平移旋转和对称轴思维导图
《平移旋转和对称轴思维导图》
一、平移
1. 定义与性质
- 定义： 将图形沿某个方向移动一定距离。
- 要素：
- 平移方向：箭头指向，或用语言描述。
- 平移距离：线段长度，或用数值表示。
- 性质：
- 对应点连线平行（或在同一直线上）且相等。
- 平移前后，图形的形状、大小完全相同。
- 对应角相等，对应线段相等。
- 平移前后，图形上每一点都沿相同方向移动了相同的距离。
2. 几何变换
- 坐标系中的平移：
- 点P(x,y)平移到P'(x+a, y+b)。
- 规则：向右平移，x加正数；向左平移，x加负数；向上平移，y加正数；向下平移，y加负数。
- 应用：函数图像平移，例如 y = f(x) 平移到 y = f(x-a) + b。
- 平移变换作图：
- 确定关键点（如线段端点、顶点等）。
- 按指定方向和距离平移关键点。
- 连接平移后的对应点，得到平移后的图形。
- 实际应用：
- 图案设计、机械运动、动画制作。
- 解决实际问题，如河流宽度的测量。
3. 注意事项
- 明确平移的方向和距离。
- 注意图形的整体移动，不能改变形状和大小。
- 坐标系中平移方向与正负号的关系。
二、旋转
1. 定义与性质
- 定义： 将图形绕某一点按一定方向旋转一定角度。
- 要素：
- 旋转中心：固定的点。
- 旋转方向：顺时针或逆时针。
- 旋转角度：旋转的度数。
- 性质：
- 旋转前后，图形的形状、大小完全相同。
- 对应点到旋转中心的距离相等。
- 对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角。
- 旋转改变了图形的位置，但保持了形状和大小不变。
2. 特殊旋转
- 中心对称：
- 定义：将一个图形绕某一点旋转180°后，能够与原来的图形完全重合，这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。
- 性质：对应点关于中心对称；中心对称图形绕对称中心旋转180度后与自身重合。
- 常见中心对称图形：线段、平行四边形、菱形、矩形、正方形、圆。
- 旋转对称：
- 定义：将一个图形绕某一点旋转一定角度（小于360°）后能够与自身重合，这个图形叫做旋转对称图形，这个点叫做旋转中心。
- 常见旋转对称图形：正三角形（120°），正方形（90°），正五边形（72°），圆（任意角度）。
3. 几何变换
- 坐标系中的旋转：
- 坐标的变换相对复杂，涉及三角函数，此处不深入展开。
- 旋转变换作图：
- 确定旋转中心、旋转方向和旋转角度。
- 确定关键点。
- 连接关键点和旋转中心，按指定方向旋转相应角度。
- 连接旋转后的对应点，得到旋转后的图形。
- 实际应用：
- 机械运动、钟表、风车、图案设计。
- 解决实际问题，如测量角度，分析运动轨迹。
4. 注意事项
- 明确旋转中心、旋转方向和旋转角度。
- 注意旋转方向的区分（顺时针和逆时针）。
- 对应点与旋转中心的连线所成的角相等。
三、对称轴
1. 定义与性质
- 定义： 如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴。
- 要素：
- 性质：
- 对称轴两侧的部分能够完全重合。
- 对应点到对称轴的距离相等。
- 对应点的连线垂直于对称轴。
- 对称轴是对应点连线段的垂直平分线。
2. 常见轴对称图形
- 线段：对称轴是垂直平分线。
- 角：对称轴是角平分线。
- 等腰三角形：对称轴是底边上的高（或中线、角平分线）。
- 正三角形：三条对称轴。
- 等腰梯形：对称轴是上下底边中点的连线。
- 矩形：两条对称轴。
- 菱形：两条对称轴。
- 正方形：四条对称轴。
- 圆：无数条对称轴，任意一条经过圆心的直线都是对称轴。
- 正多边形： n条边的正多边形有n条对称轴。
3. 几何变换
- 坐标系中的轴对称：
- 关于x轴对称：(x, y) -> (x, -y)。
- 关于y轴对称：(x, y) -> (-x, y)。
- 关于原点对称: (x,y) -> (-x, -y) (实际上是中心对称).
- 关于直线y=x对称：(x, y) -> (y, x)。
- 关于直线y=-x对称：(x, y) -> (-y, -x)。
- 轴对称变换作图：
- 确定对称轴。
- 确定关键点。
- 作关键点关于对称轴的对称点。
- 连接对称点，得到轴对称后的图形。
4. 应用
- 图案设计、建筑设计、艺术创作。
- 解决实际问题，如测量、镜像问题。
5. 注意事项
- 明确对称轴的位置。
- 对应点到对称轴的距离相等且连线垂直于对称轴。
- 轴对称图形的整体特征。
四、总结
- 平移、旋转和轴对称都是几何变换，改变图形的位置，但保持图形的形状和大小不变。
- 理解各种变换的要素和性质是解决相关问题的关键。
- 掌握坐标系中的变换规律，能够更好地解决几何问题。
- 能够灵活运用这些几何变换解决实际问题。
