《平移,旋转,轴对称图形的思维导图》

一、轴对称图形

1. 定义与性质

• 定义: 如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形。这条直线叫做对称轴。

• 关键点:

  • 直线: 对称轴是一条直线，不是线段，也不是射线。
  • 完全重合: 指的是图形的每一个点都能找到关于对称轴的对应点，并且这些对应点连线都被对称轴垂直平分。
  • 对称轴不唯一: 部分轴对称图形有多条对称轴（例如：正方形有4条对称轴，圆有无数条对称轴）。

• 性质:

  • 对称轴是对称点所连线段的垂直平分线。
  • 对称轴两侧的图形是全等图形。
  • 图形上任意一点到对称轴的距离等于它的对称点到对称轴的距离。
  • 对应角相等，对应边相等。

2. 常见轴对称图形

• 线段: 对称轴是线段的垂直平分线。
• 角: 对称轴是角的平分线所在的直线。
• 等腰三角形: 对称轴是底边上的中线(也是底边上的高和角平分线)。
• 等边三角形: 有三条对称轴，分别是三条边上的高(也是中线和角平分线)。
• 矩形: 有两条对称轴，分别是两组对边中点的连线。
• 菱形: 有两条对称轴，分别是两条对角线所在的直线。
• 正方形: 有四条对称轴，分别是两组对边中点的连线和两条对角线所在的直线。
• 圆: 有无数条对称轴，任意一条经过圆心的直线都是圆的对称轴。
• 正多边形: 正n边形有n条对称轴，对称轴是连接顶点和对边中点的直线（n为奇数）或连接对边中点的直线或连接对角顶点的直线（n为偶数）。
• 一些字母: A、B、C、D、E、H、I、K、M、O、T、U、V、W、X、Y

3. 作轴对称图形

• 已知图形和对称轴:

  1. 找出图形的几个关键点。
  2. 分别过这些关键点作对称轴的垂线。
  3. 在垂线上截取相等的距离，得到对应点。
  4. 顺次连接对应点，得到轴对称图形。

• 关于坐标轴对称的点:

  • 关于x轴对称：(x, y) -> (x, -y)
  • 关于y轴对称：(x, y) -> (-x, y)

二、平移

1. 定义与性质

• 定义: 在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。

• 关键点:

  • 方向: 平移的方向是固定的。
  • 距离: 平移的距离是固定的。
  • 没有改变图形的形状和大小: 平移只改变图形的位置。

• 性质:

  • 平移前后，对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等。
  • 平移前后，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等。
  • 平移前后，对应角相等。
  • 平移前后，图形的形状和大小没有改变，即图形是全等的。

2. 平移的要素

• 方向: 指明平移的方向（例如：向右平移，向上平移）。
• 距离: 指明平移的距离（例如：平移3个单位长度）。

3. 作平移图形

• 已知图形和平移方向、距离:

  1. 找出图形的几个关键点。
  2. 分别过这些关键点沿同一方向移动相同的距离，得到对应点。
  3. 顺次连接对应点，得到平移后的图形。

• 坐标系中的平移:

  • 向右平移a个单位：(x, y) -> (x + a, y)
  • 向左平移a个单位：(x, y) -> (x - a, y)
  • 向上平移b个单位：(x, y) -> (x, y + b)
  • 向下平移b个单位：(x, y) -> (x, y - b)

三、旋转

1. 定义与性质

• 定义: 在平面内，将一个图形绕着一个定点旋转一个角度的图形变换叫做旋转。这个定点叫做旋转中心，旋转的角度叫做旋转角。

• 关键点:

  • 旋转中心: 旋转所绕的固定点。
  • 旋转角: 旋转的度数，通常指最小的正角度。
  • 旋转方向: 顺时针方向或逆时针方向。
  • 没有改变图形的形状和大小: 旋转只改变图形的位置。

• 性质:

  • 旋转前后，对应点到旋转中心的距离相等。
  • 旋转前后，对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角。
  • 旋转前后，对应线段相等。
  • 旋转前后，对应角相等。
  • 旋转前后，图形的形状和大小没有改变，即图形是全等的。

2. 旋转的要素

• 旋转中心: 指明旋转所绕的点。
• 旋转角: 指明旋转的度数。
• 旋转方向: 指明旋转的方向（顺时针或逆时针）。

3. 作旋转图形

• 已知图形、旋转中心、旋转角、旋转方向:

  1. 找出图形的几个关键点。
  2. 连接每一个关键点和旋转中心。
  3. 将这些连线绕旋转中心按给定的旋转方向旋转相同的旋转角，得到对应点。
  4. 顺次连接对应点，得到旋转后的图形。

• 特殊旋转:

  • 旋转90度、180度

4. 中心对称图形

• 定义: 在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°后，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这个点对称，这个点叫做对称中心。
• 性质：
  • 关于中心对称的两个图形，对应点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分
  • 关于中心对称的两个图形是全等图形
  • 关于中心对称的图形，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等

5. 常见中心对称图形

• 线段
• 平行四边形
• 菱形
• 矩形
• 正方形
• 圆
• 一些字母 S、Z、N、O

四、三种图形变换的联系与区别

• 联系: 都是图形的变换，都保持图形的形状和大小不变，得到的图形都与原图形全等。

• 区别:

  • 轴对称: 图形关于直线翻折。
  • 平移: 图形沿着某个方向移动。
  • 旋转: 图形绕着某个点旋转。
  • 对称性: 轴对称有对称轴，中心对称有对称中心，平移没有对称轴或对称中心（除非是特殊的图形）。

五、应用

• 图案设计
• 建筑设计
• 机械设计
• 艺术创作
• 解决几何问题

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