图形的相似思维导图九上
《图形的相似思维导图九上》
一、 相似图形的概念与性质
- 概念：
- 形状相同，大小不同的图形。
- 对应角相等，对应边成比例。
- 判断方法：
- 定义法：直接验证对应角相等，对应边成比例。
- 平行于三角形一边的直线，截其他两边，所得的三角形与原三角形相似。
- 两角对应相等的两个三角形相似（AA）。
- 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS）。
- 三边对应成比例的两个三角形相似（SSS）。
- 相似比：
- 对应边的比。
- 记为k。
- 相似比等于1时，两图形全等。
- 性质：
- 对应角相等。
- 对应边成比例。
- 周长之比等于相似比。
- 面积之比等于相似比的平方。
- 对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比。
二、 相似三角形的判定
- 预备定理：
- 平行于三角形一边的直线，截其他两边，所得的三角形与原三角形相似。
- 推论：平行于三角形一边的直线，截其他两边或两边的延长线，所得的三角形与原三角形相似。
- 判定定理1 (AA)：
- 两角对应相等的两个三角形相似。
- 应用：证明两个三角形相似的关键方法。
- 判定定理2 (SAS)：
- 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
- 应用：适用于已知两边比例关系和夹角关系的情况。
- 判定定理3 (SSS)：
- 三边对应成比例的两个三角形相似。
- 应用：适用于已知三边长度的情况。
- 直角三角形相似的判定：
- 有一锐角对应相等的两个直角三角形相似。
- 两直角边对应成比例的两个直角三角形相似。
- 斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似。
- 实际应用：
- 利用相似三角形测量物体的高度。
- 利用相似三角形测量物体的宽度。
- 设计相似图形。
三、 相似三角形的性质的应用
- 证明线段成比例：
- 通过证明相关三角形相似，得出对应边成比例。
- 注意寻找中间量进行过渡。
- 计算线段长度：
- 计算角度大小：
- 证明角相等：
- 面积问题：
- 利用相似三角形的面积比等于相似比的平方。
- 将复杂图形分割成相似三角形进行计算。
- 几何证明题：
- 将相似三角形的判定和性质与其他几何知识结合运用。
- 例如，与平行四边形、菱形、矩形、正方形等结合。
四、 图形的位似
- 位似的概念：
- 两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于同一点，对应边互相平行或在同一条直线上。
- 这个点叫做位似中心。
- 位似是特殊的相似。
- 位似中心的位置：
- 可以在两个图形的内部。
- 可以在两个图形的外部。
- 也可以在其中一个图形上（两个图形重合）。
- 位似比：
- 位似图形的性质：
- 对应点连线相交于同一点(位似中心)。
- 对应边平行或在同一直线上。
- 对应边的比等于位似比。
- 位似图形一定相似，但相似图形不一定位似。
- 利用位似变换画图形：
- 确定位似中心。
- 连接对应点。
- 按位似比放大或缩小图形。
- 在坐标系中画位似图形：
- 通常以原点为位似中心。
- 将原图形各顶点的坐标乘以位似比，得到新图形各顶点的坐标。
- 位似的应用：
五、 黄金分割
- 定义：
- 把一条线段分割为两部分，使较长部分与全长的比等于较短部分与较长部分的比，这个比值是黄金比。
- 黄金比 ≈ 0.618
- 黄金分割点的确定：
- 通过几何方法确定。
- 通常在已知线段上确定一个点，使其满足黄金分割的定义。
- 黄金三角形：
- 顶角为36度的等腰三角形。
- 底角为72度。
- 底与腰的比等于黄金比。
- 黄金矩形：
- 黄金分割的应用：
六、 实际应用
- 测量高度： 利用相似三角形的原理，结合测量工具（如标杆、皮尺）和阳光下的影子长度，计算无法直接到达的高度。
- 测量宽度： 利用相似三角形，通过视线构造相似图形，测量河流、峡谷等无法直接测量的宽度。
- 地图比例尺： 理解地图比例尺与实际距离的关系，利用相似比进行计算。
- 设计图形： 利用位似变换放大或缩小图形，进行艺术设计或工程设计。
- 解决实际问题： 结合相似三角形的知识，解决与比例、测量、设计相关的实际问题。
七、 易错点和难点
- 忽略相似的条件： 必须满足对应角相等，对应边成比例，两者缺一不可。
- 对应关系的确定： 在复杂的图形中，容易混淆对应边和对应角。
- 面积比的错误应用： 面积比是相似比的平方，注意单位统一。
- 位似中心的选择： 不同的位似中心会得到不同的位似图形，要根据题目要求选择合适的位似中心。
- 黄金分割的理解： 理解黄金分割的定义，灵活运用黄金比。
- 实际问题的建模： 将实际问题转化为数学模型，正确运用相似的知识解决问题。
