《五年级上册第一、三单元思维导图数学》
一、第一单元：小数乘法
1. 意义
- 1.1 小数乘整数:
- 意义：求几个相同加数的和的简便运算。
- 例如：1.5 × 3 表示求3个1.5的和是多少。
- 1.2 小数乘小数:
- 意义：求一个数的几分之几是多少。
- 例如：0.8 × 0.5 表示求0.8的十分之五是多少。
2. 计算方法
- 2.1 小数乘整数:
- 步骤：
- 按整数乘法算出积。
- 看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。
- 注意：积的小数位数不够时，用0补足。
- 步骤：
- 2.2 小数乘小数:
- 步骤：
- 按整数乘法算出积。
- 看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。
- 注意：
- 如果积的小数末尾有0，要把0去掉，化简。
- 积的小数位数不够时，用0补足。
- 步骤：
- 2.3 估算:
- 方法：将小数看作与它接近的整数进行估算。
- 例如：1.98 × 3.02 ≈ 2 × 3 = 6
3. 积与因数的关系
- 3.1 一个数（0除外）乘大于1的数，积比原来的数大。
- a × b > a (b > 1, a ≠ 0)
- 3.2 一个数（0除外）乘小于1的数，积比原来的数小。
- a × b < a (0 < b < 1, a ≠ 0)
- 3.3 一个数（0除外）乘等于1的数，积等于原来的数。
- a × b = a (b = 1, a ≠ 0)
4. 简便计算
- 4.1 乘法交换律: a × b = b × a
- 4.2 乘法结合律: (a × b) × c = a × (b × c)
- 4.3 乘法分配律: (a + b) × c = a × c + b × c
- 4.4 乘法分配律的逆应用: a × c + b × c = (a + b) × c
5. 解决问题
- 5.1 单价 × 数量 = 总价
- 5.2 工作效率 × 工作时间 = 工作总量
- 5.3 根据实际情况灵活解决问题（例如：进一法，去尾法）。
- 进一法：即使余数小于1，也要进一位。例如：装油，需要几个瓶子。
- 去尾法：即使余数大于等于1，也要舍去。例如：做衣服，需要多少布料。
二、第三单元：小数除法
1. 意义
- 1.1 小数除以整数:
- 意义：已知两个因数的积和一个因数，求另一个因数的运算。
- 也表示把一个数平均分成几份，求一份是多少。
- 1.2 整数除以小数:
- 意义：和整数除法的意义相同。
- 1.3 小数除以小数:
- 意义：和整数除法的意义相同。
2. 计算方法
- 2.1 小数除以整数:
- 步骤：
- 按照整数除法的方法去除。
- 商的小数点要和被除数的小数点对齐。
- 如果除到末尾仍有余数，就在余数后面添0继续除。
- 步骤：
- 2.2 除数是小数的除法:
- 步骤：
- 先移动除数的小数点，使它变成整数。
- 除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用“0”补足）。
- 按照除数是整数的小数除法进行计算。
- 步骤：
3. 商的变化规律
- 3.1 被除数不变，除数扩大，商反而缩小（缩小的倍数与除数扩大的倍数相同）。
- 3.2 被除数不变，除数缩小，商反而扩大（扩大的倍数与除数缩小的倍数相同）。
- 3.3 除数不变，被除数扩大，商也扩大（扩大的倍数与被除数扩大的倍数相同）。
- 3.4 除数不变，被除数缩小，商也缩小（缩小的倍数与被除数缩小的倍数相同）。
4. 商的近似数
- 4.1 保留小数位数:
- 方法：用“四舍五入”法。
- 计算时，要除到比需要保留的位数多一位。
- 4.2 取近似值:
- 根据实际情况选择“进一法”或“去尾法”。
- 例如：装东西，需要多少个容器（进一法）。
- 做东西，最多可以做多少个（去尾法）。
5. 循环小数
- 5.1 循环小数: 一个数的小数部分，从某一位起，一个或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。
- 5.2 循环节: 一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。
- 5.3 简便写法: 可以只写一个循环节，并在循环节的第一个数字和最后一个数字的上面各点一个圆点。
- 5.4 有限小数: 小数的位数是有限的。
- 5.5 无限小数: 小数的位数是无限的。
6. 解决问题
- 6.1 总价 ÷ 数量 = 单价
- 6.2 总路程 ÷ 总时间 = 平均速度
- 6.3 根据实际情况灵活解决问题。
- 6.4 注意单位统一。 例如：千米/小时 换算成 米/分钟。
7. 除法中的规律
- a ÷ b = c， 则a = b × c, b = a ÷ c
- 掌握被除数、除数、商之间的关系，灵活解决问题。