《七上数学思维导图》
一、有理数
1.1 正数和负数
- 概念：
- 正数：大于0的数
- 负数：小于0的数
- 0既不是正数也不是负数，是正负数的分界点。
- 表示方法：
- 正数前面可以加“+”号，也可以省略
- 负数前面必须加“-”号
- 应用：
- 表示具有相反意义的量，例如：上升/下降，盈利/亏损，增加/减少等。
- 基准量的概念，例如：高于平均水平/低于平均水平。
- 易错点：
- 0的意义，并非表示“没有”，而是代表一个特定的基准。
- 相反意义的量的识别，注意关键词的对应关系。
1.2 有理数
- 分类：
- 按定义分：
- 整数：正整数、0、负整数
- 分数：正分数、负分数
- 按性质分：
- 正有理数：正整数、正分数
- 0
- 负有理数：负整数、负分数
- 按定义分：
- 数轴：
- 定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线。
- 三要素：原点、正方向、单位长度
- 作用：直观表示数的大小，体现数形结合思想。
- 特点：原点左边的数为负数，原点右边的数为正数。
- 相反数：
- 定义：只有符号不同的两个数。
- 代数意义：a的相反数为-a。
- 几何意义：在数轴上，表示相反数的两个点关于原点对称。
- 绝对值：
- 定义：数轴上表示数a的点与原点的距离。
- 代数意义：
- |a| = a (a ≥ 0)
- |a| = -a (a < 0)
- 几何意义：表示距离，永远是非负数。
- 性质：非负性，即|a| ≥ 0。
- 大小比较：
- 数轴法：数轴上右边的数总比左边的数大。
- 正数 > 0 > 负数；两个负数，绝对值大的反而小。
- 绝对值法：先求绝对值，再根据绝对值的大小关系判断。
1.3 有理数的运算
- 加法：
- 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
- 异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
- 一个数同0相加，仍得这个数。
- 减法：
- 减去一个数，等于加上这个数的相反数，即a - b = a + (-b)。
- 乘法：
- 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
- 任何数同0相乘，都得0。
- 多个非0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，负因数个数为奇数，积为负；负因数个数为偶数，积为正。
- 除法：
- 除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数，即a ÷ b = a × (1/b) (b≠0)。
- 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
- 0除以任何一个不等于0的数，都得0。
- 乘方：
- 定义：求n个相同因数的积的运算，即a^n = a × a × … × a (n个a)。
- 幂、底数、指数的概念。
- 正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
- 运算律：
- 加法交换律：a + b = b + a
- 加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c)
- 乘法交换律：a × b = b × a
- 乘法结合律：(a × b) × c = a × (b × c)
- 乘法分配律：a × (b + c) = a × b + a × c
- 运算顺序：
- 先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右依次进行；有括号，先算括号里面的。
二、整式
2.1 用字母表示数
- 代数式： 用运算符号把数和字母连接起来的式子。
- 单项式： 由数与字母的乘积组成的代数式，单独一个数或字母也是单项式。
- 系数：单项式中的数字因数。
- 次数：单项式中所有字母的指数的和。
- 多项式： 几个单项式的和组成的代数式。
- 项：多项式中的每一个单项式。
- 常数项：不含字母的项。
- 次数：多项式中次数最高的项的次数。
- 整式： 单项式和多项式统称为整式。
- 列代数式： 用代数式表示实际问题中的数量关系。
- 求代数式的值： 用具体的数值代替代数式中的字母，计算所得的结果。
2.2 整式加减
- 同类项： 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。
- 合并同类项： 把多项式中的同类项合并成一项。
- 法则：把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。
- 去括号法则：
- 括号前是“+”号，去掉括号和它前面的“+”号，括号里的各项都不改变符号。
- 括号前是“—”号，去掉括号和它前面的“—”号，括号里的各项都改变符号。
- 整式加减的步骤：
- 去括号。
- 合并同类项。
三、一元一次方程
3.1 从算式到方程
- 方程： 含有未知数的等式。
- 方程的解： 使方程左右两边相等的未知数的值。
- 解方程： 求方程解的过程。
- 一元一次方程： 只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1的方程。
- 等式的性质：
- 等式两边同时加上或减去同一个数或同一个整式，结果仍相等。
- 等式两边同时乘以或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
3.2 解一元一次方程（一）
- 移项： 把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边。
- 解方程的步骤：
- 去分母（方程两边同乘各分母的最小公倍数）。
- 去括号。
- 移项。
- 合并同类项。
- 系数化为1。
3.3 解一元一次方程（二）
- 延续3.2节的步骤，更加注重复杂方程的解法，以及对步骤的熟练掌握。
3.4 应用一元一次方程
- 列方程解应用题的步骤：
- 审题：弄清题意，找出已知条件和未知条件，以及它们之间的关系。
- 设未知数：设一个适当的未知数为x。
- 列方程：根据等量关系列出方程。
- 解方程：解出所列的方程。
- 检验：检验所求的解是否符合题意，并作答。
- 常见的应用题类型：
- 行程问题：路程 = 速度 × 时间
- 工程问题：工作量 = 工作效率 × 工作时间
- 分配问题：抓住分配前后的总数不变。
- 利润问题：利润 = 售价 - 成本；利润率 = 利润 ÷ 成本 × 100%
- 数字问题：个位、十位、百位…上的数字分别表示的含义。
四、图形的初步认识
4.1 多姿多彩的图形
- 立体图形： 从不同方向看立体图形，得到的平面图形可能不同。
4.2 直线、射线、线段
- 直线： 向两方无限延伸，没有端点。
- 射线： 向一方无限延伸，有一个端点。
- 线段： 有两个端点。
- 表示方法：
- 直线：用两个大写字母表示，或者用一个小写字母表示。
- 射线：用端点和射线上另一点的大写字母表示，端点字母必须写在前面。
- 线段：用两个端点的大写字母表示。
- 线段的性质： 两点之间，线段最短。
- 两点间的距离： 连接两点的线段的长度。
- 线段的中点： 将一条线段分成两条相等的线段的点。
4.3 角的度量
- 角： 由两条有公共端点的射线组成的图形。
- 表示方法：
- 用三个大写字母表示，顶点字母必须写在中间。
- 用一个顶点的大写字母表示（当顶点只有一个角时）。
- 用一个希腊字母或阿拉伯数字表示。
- 角的单位： 度、分、秒。
- 角的度量： 用量角器度量。
- 角的分类：
- 锐角：大于0°小于90°的角。
- 直角：等于90°的角。
- 钝角：大于90°小于180°的角。
- 平角：等于180°的角。
- 周角：等于360°的角。
- 角的运算： 加减乘除。
- 余角和补角：
- 余角：如果两个角的和等于90°，那么这两个角互为余角。
- 补角：如果两个角的和等于180°，那么这两个角互为补角。
- 同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等。
- 方位角和方向角： 描述方向的角。
- 角的平分线： 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线。