《用思维导图的形式复习角的度量》

角的度量是几何学的基础，理解并掌握其相关概念至关重要。本文将以思维导图的形式，系统复习角的度量的相关知识点，并附带例题和练习，旨在帮助读者巩固基础、提升解题能力。

中心主题：角的度量

分支一：角的概念与表示

• 定义： 由两条有公共端点的射线组成的图形。
  • 关键词： 射线，公共端点
  • 图形示意： （示意图需要包含两条射线和一个公共端点，可以手绘简图）
• 角的组成： 顶点、边
  • 顶点： 两条射线的公共端点
  • 边： 构成角的两条射线
• 角的表示：
  • 符号： ∠
  • 方法：
    • 用三个大写字母表示：顶点字母必须写在中间，例如∠AOB。
    • 用一个大写字母表示：当顶点只有一个角时，可以用顶点字母表示，例如∠O。
    • 用一个数字或希腊字母表示：在角的内部靠近顶点处标上数字或希腊字母，例如∠1，∠α。
• 特殊角：
  • 直角： 90°，记作Rt∠
  • 平角： 180°
  • 周角： 360°
  • 锐角： 大于0°小于90°的角
  • 钝角： 大于90°小于180°的角

分支二：角的度量单位与换算

• 单位：
  • 度 (°): 将圆周分成360等份，每一份所对的角的大小记作1度。
  • 分 (′): 1度 = 60分，即1° = 60′
  • 秒 (″): 1分 = 60秒，即1′ = 60″
• 换算：
  • 度化分、秒： 乘以60（或3600）
    • 例：30° = 30 60′ = 1800′ 30° = 30 3600″ = 108000″
  • 分、秒化度： 除以60（或3600）
    • 例：120′ = 120 / 60° = 2° 7200″ = 7200 / 3600° = 2°
• 注意事项：
  • 进率是60
  • 计算时，度、分、秒要分别进行计算，注意进位和借位。

分支三：角的比较与运算

• 角的比较：
  • 叠合法： 将两个角的顶点重合，一条边重合，观察另一条边的位置关系。
    • 如果在角的内部，则这个角小于另一个角。
    • 如果在角的外部，则这个角大于另一个角。
    • 如果重合，则两个角相等。
  • 度量法： 测量角的度数，比较度数的大小。
• 角的运算：
  • 加法： 将角的度数相加。 注意：满60要进位。
    • 例：30°45′ + 25°30′ = 55°75′ = 56°15′
  • 减法： 将角的度数相减。 注意：不够减要借位。
    • 例：60° - 20°40′ = 59°60′ - 20°40′ = 39°20′
  • 乘法： 用数字乘以角的度数。 注意：分、秒也要乘以该数字，并进行进位。
    • 例：3 * (10°20′) = 30°60′ = 31°
  • 除法： 用角的度数除以数字。 注意：度数除不尽时，将余下的度数化为分继续除；分除不尽时，将余下的分化为秒继续除。
    • 例：(45°30′) / 2 = 22°45′

分支四：角的平分线

• 定义： 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线。
• 性质： 角的平分线将角分成两个相等的角。
  • 如果OC是∠AOB的平分线，则∠AOC = ∠BOC = 1/2 ∠AOB。
  • 反之，如果∠AOC = ∠BOC，则OC是∠AOB的平分线。
• 应用：
  • 计算角度。
  • 证明角相等。

例题：

1. 把一个周角分成三个角，使它们的度数之比为2:3:4，求这三个角的度数。

   • 解：设这三个角的度数分别为2x, 3x, 4x。
   • 则2x + 3x + 4x = 360°
   • 9x = 360°
   • x = 40°
   • 所以这三个角的度数分别为80°, 120°, 160°。

2. 已知∠AOB = 75°，∠BOC = 30°，求∠AOC的度数。 (注意讨论情况)

   • 解：情况一：OC在∠AOB的内部，则∠AOC = ∠AOB - ∠BOC = 75° - 30° = 45°
   • 情况二：OC在∠AOB的外部，则∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 75° + 30° = 105°

3. 如图，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，如果∠AOB = 140°，求∠DOE的度数。

   • 解：因为OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，
   • 所以∠DOC = 1/2 ∠BOC，∠EOC = 1/2 ∠AOC
   • 所以∠DOE = ∠DOC + ∠EOC = 1/2 ∠BOC + 1/2 ∠AOC = 1/2 (∠BOC + ∠AOC) = 1/2 ∠AOB = 1/2 * 140° = 70°

练习：

1. 计算：

   • (1) 25°36′ + 44°24′
   • (2) 180° - 54°40′
   • (3) 3 * 12°25′
   • (4) 108°18′ / 3

2. 已知∠AOB = 120°，OC是∠AOB的平分线，OD是∠BOC的平分线，求∠AOD的度数。

3. 一个角的余角比它的补角的 1/3 还小 10°，求这个角的度数。 （提示：设这个角为x，则它的余角为90-x，补角为180-x）

总结：

通过思维导图的形式，我们将角的度量相关知识点进行了系统梳理，包括角的概念与表示、角的度量单位与换算、角的比较与运算以及角的平分线。通过例题和练习，能够帮助读者更好地理解和应用这些知识点。角的度量是几何学的基础，掌握这些基础知识对于学习后续内容至关重要。希望本文能对你的学习有所帮助。