《函数的概念与性质思维导图》

一、函数的概念

1. 定义：

• 本质： 一种对应关系。
• 描述： 设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。
• 符号表示： y = f(x), x∈A
• 要素：
  • 定义域A (输入集合)
  • 值域 B的子集 (输出集合)
  • 对应关系f (运算规则)

2. 定义域：

• 概念： x的取值范围，使得函数有意义。
• 确定方法：
  • 分母不为零
  • 偶次根式下大于等于零
  • 对数真数大于零，底数大于零且不等于1
  • 零指数幂底数不等于零
  • 实际问题有实际意义

3. 值域：

• 概念： y的取值范围，所有函数值的集合。
• 确定方法：
  • 直接法：观察法，适用于简单的函数。
  • 配方法：适用于二次函数或可转化为二次函数的函数。
  • 反解法：适用于可以反解出x的函数。
  • 换元法：适用于复杂函数，特别是根式型函数。
  • 导数法：适用于可导函数，求出极值点和端点值。
  • 不等式法：利用基本不等式求最值。
  • 单调性法：利用函数的单调性求值域。
  • 数形结合法：利用函数的图像求值域。

4. 对应关系：

• 表示方法：
  • 解析式法：y = f(x)
  • 图像法：直观地表示函数的对应关系
  • 列表法：适用于定义域是有限集合的函数

5. 相等函数：

• 定义： 定义域相同，且对应关系相同。 两者必须同时满足！

二、函数的性质

1. 单调性：

• 定义：
  • 增函数：若x1 < x2，则f(x1) < f(x2)
  • 减函数：若x1 < x2，则f(x1) > f(x2)
• 证明方法：
  • 定义法：
    • 任取x1, x2∈定义域，且x1 < x2
    • 计算f(x1) - f(x2)
    • 判断符号：若f(x1) - f(x2) < 0，则f(x)为增函数；若f(x1) - f(x2) > 0，则f(x)为减函数。
  • 导数法：
    • 求导f'(x)
    • 若f'(x) > 0，则f(x)为增函数；若f'(x) < 0，则f(x)为减函数。
• 应用：
  • 比较大小
  • 解不等式
  • 求最值

2. 奇偶性：

• 定义：
  • 偶函数：f(-x) = f(x)，图像关于y轴对称
  • 奇函数：f(-x) = -f(x)，图像关于原点对称
• 判断方法：
  • 定义法：验证f(-x)与f(x)的关系。
  • 图像法：观察函数图像的对称性。
• 性质：
  • 奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性。
  • 偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性。
  • 若奇函数f(x)在x=0处有定义，则f(0) = 0。

3. 周期性：

• 定义： 存在非零常数T，使得f(x + T) = f(x)对于定义域内的任意x都成立，则称f(x)是周期函数，T是周期。
• 常见结论：
  • f(x + T) = f(x)
  • f(x + T) = -f(x) => T = 2T'
  • f(x + T) = 1/f(x)
  • f(x + T) = -1/f(x)
• 应用： 化简求值、求函数值等。

4. 对称性:

• 轴对称:
  • f(a+x) = f(a-x) 图象关于直线 x=a 对称
• 中心对称：
  • f(a+x) + f(a-x) = 2b 图象关于点 (a,b) 对称

三、特殊函数

1. 一次函数：

• 形式： y = kx + b (k≠0)
• 性质：
  • k > 0，增函数
  • k < 0，减函数

2. 二次函数：

• 形式： y = ax² + bx + c (a≠0)
• 性质：
  • a > 0，开口向上，有最小值
  • a < 0，开口向下，有最大值
  • 对称轴：x = -b/2a
  • 顶点坐标：(-b/2a, (4ac-b²)/4a)

3. 指数函数：

• 形式： y = a^x (a > 0, a≠1)
• 性质：
  • a > 1，增函数
  • 0 < a < 1，减函数
  • 恒过点(0, 1)

4. 对数函数：

• 形式： y = logₐx (a > 0, a≠1)
• 性质：
  • a > 1，增函数
  • 0 < a < 1，减函数
  • 恒过点(1, 0)

5. 幂函数：

• 形式： y = x^α (α∈R)
• 性质： 图像随α的变化而变化，需要分类讨论。

四、函数图像

1. 图像变换：

• 平移变换：
  • 左加右减：y = f(x + a)
  • 上加下减：y = f(x) + b
• 伸缩变换：
  • 横坐标伸缩：y = f(ax)
  • 纵坐标伸缩：y = Af(x)
• 对称变换：
  • 关于x轴对称：y = -f(x)
  • 关于y轴对称：y = f(-x)
  • 关于原点对称：y = -f(-x)

2. 图像绘制：

• 描点法
• 利用已知函数图像进行变换
• 利用导数分析函数性质辅助绘制图像

五、函数应用

1. 函数与方程：

• 零点：f(x) = 0的根
• 零点存在性定理：若f(a)f(b) < 0，则(a, b)内存在零点。

2. 函数模型：

• 建立函数模型解决实际问题。

3. 函数与不等式：

• 利用函数的单调性解决不等式问题。

六、注意点

• 定义域优先原则
• 分类讨论的思想
• 数形结合的思想
• 等价转化的思想

上一个主题： 西游记思维导图 下一个主题： 闪闪的红星思维导图一等奖