平移,旋转,轴对称图形的思维导图

# 《平移,旋转,轴对称图形的思维导图》

## 一、轴对称图形

### 1. 定义与性质

*   **定义:** 如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形。这条直线叫做对称轴。

*   **关键点:**
    *   **直线:** 对称轴是一条直线，不是线段，也不是射线。
    *   **完全重合:** 指的是图形的每一个点都能找到关于对称轴的对应点，并且这些对应点连线都被对称轴垂直平分。
    *   **对称轴不唯一:** 部分轴对称图形有多条对称轴（例如：正方形有4条对称轴，圆有无数条对称轴）。

*   **性质:**
    *   对称轴是对称点所连线段的垂直平分线。
    *   对称轴两侧的图形是全等图形。
    *   图形上任意一点到对称轴的距离等于它的对称点到对称轴的距离。
    *   对应角相等，对应边相等。

### 2. 常见轴对称图形

*   **线段:** 对称轴是线段的垂直平分线。
*   **角:** 对称轴是角的平分线所在的直线。
*   **等腰三角形:** 对称轴是底边上的中线(也是底边上的高和角平分线)。
*   **等边三角形:** 有三条对称轴，分别是三条边上的高(也是中线和角平分线)。
*   **矩形:** 有两条对称轴，分别是两组对边中点的连线。
*   **菱形:** 有两条对称轴，分别是两条对角线所在的直线。
*   **正方形:** 有四条对称轴，分别是两组对边中点的连线和两条对角线所在的直线。
*   **圆:** 有无数条对称轴，任意一条经过圆心的直线都是圆的对称轴。
*   **正多边形:** 正n边形有n条对称轴，对称轴是连接顶点和对边中点的直线（n为奇数）或连接对边中点的直线或连接对角顶点的直线（n为偶数）。
*   **一些字母:** A、B、C、D、E、H、I、K、M、O、T、U、V、W、X、Y

### 3. 作轴对称图形

*   **已知图形和对称轴:**
    1.  找出图形的几个关键点。
    2.  分别过这些关键点作对称轴的垂线。
    3.  在垂线上截取相等的距离，得到对应点。
    4.  顺次连接对应点，得到轴对称图形。

*   **关于坐标轴对称的点:**
    *   关于x轴对称：(x, y) -> (x, -y)
    *   关于y轴对称：(x, y) -> (-x, y)

## 二、平移

### 1. 定义与性质

*   **定义:** 在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。

*   **关键点:**
    *   **方向:** 平移的方向是固定的。
    *   **距离:** 平移的距离是固定的。
    *   **没有改变图形的形状和大小:** 平移只改变图形的位置。

*   **性质:**
    *   平移前后，对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等。
    *   平移前后，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等。
    *   平移前后，对应角相等。
    *   平移前后，图形的形状和大小没有改变，即图形是全等的。

### 2. 平移的要素

*   **方向:** 指明平移的方向（例如：向右平移，向上平移）。
*   **距离:** 指明平移的距离（例如：平移3个单位长度）。

### 3. 作平移图形

*   **已知图形和平移方向、距离:**
    1.  找出图形的几个关键点。
    2.  分别过这些关键点沿同一方向移动相同的距离，得到对应点。
    3.  顺次连接对应点，得到平移后的图形。

*   **坐标系中的平移:**
    *   向右平移a个单位：(x, y) -> (x + a, y)
    *   向左平移a个单位：(x, y) -> (x - a, y)
    *   向上平移b个单位：(x, y) -> (x, y + b)
    *   向下平移b个单位：(x, y) -> (x, y - b)

## 三、旋转

### 1. 定义与性质

*   **定义:** 在平面内，将一个图形绕着一个定点旋转一个角度的图形变换叫做旋转。这个定点叫做旋转中心，旋转的角度叫做旋转角。

*   **关键点:**
    *   **旋转中心:** 旋转所绕的固定点。
    *   **旋转角:** 旋转的度数，通常指最小的正角度。
    *   **旋转方向:** 顺时针方向或逆时针方向。
    *   **没有改变图形的形状和大小:** 旋转只改变图形的位置。

*   **性质:**
    *   旋转前后，对应点到旋转中心的距离相等。
    *   旋转前后，对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角。
    *   旋转前后，对应线段相等。
    *   旋转前后，对应角相等。
    *   旋转前后，图形的形状和大小没有改变，即图形是全等的。

### 2. 旋转的要素

*   **旋转中心:** 指明旋转所绕的点。
*   **旋转角:** 指明旋转的度数。
*   **旋转方向:** 指明旋转的方向（顺时针或逆时针）。

### 3. 作旋转图形

*   **已知图形、旋转中心、旋转角、旋转方向:**
    1.  找出图形的几个关键点。
    2.  连接每一个关键点和旋转中心。
    3.  将这些连线绕旋转中心按给定的旋转方向旋转相同的旋转角，得到对应点。
    4.  顺次连接对应点，得到旋转后的图形。

*   **特殊旋转:**
    *   旋转90度、180度

### 4. 中心对称图形

*   **定义:** 在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°后，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这个点对称，这个点叫做对称中心。
*   **性质：**
    * 关于中心对称的两个图形，对应点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分
    * 关于中心对称的两个图形是全等图形
    * 关于中心对称的图形，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等

### 5. 常见中心对称图形
* 线段
* 平行四边形
* 菱形
* 矩形
* 正方形
* 圆
* 一些字母 S、Z、N、O

## 四、三种图形变换的联系与区别

*   **联系:** 都是图形的变换，都保持图形的形状和大小不变，得到的图形都与原图形全等。

*   **区别:**
    *   **轴对称:** 图形关于直线翻折。
    *   **平移:** 图形沿着某个方向移动。
    *   **旋转:** 图形绕着某个点旋转。
    *   **对称性:** 轴对称有对称轴，中心对称有对称中心，平移没有对称轴或对称中心（除非是特殊的图形）。

## 五、应用

*   图案设计
*   建筑设计
*   机械设计
*   艺术创作
*   解决几何问题

# 《平移,旋转,轴对称图形的思维导图》 ## 一、轴对称图形 ### 1. 定义与性质 * **定义:** 如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形。这条直线叫做对称轴。 * **关键点:** * **直线:** 对称轴是一条直线，不是线段，也不是射线。 * **完全重合:** 指的是图形的每一个点都能找到关于对称轴的对应点，并且这些对应点连线都被对称轴垂直平分。 * **对称轴不唯一:** 部分轴对称图形有多条对称轴（例如：正方形有4条对称轴，圆有无数条对称轴）。 * **性质:** * 对称轴是对称点所连线段的垂直平分线。 * 对称轴两侧的图形是全等图形。 * 图形上任意一点到对称轴的距离等于它的对称点到对称轴的距离。 * 对应角相等，对应边相等。 ### 2. 常见轴对称图形 * **线段:** 对称轴是线段的垂直平分线。 * **角:** 对称轴是角的平分线所在的直线。 * **等腰三角形:** 对称轴是底边上的中线(也是底边上的高和角平分线)。 * **等边三角形:** 有三条对称轴，分别是三条边上的高(也是中线和角平分线)。 * **矩形:** 有两条对称轴，分别是两组对边中点的连线。 * **菱形:** 有两条对称轴，分别是两条对角线所在的直线。 * **正方形:** 有四条对称轴，分别是两组对边中点的连线和两条对角线所在的直线。 * **圆:** 有无数条对称轴，任意一条经过圆心的直线都是圆的对称轴。 * **正多边形:** 正n边形有n条对称轴，对称轴是连接顶点和对边中点的直线（n为奇数）或连接对边中点的直线或连接对角顶点的直线（n为偶数）。 * **一些字母:** A、B、C、D、E、H、I、K、M、O、T、U、V、W、X、Y ### 3. 作轴对称图形 * **已知图形和对称轴:** 1. 找出图形的几个关键点。 2. 分别过这些关键点作对称轴的垂线。 3. 在垂线上截取相等的距离，得到对应点。 4. 顺次连接对应点，得到轴对称图形。 * **关于坐标轴对称的点:** * 关于x轴对称：(x, y) -> (x, -y) * 关于y轴对称：(x, y) -> (-x, y) ## 二、平移 ### 1. 定义与性质 * **定义:** 在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。 * **关键点:** * **方向:** 平移的方向是固定的。 * **距离:** 平移的距离是固定的。 * **没有改变图形的形状和大小:** 平移只改变图形的位置。 * **性质:** * 平移前后，对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等。 * 平移前后，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等。 * 平移前后，对应角相等。 * 平移前后，图形的形状和大小没有改变，即图形是全等的。 ### 2. 平移的要素 * **方向:** 指明平移的方向（例如：向右平移，向上平移）。 * **距离:** 指明平移的距离（例如：平移3个单位长度）。 ### 3. 作平移图形 * **已知图形和平移方向、距离:** 1. 找出图形的几个关键点。 2. 分别过这些关键点沿同一方向移动相同的距离，得到对应点。 3. 顺次连接对应点，得到平移后的图形。 * **坐标系中的平移:** * 向右平移a个单位：(x, y) -> (x + a, y) * 向左平移a个单位：(x, y) -> (x - a, y) * 向上平移b个单位：(x, y) -> (x, y + b) * 向下平移b个单位：(x, y) -> (x, y - b) ## 三、旋转 ### 1. 定义与性质 * **定义:** 在平面内，将一个图形绕着一个定点旋转一个角度的图形变换叫做旋转。这个定点叫做旋转中心，旋转的角度叫做旋转角。 * **关键点:** * **旋转中心:** 旋转所绕的固定点。 * **旋转角:** 旋转的度数，通常指最小的正角度。 * **旋转方向:** 顺时针方向或逆时针方向。 * **没有改变图形的形状和大小:** 旋转只改变图形的位置。 * **性质:** * 旋转前后，对应点到旋转中心的距离相等。 * 旋转前后，对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角。 * 旋转前后，对应线段相等。 * 旋转前后，对应角相等。 * 旋转前后，图形的形状和大小没有改变，即图形是全等的。 ### 2. 旋转的要素 * **旋转中心:** 指明旋转所绕的点。 * **旋转角:** 指明旋转的度数。 * **旋转方向:** 指明旋转的方向（顺时针或逆时针）。 ### 3. 作旋转图形 * **已知图形、旋转中心、旋转角、旋转方向:** 1. 找出图形的几个关键点。 2. 连接每一个关键点和旋转中心。 3. 将这些连线绕旋转中心按给定的旋转方向旋转相同的旋转角，得到对应点。 4. 顺次连接对应点，得到旋转后的图形。 * **特殊旋转:** * 旋转90度、180度 ### 4. 中心对称图形 * **定义:** 在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°后，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这个点对称，这个点叫做对称中心。 * **性质：** * 关于中心对称的两个图形，对应点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分 * 关于中心对称的两个图形是全等图形 * 关于中心对称的图形，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等 ### 5. 常见中心对称图形 * 线段 * 平行四边形 * 菱形 * 矩形 * 正方形 * 圆 * 一些字母 S、Z、N、O ## 四、三种图形变换的联系与区别 * **联系:** 都是图形的变换，都保持图形的形状和大小不变，得到的图形都与原图形全等。 * **区别:** * **轴对称:** 图形关于直线翻折。 * **平移:** 图形沿着某个方向移动。 * **旋转:** 图形绕着某个点旋转。 * **对称性:** 轴对称有对称轴，中心对称有对称中心，平移没有对称轴或对称中心（除非是特殊的图形）。 ## 五、应用 * 图案设计 * 建筑设计 * 机械设计 * 艺术创作 * 解决几何问题

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