初一实数思维导图
《初一实数思维导图》
一、数的概念及分类
1.1 数的产生与发展
- 1.1.1 计数的需求
- 1.1.2 自然数：1, 2, 3...
- 1.1.3 没有：0 (零的意义)
- 1.1.4 不够：负数 (相反意义的量)
- 1.1.5 除不尽：分数、小数
- 1.1.6 无限不循环小数：无理数
1.2 数的分类 (依据定义)
- 1.2.1 整数
- 1.2.1.1 正整数：1, 2, 3... (自然数)
- 1.2.1.2 零：0
- 1.2.1.3 负整数：-1, -2, -3...
- 1.2.2 分数
- 1.2.2.1 正分数：1/2, 3/4, 5/3...
- 1.2.2.2 负分数：-1/2, -3/4, -5/3...
- 1.2.3 有理数 (可以表示成分数形式的数)
- 1.2.3.1 定义：整数和分数的统称
- 1.2.3.2 有限小数或无限循环小数
- 1.2.3.3 判断方法：能否化为分数形式 a/b (b≠0)
- 1.2.4 无理数 (无限不循环小数)
- 1.2.4.1 定义：无限不循环小数
- 1.2.4.2 常见类型
- 1.2.4.2.1 开方开不尽的数：√2, √3, √5...
- 1.2.4.2.2 圆周率 π 及相关：π, π/2, 2π+1...
- 1.2.4.2.3 特定结构的无限不循环小数：0.1010010001... (小数点后每两个1之间0的个数依次增加)
- 1.2.5 实数
- 1.2.5.1 定义：有理数和无理数的统称
- 1.2.5.2 实数与数轴上的点一一对应
1.3 数轴
- 1.3.1 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线
- 1.3.2 要素：原点、正方向、单位长度
- 1.3.3 作用：表示数，比较大小
二、实数的运算
2.1 相反数
- 2.1.1 定义：只有符号不同的两个数
- 2.1.2 几何意义：在数轴上，表示相反数的两个点关于原点对称
- 2.1.3 性质：
- 2.1.3.1 a 的相反数是 -a
- 2.1.3.2 0 的相反数是 0
- 2.1.3.3 a + (-a) = 0
- 2.1.3.4 若 a + b = 0, 则 a 和 b 互为相反数
2.2 绝对值
- 2.2.1 定义：数轴上表示数 a 的点与原点的距离
- 2.2.2 符号表示：|a|
- 2.2.3 性质：
- 2.2.3.1 |a| ≥ 0 (非负性)
- 2.2.3.2 |a| = a (当 a ≥ 0)
- 2.2.3.3 |a| = -a (当 a < 0)
- 2.2.3.4 |a-b| 表示数轴上 a 与 b 两点间的距离
2.3 倒数
- 2.3.1 定义：乘积为 1 的两个数互为倒数
- 2.3.2 性质：
- 2.3.2.1 a 的倒数是 1/a (a≠0)
- 2.3.2.2 1 的倒数是 1
- 2.3.2.3 -1 的倒数是 -1
- 2.3.2.4 0 没有倒数
- 2.3.2.5 若 a * b = 1, 则 a 和 b 互为倒数
2.4 实数的运算律
- 2.4.1 加法交换律：a + b = b + a
- 2.4.2 加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c)
- 2.4.3 乘法交换律：a b = b a
- 2.4.4 乘法结合律：(a b) c = a (b c)
- 2.4.5 乘法分配律：a (b + c) = a b + a * c
2.5 乘方与开方
- 2.5.1 乘方
- 2.5.1.1 定义：求 n 个相同因数的积的运算
- 2.5.1.2 an：a 为底数，n 为指数
- 2.5.1.3 正数的任何次方都是正数
- 2.5.1.4 负数的奇数次方是负数，负数的偶数次方是正数
- 2.5.1.5 0的任何正整数次方都是0
- 2.5.2 开方
- 2.5.2.1 定义：已知幂和指数，求底数的运算
- 2.5.2.2 平方根
- 2.5.2.2.1 定义：若 x² = a，则 x 叫做 a 的平方根
- 2.5.2.2.2 正数的平方根有两个，互为相反数
- 2.5.2.2.3 0 的平方根是 0
- 2.5.2.2.4 负数没有平方根
- 2.5.2.3 算术平方根
- 2.5.2.3.1 定义：正数正的平方根
- 2.5.2.3.2 符号表示：√a (a≥0)
- 2.5.2.4 立方根
- 2.5.2.4.1 定义：若 x³ = a，则 x 叫做 a 的立方根
- 2.5.2.4.2 正数的立方根是正数
- 2.5.2.4.3 负数的立方根是负数
- 2.5.2.4.4 0 的立方根是 0
2.6 运算顺序
- 2.6.1 先乘方、开方，再乘除，最后加减
- 2.6.2 同级运算，从左到右依次进行
- 2.6.3 有括号的，先算括号里面的，先小括号，再中括号，最后大括号
三、实数的大小比较
3.1 数轴法
3.2 绝对值法
3.3 作差法
- 3.3.1 若 a - b > 0，则 a > b
- 3.3.2 若 a - b = 0，则 a = b
- 3.3.3 若 a - b < 0，则 a < b
3.4 作商法 (适用于比较正数大小)
- 3.4.1 若 a/b > 1，则 a > b
- 3.4.2 若 a/b = 1，则 a = b
- 3.4.3 若 a/b < 1，则 a < b (其中 a, b > 0)
3.5 特殊值法
- 3.5.1 选择一个中间值进行比较 (例如 0，1)
四、非负性
4.1 常见非负数
- 4.1.1 绝对值：|a| ≥ 0
- 4.1.2 平方数：a² ≥ 0
- 4.1.3 算术平方根：√a ≥ 0 (a≥0)
4.2 非负数的性质
- 4.2.1 几个非负数的和为 0，则每个非负数都必须为 0 (a² + |b| + √c = 0 => a=0, b=0, c=0)
五、平方根与立方根的性质与应用
5.1 被开方数与根号下的数的正负性讨论
- 5.1.1 √a 中 a ≥ 0
- 5.1.2 ³√a 中 a 可以是任意实数
5.2 平方根与立方根的双重非负性
5.3 化简与计算
- 5.3.1 掌握平方根和立方根的计算公式
- 5.3.2 灵活运用各种运算律简化计算
