分

2.4 一元二次方程

2.4.1 概念

一元二次方程: 只含有一个未知数，且未知数的次数是2的方程

2.4.2 解法

直接开平方法: 适用于形如 (x + m)² = n 的方程
配方法: 将方程配成 (x + m)² = n 的形式
公式法: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
因式分解法: 将方程分解成 (x - a)(x - b) = 0 的形式

2.4.3 根的判别式

Δ = b² - 4ac:
- Δ > 0：有两个不相等的实数根
- Δ = 0：有两个相等的实数根
- Δ < 0：没有实数根

2.4.4 根与系数的关系（韦达定理）

x₁ + x₂ = -b/a
x₁x₂ = c/a

三、几何

3.1 图形的认识

3.1.1 点、线、面、体

点: 没有大小，只有位置
线: 由无数个点组成，分为直线、射线、线段
面: 由无数条线组成，分为平面和曲面
体: 由面围成，占有一定空间

3.1.2 角

概念: 由两条有公共端点的射线组成
分类: 锐角、直角、钝角、平角、周角
度量: 度、分、秒

3.1.3 相交线与平行线

相交线: 两条直线相交
- 邻补角、对顶角
平行线: 在同一平面内，不相交的两条直线
- 同位角、内错角、同旁内角
平行线的判定与性质

3.2 三角形

3.2.1 概念与分类

三角形: 由三条线段首尾相连围成的图形
分类:
- 按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形
- 按边分：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形

3.2.2 重要线段

高: 从顶点到对边（或其延长线）的垂线段
中线: 连接顶点和对边中点的线段
角平分线: 角的平分线与对边相交的线段

3.2.3 内角和定理

三角形的内角和等于180°

3.2.4 全等三角形

概念: 能够完全重合的两个三角形
判定:
- SSS (边边边)
- SAS (边角边)
- ASA (角边角)
- AAS (角角边)
- HL (斜边、直角边，仅适用于直角三角形)

3.2.5 相似三角形

概念: 形状相同，大小不同的两个三角形
判定:
- 平行于三角形一边的直线，截其他两边，所得的三角形与原三角形相似
- 两角对应相等
- 两边对应成比例且夹角相等
- 三边对应成比例
性质: 对应角相等，对应边成比例

3.3 四边形

3.3.1 多边形

概念: 由若干条线段首尾相连围成的图形
内角和公式: (n - 2) · 180°

3.3.2 平行四边形

概念: 两组对边分别平行的四边形
性质: 对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分

3.3.3 矩形

概念: 有一个角是直角的平行四边形
性质: 具有平行四边形的所有性质，且四个角都是直角，对角线相等

3.3.4 菱形

概念: 有一组邻边相等的平行四边形
性质: 具有平行四边形的所有性质，且四条边都相等，对角线互相垂直平分

3.3.5 正方形

概念: 四条边都相等且四个角都是直角的四边形
性质: 具有矩形和菱形的所有性质

3.3.6 梯形

概念: 只有一组对边平行的四边形
等腰梯形: 两腰相等的梯形
直角梯形: 有一个角是直角的梯形

3.4 圆

3.4.1 概念

圆: 到定点的距离等于定长的所有点的集合
圆心: 定点
半径: 定长
弧: 圆上任意两点之间的部分
弦: 连接圆上任意两点的线段
圆心角: 顶点在圆心的角
圆周角: 顶点在圆上，两边都和圆相交的角

3.4.2 性质

垂径定理: 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧
圆心角、弧、弦的关系: 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等
圆周角定理: 圆周角的度数等于它所对的弧的圆心角的一半
切线的判定与性质: 切线垂直于经过切点的半径

四、数据分析

4.1 数据的收集与整理

4.1.1 调查方式

普查: 对所有对象进行调查
抽样调查: 抽取一部分对象进行调查

4.1.2 数据的整理

统计表: 记录数据的表格
统计图:
- 条形图
- 折线图
- 扇形图

4.2 数据的描述

4.2.1 平均数

算术平均数: 所有数据的和除以数据的个数
加权平均数: 考虑不同数据的权重的平均数

4.2.2 中位数

将数据从小到大排列，位于中间位置的数（或中间两个数的平均数）

4.2.3 众数

数据中出现次数最多的数

4.2.4 方差与标准差

方差: 描述数据波动程度的量
标准差: 方差的算术平方根

4.3 概率

4.3.1 随机事件

确定事件: 必然发生或必然不发生的事件
随机事件: 可能发生也可能不发生的事件

4.3.2 概率的计算

概率: 事件发生的可能性的大小
公式: P(A) = 事件 A 发生的可能性 / 所有可能发生的结果数

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