《力学的思维导图》

一、 绪论

1.1 力学的定义与研究对象

• 定义：研究物体机械运动规律的科学。
• 研究对象：宏观物体（尺寸远大于原子分子尺度），低速运动（速度远小于光速）。
• 分类：
  • 静力学：研究物体在平衡状态下的受力。
  • 运动学：研究物体运动的描述，不涉及力。
  • 动力学：研究力与物体运动之间的关系。

1.2 力学模型的建立

• 质点：忽略物体的大小和形状，用一个点代表整个物体。
  • 适用条件：物体的大小和形状对研究问题的影响可以忽略不计。
• 刚体：形状和大小不发生改变的物体。
  • 适用条件：物体形变对研究问题的影响可以忽略不计。

1.3 单位制与量纲分析

• 基本单位：长度（m）、质量（kg）、时间（s）。
• 导出单位：力（N）、速度（m/s）、加速度（m/s²）。
• 量纲分析：检查公式正确性和推导公式的手段。

二、 静力学

2.1 力与力的合成与分解

• 力：物体间的相互作用。
• 力的性质：
  • 矢量性：既有大小，又有方向。
  • 独立性：力的作用效果与其他力无关。
  • 同时性：力同时作用于物体。
  • 相互性：作用力与反作用力。
• 力的合成：求合力。
  • 平行四边形法则：适用于两个力。
  • 正交分解法：适用于多个力。
• 力的分解：求分力。
  • 按效果分解：根据力的实际作用效果分解。
  • 正交分解：沿相互垂直的坐标轴分解。

2.2 共点力平衡

• 平衡状态：物体静止或匀速直线运动。
• 平衡条件：物体所受合力为零。
  • ΣFx = 0
  • ΣFy = 0
• 解题方法：
  • 受力分析：明确研究对象，画出受力示意图。
  • 建立坐标系：选择合适的坐标系，通常以多个力位于坐标轴上为宜。
  • 列平衡方程：根据平衡条件列方程。
  • 求解方程：解方程求出未知量。

2.3 力矩与力偶

• 力矩：力对物体的转动效应的度量。
  • 公式：M = rFsinθ (θ为力臂与力的夹角)
  • 单位：N·m
• 力偶：大小相等、方向相反、作用线不重合的两个平行力。
  • 力偶矩：M = Fd (d为两力作用线之间的距离)
  • 力偶的平衡：力偶矩的代数和为零。

2.4 物体平衡的条件

• 物体受共点力作用：合力为零。
• 物体受非共点力作用：合力为零，合力矩为零。
  • ΣFx = 0
  • ΣFy = 0
  • ΣM = 0

2.5 静摩擦力

• 产生条件：接触面粗糙，有相对运动趋势。
• 大小：0 ≤ f ≤ fmax
• 方向：与相对运动趋势方向相反。
• 最大静摩擦力：fmax = μsN (μs为静摩擦因数，N为正压力)

三、 运动学

3.1 描述运动的物理量

• 位移：描述物体位置变化的物理量，矢量。
• 速度：描述物体运动快慢和方向的物理量，矢量。
  • 平均速度：一段时间内的位移与时间的比值。
  • 瞬时速度：某时刻的速度。
• 加速度：描述物体速度变化快慢的物理量，矢量。
  • 平均加速度：一段时间内的速度变化与时间的比值。
  • 瞬时加速度：某时刻的加速度。

3.2 匀变速直线运动

• 定义：加速度恒定的直线运动。
• 基本公式：
  • v = v0 + at
  • x = v0t + (1/2)at²
  • v² - v0² = 2ax
• 推论：
  • 平均速度等于初末速度的平均值：v̄ = (v0 + v)/2
  • 相等时间间隔内的位移差相等：Δx = aT²

3.3 抛体运动

• 平抛运动：只受重力作用，初速度水平的运动。
  • 水平方向：匀速直线运动。
  • 竖直方向：自由落体运动。
• 斜抛运动：只受重力作用，初速度与水平方向成一定角度的运动。
  • 运动分解：分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动。
  • 射程、射高、飞行时间。

3.4 圆周运动

• 线速度：描述物体沿圆周运动的快慢，大小等于弧长与时间的比值，矢量。
• 角速度：描述物体绕圆心转动的快慢，等于转过的角度与时间的比值，标量。
• 周期：物体运动一周所用的时间。
• 频率：单位时间内物体运动的圈数。
• 向心加速度：指向圆心的加速度。
  • 公式：a = v²/r = ω²r

四、 动力学

4.1 牛顿运动定律

• 牛顿第一定律（惯性定律）：物体总保持匀速直线运动状态或静止状态，直到有外力迫使它改变这种状态为止。
• 牛顿第二定律：物体的加速度跟所受的合力成正比，跟物体的质量成反比，加速度的方向跟合力的方向相同。
  • 公式：F = ma
• 牛顿第三定律（作用力与反作用力定律）：两个物体之间的作用力和反作用力总是大小相等，方向相反，作用在同一条直线上。

4.2 动量与冲量

• 动量：物体的质量与速度的乘积，矢量。
  • 公式：p = mv
• 冲量：力在时间上的积累，矢量。
  • 公式：I = Ft
• 动量定理：物体所受合力的冲量等于物体动量的变化。
  • 公式：Ft = mv' - mv

4.3 动量守恒定律

• 内容：一个系统不受外力或者所受外力之和为零，这个系统的总动量保持不变。
• 适用条件：
  • 系统不受外力或所受合外力为零。
  • 系统所受外力远小于内力。
  • 在某一方向上，系统不受外力或所受合外力为零。
• 应用：碰撞、爆炸等问题。

4.4 功与能

• 功：力与物体在力的方向上发生的位移的乘积，标量。
  • 公式：W = Fxcosθ (θ为力与位移的夹角)
• 功率：单位时间内所做的功，标量。
  • 公式：P = W/t = Fvcosθ
• 动能：物体由于运动而具有的能量。
  • 公式：Ek = (1/2)mv²
• 势能：物体由于相互作用而具有的能量。
  • 重力势能：Ep = mgh
  • 弹性势能：Ep = (1/2)kx²

4.5 动能定理

• 内容：合外力所做的功等于物体动能的变化。
• 公式：W合 = Ek' - Ek = (1/2)mv'² - (1/2)mv²

4.6 机械能守恒定律

• 内容：在只有重力（或弹簧弹力）做功的系统中，物体的动能和势能的总和保持不变。
• 适用条件：只有重力或弹簧弹力做功。
• 公式：Ek1 + Ep1 = Ek2 + Ep2

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