《数学思维导图七下》

第一章：相交线与平行线

1.1 相交线

• 邻补角: 定义（有一条公共边，另一边互为反向延长线），性质（互补，和为180°）。
• 对顶角: 定义（一个角的两边是另一个角两边的反向延长线），性质（相等）。
• 垂线: 定义（相交成直角），性质（过一点有且只有一条直线与已知直线垂直），垂线段最短。
• 点到直线的距离: 定义（垂线段的长度）。

1.2 平行线

• 基本概念: 同一平面内不相交的两条直线。
• 平行公理: 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
• 平行线的传递性: 如果 a∥b， b∥c，那么 a∥c。

1.3 平行线的判定

• 同位角: 定义（两直线被第三条直线所截，位置相同），判定（同位角相等，两直线平行）。
• 内错角: 定义（两直线被第三条直线所截，在两直线之间，截线两侧），判定（内错角相等，两直线平行）。
• 同旁内角: 定义（两直线被第三条直线所截，在两直线之间，截线同侧），判定（同旁内角互补，两直线平行）。
• 其他判定: 垂直于同一直线的两直线平行。

1.4 平行线的性质

• 性质1: 两直线平行，同位角相等。
• 性质2: 两直线平行，内错角相等。
• 性质3: 两直线平行，同旁内角互补。

1.5 命题、定理、证明 (初步)

• 命题: 判断真假的语句（题设、结论）。
• 真命题/假命题: 定义。
• 定理: 经过证明的真命题。
• 证明: 推理过程。

第二章：实数

2.1 平方根

• 定义: 如果一个数x的平方等于a（x² = a），那么x叫做a的平方根。
• 性质:
• 正数有两个平方根，互为相反数。
• 0的平方根是0。
• 负数没有平方根（在实数范围内）。
• 算术平方根: 正数a的正的平方根，记作 √a。√a ≥ 0。 0的算术平方根是0。

2.2 立方根

• 定义: 如果一个数x的立方等于a（x³ = a），那么x叫做a的立方根，记作 ³√a。
• 性质:
• 正数有一个正的立方根。
• 0的立方根是0。
• 负数有一个负的立方根。
• 符号: ³√(-a) = -³√a。

2.3 实数

• 无理数: 无限不循环小数（如 π, √2, 0.1010010001...）。
• 实数分类:
• 按定义：有理数 + 无理数
• 按正负：正实数 + 0 + 负实数
• 实数与数轴: 一一对应关系。
• 实数运算: 有理数运算性质和法则同样适用于实数。
• 大小比较: 数轴法，作差法，作商法（正数），平方法（正数）。
• 近似值与有效数字: 概念。

第三章：平面直角坐标系

3.1 平面直角坐标系

• 有序数对: 用 (a, b) 表示有顺序的两个数。
• 坐标系: 互相垂直且有公共原点的两条数轴（x 轴/横轴， y 轴/纵轴，原点 O）。
• 象限: 坐标轴将平面分成四个象限（Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ, Ⅳ），按逆时针顺序排列。

3.2 点的坐标

• 表示: 平面内的点 P 用有序数对 (x, y) 表示，x是横坐标，y是纵坐标。
• 坐标特征:
• 象限内点的符号：Ⅰ(+,+), Ⅱ(-,+), Ⅲ(-,-), Ⅳ(+,-)。
• 坐标轴上点的特征： x 轴 (y=0), y 轴 (x=0), 原点 (0,0)。
• 点到坐标轴/原点的距离:
• 到 x 轴距离：|y|
• 到 y 轴距离：|x|
• 到原点距离：√(x² + y²) （勾股定理）

3.3 坐标与图形变换 (平移)

• 左右平移: 横坐标加减（右加左减），纵坐标不变。
• 上下平移: 纵坐标加减（上加下减），横坐标不变。
• 图形平移: 图形上所有点进行相同方向、相同距离的平移。

第四章：二元一次方程组

4.1 基本概念

• 二元一次方程: 含有两个未知数，且未知项的次数都是1的整式方程。
• 二元一次方程的解: 使方程左右两边相等的一对未知数的值。
• 二元一次方程组: 由两个二元一次方程组成的方程组。
• 二元一次方程组的解: 方程组中各个方程的公共解。

4.2 解二元一次方程组

• 代入消元法:
  1. 变形：从一个方程中用含一个未知数的代数式表示另一个未知数。
  2. 代入：将此代数式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一元一次方程。
  3. 求解：解这个一元一次方程。
  4. 回代：将求得的未知数值代回变形后的方程，求另一个未知数。
  5. 写解：用 { 写出方程组的解。
• 加减消元法:
  1. 变形：将两方程中某个未知数的系数变为相同或互为相反数。
  2. 加减：系数相同时相减，系数互为相反数时相加，消去一个未知数，得到一元一次方程。
  3. 求解：解这个一元一次方程。
  4. 回代：将求得的未知数值代入原方程组中任意一个较简单的方程，求另一个未知数。
  5. 写解：用 { 写出方程组的解。

4.3 实际应用

• 建模: 设未知数，找出两个等量关系，列出方程组。
• 求解: 解方程组。
• 检验与作答: 检验解是否符合实际意义，写出答案。
• 常见题型: 行程问题、工程问题、利润问题、浓度问题、数字问题等。

第五章：不等式与不等式组

5.1 不等式及其基本性质

• 不等式: 用不等号 (>, <, ≥, ≤, ≠) 连接的式子。
• 不等式的解: 使不等式成立的未知数的值。
• 不等式的解集: 所有解组成的集合。
• 基本性质:
  1. 对称性：a > b <=> b < a。
  2. 传递性：a > b, b > c => a > c。
  3. 性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号方向不变。
  4. 性质2：不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号方向不变。
  5. 性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号方向改变。

5.2 一元一次不等式

• 定义: 只含有一个未知数，未知数次数是1，系数不为0的不等式。
• 解法: 类似解一元一次方程（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1），注意性质3的应用（系数为负时要变号）。
• 解集表示: 在数轴上表示（空心圆圈表示不包含，实心圆点表示包含）。

5.3 一元一次不等式组

• 定义: 由几个一元一次不等式组成的不等式组。
• 解集: 各个不等式解集的公共部分。
• 求解步骤:
  1. 分别求出每个不等式的解集。
  2. 在数轴上表示出各个不等式的解集。
  3. 找出公共部分，即为不等式组的解集。
• 口诀: 同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到（无解）。

5.4 实际应用

• 建模: 找出题中的不等关系，设未知数，列出不等式（组）。
• 求解: 解不等式（组）。
• 检验与作答: 结合实际意义确定解的范围，写出答案。
• 常见题型: 方案选择、最大/最小值问题、范围问题等。

第六章：数据的收集、整理与描述

6.1 数据收集

• 调查方式:
• 普查: 为特定目的对全部考察对象进行的全面调查（准确，但工作量大，耗时长）。
• 抽样调查: 从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此来估计总体的特征（省时省力，但有误差）。
• 基本概念:
• 总体: 考察对象的全体。
• 个体: 组成总体的每一个考察对象。
• 样本: 从总体中抽取的一部分个体。
• 样本容量: 样本中个体的数目（不带单位）。
• 抽样要求: 样本具有代表性（常用简单随机抽样）。

6.2 数据整理

• 频数: 数据在各个小组中出现的次数。
• 频率: 频数与数据总数的比值（频率 = 频数 / 总数）。
• 频数分布表: 反映数据分布情况的表格（分组，统计频数）。
• 频数分布直方图:
• 横轴表示分组。
• 纵轴表示频数（或频率/组距）。
• 特点：直观显示各组数据的分布情况。

6.3 数据描述

• 统计图:

• 条形统计图: 用条形的高度表示数据的大小，易于比较各项数据差异。

• 折线统计图: 用点的起伏表示数据的变化趋势，易于反映数据随时间（或其他因素）的变化。

• 扇形统计图: 用扇形的大小表示各部分占总体的百分比，易于显示各部分与总体的关系。

• 图表选择: 根据数据特点和表达目的选择合适的统计图。

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• *核心思想**: 七年级下册数学承接上学期内容，重点在于几何的初步逻辑推理（平行线）、代数运算的扩展（实数、二元一次方程组、不等式组）以及统计初步知识。思维导图有助于梳理各章节知识点，理解概念间的联系，掌握基本方法和应用，为后续学习打下坚实基础。

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