五年级下思维导图

# 《五年级下思维导图》

## 一、数与代数

### 1. 分数

#### 1.1 分数的意义

*   **概念:** 将单位“1”平均分成若干份，表示这样一份或几份的数。
*   **分数单位:** 把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份的数。例如：1/3 的分数单位是 1/3。
*   **真分数:** 分子小于分母的分数。真分数小于1。
*   **假分数:** 分子大于或等于分母的分数。假分数大于或等于1。
*   **带分数:** 整数和真分数合成的分数。
*   **假分数化成带分数或整数:**  分子除以分母，商是整数部分，余数是分子，分母不变。如果分子是分母的倍数，则化成整数。
*   **带分数化成假分数:**  整数乘以分母加上分子，作为新的分子，分母不变。
*   **分数的基本性质:** 分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数(0除外)，分数的大小不变。
*   **应用:** 解释现实情境中的分数，理解分数与除法的关系。

#### 1.2 分数的运算

*   **同分母分数加减法:** 分母不变，分子相加减。结果要化成最简分数。
*   **异分母分数加减法:** 先通分，变成同分母分数，再按照同分母分数加减法进行计算。结果要化成最简分数。
*   **分数加减混合运算:** 按照运算顺序进行计算。有括号先算括号里面的。
*   **简便运算:** 运用运算定律进行简便计算（交换律、结合律、分配律）。
*   **分数乘法:**
    *   **分数乘整数:** 分子与整数相乘，分母不变。结果要化成最简分数。
    *   **分数乘分数:** 分子乘分子，分母乘分母。结果要化成最简分数。
    *   **倒数:** 乘积是1的两个数互为倒数。1的倒数是1，0没有倒数。
*   **分数除法:**
    *   **分数除以整数:** 除以一个数等于乘这个数的倒数。
    *   **分数除以分数:** 除以一个数等于乘这个数的倒数。
*   **混合运算:** 先算乘除法，后算加减法。有括号先算括号里面的。
*   **解决问题:** 运用分数运算解决实际问题。注意单位“1”的变化，找准对应关系。

#### 1.3 分数与小数的互化

*   **小数化分数:**  看是几位小数，就在1后面添几个0做分母，原来的小数去掉小数点做分子，能约分的要约分。
*   **分数化小数:**  用分子除以分母。除不尽时，按要求保留几位小数。
*   **能化成有限小数的分数:** 分母只含有质因数2和5的分数(最简分数)能化成有限小数。

### 2. 方程

#### 2.1 方程的意义

*   **概念:** 含有未知数的等式叫做方程。
*   **等式:** 表示相等关系的式子。
*   **方程与等式的关系:** 方程一定是等式，但等式不一定是方程。

#### 2.2 解方程

*   **等式的性质:**
    *   等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。
    *   等式两边同时乘或除以同一个数(0除外)，所得结果仍然是等式。
*   **解方程的方法:** 利用等式的性质，使方程两边只剩下一个未知数。
*   **验算:** 将求出的未知数的值代入原方程，看方程两边是否相等。

#### 2.3 列方程解决问题

*   **步骤:**
    1.  找出等量关系。
    2.  设未知数为X。
    3.  列出方程。
    4.  解方程。
    5.  检验并写答。
*   **常用等量关系:** 和差倍分问题，行程问题，工程问题等。
*   **复杂问题:** 灵活运用等量关系，根据题意选择合适的未知数，并列出方程。

## 二、空间与图形

### 1. 长方体和正方体

#### 1.1 认识长方体和正方体

*   **长方体:**
    *   有6个面，每个面一般是长方形（特殊情况下有两个相对的面是正方形）。
    *   有12条棱，相对的棱长度相等。
    *   有8个顶点。
*   **正方体:**
    *   有6个完全相同的正方形的面。
    *   有12条长度相等的棱。
    *   有8个顶点。
*   **关系:** 正方体是特殊的长方体。

#### 1.2 表面积

*   **概念:** 长方体或正方体6个面的面积之和。
*   **长方体表面积计算公式:** S = 2(ab + ah + bh)
*   **正方体表面积计算公式:** S = 6a²
*   **特殊情况:** 无盖长方体/正方体的表面积计算。

#### 1.3 体积

*   **概念:** 物体所占空间的大小。
*   **体积单位:** 立方米(m³)、立方分米(dm³)、立方厘米(cm³)。
*   **体积单位换算:** 1 m³ = 1000 dm³; 1 dm³ = 1000 cm³; 1 dm³ = 1 升; 1 cm³ = 1 毫升
*   **长方体体积计算公式:** V = abh
*   **正方体体积计算公式:** V = a³
*   **统一公式:** V = Sh (底面积 × 高)

#### 1.4 容积

*   **概念:** 容器所能容纳物体的体积。
*   **容积单位:** 升(L)、毫升(mL)。
*   **容积的计算方法:** 与体积的计算方法相同。
*   **注意:** 测量容器的内部长宽高。

## 三、统计与概率

### 1. 复式折线统计图

*   **意义:** 为了更清楚地表示两种或两种以上事物的变化情况。
*   **特点:**
    *   纵轴表示数量。
    *   横轴表示时间或其他分类标准。
    *   用不同的折线表示不同的事物。
    *   能清晰地反映数据的变化趋势。
*   **制作:**
    1.  确定纵轴和横轴的含义。
    2.  标出数据点。
    3.  用不同的折线连接数据点。
    4.  标明图例，说明不同折线代表的含义。
*   **分析:** 根据统计图分析数据的变化趋势，并进行简单的预测。

## 四、数学广角——找次品

*   **思路:**  利用天平，通过比较重量找出次品（偏重或偏轻）。
*   **基本方法:**
    1.  将物品平均分成3份(能平均分时)。
    2.  取出两份放在天平两端。
    3.  根据天平的结果，缩小次品的范围。
    4.  重复以上步骤，直到找出次品。
*   **策略:** 尽量将物品平均分成3份，可以减少称量的次数。
*   **结论:** 最优策略通常是将待测物品尽可能分成3份，每次称量都能排除大部分的非次品。

《五年级下思维导图》

一、数与代数

1. 分数

1.1 分数的意义

概念: 将单位“1”平均分成若干份，表示这样一份或几份的数。
分数单位: 把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份的数。例如：1/3 的分数单位是 1/3。
真分数: 分子小于分母的分数。真分数小于1。
假分数: 分子大于或等于分母的分数。假分数大于或等于1。
带分数: 整数和真分数合成的分数。
假分数化成带分数或整数: 分子除以分母，商是整数部分，余数是分子，分母不变。如果分子是分母的倍数，则化成整数。
带分数化成假分数: 整数乘以分母加上分子，作为新的分子，分母不变。
分数的基本性质: 分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数(0除外)，分数的大小不变。
应用: 解释现实情境中的分数，理解分数与除法的关系。

1.2 分数的运算

同分母分数加减法: 分母不变，分子相加减。结果要化成最简分数。
异分母分数加减法: 先通分，变成同分母分数，再按照同分母分数加减法进行计算。结果要化成最简分数。
分数加减混合运算: 按照运算顺序进行计算。有括号先算括号里面的。
简便运算: 运用运算定律进行简便计算（交换律、结合律、分配律）。
分数乘法:
- 分数乘整数: 分子与整数相乘，分母不变。结果要化成最简分数。
- 分数乘分数: 分子乘分子，分母乘分母。结果要化成最简分数。
- 倒数: 乘积是1的两个数互为倒数。1的倒数是1，0没有倒数。
分数除法:
- 分数除以整数: 除以一个数等于乘这个数的倒数。
- 分数除以分数: 除以一个数等于乘这个数的倒数。
混合运算: 先算乘除法，后算加减法。有括号先算括号里面的。
解决问题: 运用分数运算解决实际问题。注意单位“1”的变化，找准对应关系。

1.3 分数与小数的互化

小数化分数: 看是几位小数，就在1后面添几个0做分母，原来的小数去掉小数点做分子，能约分的要约分。
分数化小数: 用分子除以分母。除不尽时，按要求保留几位小数。
能化成有限小数的分数: 分母只含有质因数2和5的分数(最简分数)能化成有限小数。

2. 方程

2.1 方程的意义

概念: 含有未知数的等式叫做方程。
等式: 表示相等关系的式子。
方程与等式的关系: 方程一定是等式，但等式不一定是方程。

2.2 解方程

等式的性质:
- 等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。
- 等式两边同时乘或除以同一个数(0除外)，所得结果仍然是等式。
解方程的方法: 利用等式的性质，使方程两边只剩下一个未知数。
验算: 将求出的未知数的值代入原方程，看方程两边是否相等。

2.3 列方程解决问题

步骤:
1. 找出等量关系。
2. 设未知数为X。
3. 列出方程。
4. 解方程。
5. 检验并写答。
常用等量关系: 和差倍分问题，行程问题，工程问题等。
复杂问题: 灵活运用等量关系，根据题意选择合适的未知数，并列出方程。

二、空间与图形

1. 长方体和正方体

1.1 认识长方体和正方体

长方体:
- 有6个面，每个面一般是长方形（特殊情况下有两个相对的面是正方形）。
- 有12条棱，相对的棱长度相等。
- 有8个顶点。
正方体:
- 有6个完全相同的正方形的面。
- 有12条长度相等的棱。
- 有8个顶点。
关系: 正方体是特殊的长方体。

1.2 表面积

概念: 长方体或正方体6个面的面积之和。
长方体表面积计算公式: S = 2(ab + ah + bh)
正方体表面积计算公式: S = 6a²
特殊情况: 无盖长方体/正方体的表面积计算。

1.3 体积

概念: 物体所占空间的大小。
体积单位: 立方米(m³)、立方分米(dm³)、立方厘米(cm³)。
体积单位换算: 1 m³ = 1000 dm³; 1 dm³ = 1000 cm³; 1 dm³ = 1 升; 1 cm³ = 1 毫升
长方体体积计算公式: V = abh
正方体体积计算公式: V = a³
统一公式: V = Sh (底面积 × 高)

1.4 容积

概念: 容器所能容纳物体的体积。
容积单位: 升(L)、毫升(mL)。
容积的计算方法: 与体积的计算方法相同。
注意: 测量容器的内部长宽高。

三、统计与概率

1. 复式折线统计图

意义: 为了更清楚地表示两种或两种以上事物的变化情况。
特点:
- 纵轴表示数量。
- 横轴表示时间或其他分类标准。
- 用不同的折线表示不同的事物。
- 能清晰地反映数据的变化趋势。
制作:
1. 确定纵轴和横轴的含义。
2. 标出数据点。
3. 用不同的折线连接数据点。
4. 标明图例，说明不同折线代表的含义。
分析: 根据统计图分析数据的变化趋势，并进行简单的预测。

四、数学广角——找次品

思路: 利用天平，通过比较重量找出次品（偏重或偏轻）。
基本方法:
1. 将物品平均分成3份(能平均分时)。
2. 取出两份放在天平两端。
3. 根据天平的结果，缩小次品的范围。
4. 重复以上步骤，直到找出次品。
策略: 尽量将物品平均分成3份，可以减少称量的次数。
结论: 最优策略通常是将待测物品尽可能分成3份，每次称量都能排除大部分的非次品。

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