《中心对称图形平行四边形思维导图》

一、中心对称图形

1. 定义

• 定义：在平面内，把一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。
• 关键点：
  • 绕某一点旋转180°
  • 与原图形重合

2. 性质

• 中心对称图形绕对称中心旋转180°后能与原图形完全重合。
• 中心对称图形上每一对对称点所连线段都经过对称中心，且被对称中心平分。
• 如果两个图形关于某一点对称，那么对应点的连线经过对称中心，并且被对称中心平分；对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等。
• 中心对称的两个图形全等。

3. 常见中心对称图形

• 线段
  • 对称中心：线段的中点
• 矩形
  • 对称中心：两条对角线的交点
• 正方形
  • 对称中心：两条对角线的交点
• 平行四边形
  • 对称中心：两条对角线的交点
• 菱形
  • 对称中心：两条对角线的交点
• 圆
  • 对称中心：圆心

4. 判定

• 利用定义：将图形绕某点旋转180°，看是否与原图形重合。
• 根据常见中心对称图形直接判断。

二、平行四边形

1. 定义

• 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
• 几何语言：∵ AB∥CD，AD∥BC ∴ 四边形ABCD是平行四边形

2. 性质

• 对边平行且相等
  • AB∥CD，AD∥BC
  • AB=CD，AD=BC
• 对角相等
  • ∠A=∠C，∠B=∠D
• 邻角互补
  • ∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°，∠C+∠D=180°，∠D+∠A=180°
• 对角线互相平分
  • AO=CO，BO=DO (O为对角线交点)
• 中心对称图形
  • 对称中心：对角线的交点

3. 判定

• 定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
• 定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
• 定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
• 定理3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
• 定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

4. 特殊平行四边形

• 矩形
  • 定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
  • 性质：
    • 具有平行四边形的所有性质。
    • 四个角都是直角。
    • 对角线相等且互相平分。
  • 判定：
    • 有一个角是直角的平行四边形是矩形。
    • 有三个角是直角的四边形是矩形。
    • 对角线相等的平行四边形是矩形。
• 菱形
  • 定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
  • 性质：
    • 具有平行四边形的所有性质。
    • 四条边都相等。
    • 对角线互相垂直平分且平分每一组对角。
  • 判定：
    • 有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
    • 四条边都相等的四边形是菱形。
    • 对角线互相垂直平分的四边形是菱形。
• 正方形
  • 定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。（或：有一个角是直角的菱形，有一组邻边相等的矩形）。
  • 性质：
    • 具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质。
    • 四条边都相等，四个角都是直角。
    • 对角线相等且互相垂直平分，并且平分每一组对角。
  • 判定：
    • 有一组邻边相等的矩形是正方形。
    • 有一个角是直角的菱形是正方形。

三、平行四边形与中心对称图形的关系

1. 平行四边形是中心对称图形

• 平行四边形绕其对角线的交点旋转180°后能够与自身重合，符合中心对称图形的定义。

2. 特殊的平行四边形也是中心对称图形

• 矩形、菱形、正方形都是平行四边形，因此它们也都是中心对称图形。它们的对称中心都是对角线的交点。

3. 中心对称图形不一定是平行四边形

• 例如，圆是中心对称图形，但不是平行四边形。

四、应用

1. 利用中心对称性解决几何问题

• 利用平行四边形的中心对称性，可以证明线段相等，角相等，以及线段之间的关系。

2. 在坐标系中寻找中心对称图形

• 在坐标系中，如果两个点关于原点对称，则这两个点的坐标满足 x₁ = -x₂，y₁ = -y₂。

3. 平行四边形与其他图形的综合应用

• 平行四边形常与三角形、矩形、菱形、正方形等图形结合，考察图形的性质和判定。

五、总结

• 中心对称图形和平行四边形是重要的几何概念，理解它们的定义、性质和判定，掌握它们之间的关系，能够有效解决相关的几何问题。特殊平行四边形更是中考考察的重点。学习时要注重理解，灵活应用。

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