《初一上数学思维导图》
一、有理数
1.1 概念
- 1.1.1 正数与负数
- 意义：表示具有相反意义的量
- 正数：大于0的数
- 负数：小于0的数，前面必须加“-”
- 0：既不是正数，也不是负数，是正负数的分界点
- 应用：温度、海拔高度、盈亏、收支等
- 1.1.2 有理数
- 定义：整数和分数的统称
- 分类：
- 按定义分：
- 有理数 { 整数 { 正整数, 0, 负整数 }, 分数 { 正分数, 负分数 } }
- 按正负分：
- 有理数 { 正有理数 { 正整数, 正分数 }, 0, 负有理数 { 负整数, 负分数 } }
- 按定义分：
- 注意：有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以是有理数；无限不循环小数不是有理数
1.2 数轴
- 1.2.1 数轴的定义和要素
- 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线
- 要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可
- 1.2.2 数轴的应用
- 表示数：所有有理数都可以用数轴上的点表示
- 比较大小：数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大
- 绝对值的几何意义：数轴上表示数a的点到原点的距离
- 1.2.3 相反数
- 定义：只有符号不同的两个数互为相反数
- 性质：
- a的相反数是-a
- 0的相反数是0
- 互为相反数的两个数的和为0：a + (-a) = 0
- 在数轴上的表示：表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且到原点的距离相等。
1.3 绝对值
- 1.3.1 绝对值的定义
- 代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
- 几何意义：数轴上表示数a的点到原点的距离，记作|a|
- 1.3.2 绝对值的性质
- 非负性：|a| ≥ 0
- |a| = a (当 a ≥ 0)
- |a| = -a (当 a < 0)
- |a - b| 表示数轴上a点和b点之间的距离。
1.4 有理数的运算
- 1.4.1 有理数的加法
- 法则：
- 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加
- 异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值
- 一个数同0相加，仍得这个数
- 运算律：
- 交换律：a + b = b + a
- 结合律：(a + b) + c = a + (b + c)
- 法则：
- 1.4.2 有理数的减法
- 法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数：a - b = a + (-b)
- 1.4.3 有理数的乘法
- 法则：
- 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘
- 任何数同0相乘，都得0
- 运算律：
- 交换律：a × b = b × a
- 结合律：(a × b) × c = a × (b × c)
- 分配律：a × (b + c) = a × b + a × c
- 法则：
- 1.4.4 有理数的除法
- 法则：
- 除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数： a ÷ b = a × (1/b)
- 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除
- 0除以任何非0的数都得0
- 法则：
- 1.4.5 有理数的乘方
- 定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。
- an：a为底数，n为指数，an读作a的n次方
- 正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0
- 1.4.6 混合运算
- 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右；如有括号，先算括号内的，按小括号、中括号、大括号依次进行
- 1.4.7 科学计数法
- 定义：把一个大于10的数表示成a × 10n 的形式，其中 1 ≤ |a| < 10，n是正整数，n等于原数的整数位数减1。
- 1.4.8 近似数和有效数字
- 近似数：与实际数值很接近的数
- 有效数字：从左边第一个不是0的数字起，到末位数字为止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字
二、整式的加减
2.1 整式
- 2.1.1 代数式
- 定义：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。
- 2.1.2 单项式
- 定义：由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式。单独一个数或一个字母也是单项式。
- 系数：单项式中的数字因数
- 次数：单项式中所有字母的指数的和
- 2.1.3 多项式
- 定义：几个单项式的和叫做多项式
- 项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项
- 次数：多项式中次数最高的项的次数
- 2.1.4 整式
- 定义：单项式和多项式统称为整式
2.2 同类项
- 2.2.1 同类项的定义
- 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项
- 常数项都是同类项
- 2.2.2 合并同类项
- 法则：把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变
2.3 整式的加减
- 2.3.1 去括号法则
- 括号前面是“+”号，去掉括号和它前面的“+”号，括号里各项都不改变符号
- 括号前面是“—”号，去掉括号和它前面的“—”号，括号里各项都改变符号
- 2.3.2 整式加减的步骤
- 先去括号
- 再合并同类项
三、一元一次方程
3.1 方程及其解
- 3.1.1 方程的定义
- 定义：含有未知数的等式叫做方程
- 3.1.2 一元一次方程的定义
- 定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1的方程，叫做一元一次方程
- 3.1.3 方程的解
- 定义：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解
- 3.1.4 解方程
- 定义：求方程的解的过程叫做解方程
3.2 等式的性质
- 3.2.1 等式的性质
- 性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等
- 性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等
3.3 解一元一次方程
- 3.3.1 移项
- 定义：把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，叫做移项
- 移项的依据是等式的性质1
- 3.3.2 解一元一次方程的步骤
- 去分母 (方程两边同乘各分母的最小公倍数)
- 去括号 (注意分配律，括号前是“-”号要变号)
- 移项 (把含有未知数的项移到一边，常数项移到另一边)
- 合并同类项 (把方程化成 ax = b 的形式)
- 系数化为1 (方程两边同除以未知数的系数 a )
3.4 一元一次方程的应用
- 3.4.1 列方程解应用题的步骤
- 审题：理解题意，弄清已知条件和未知量以及它们之间的关系
- 设未知数：选择适当的未知数用字母表示，并注明单位
- 列方程：根据题中的等量关系，列出方程
- 解方程：求出方程的解
- 检验：检验求得的解是否符合题意，写出答案（包括单位）
- 3.4.2 常见题型
- 行程问题：路程 = 速度 × 时间
- 工程问题：工作总量 = 工作效率 × 工作时间
- 分配问题：总量 = 各部分之和
- 销售问题：利润 = 售价 - 进价，利润率 = (利润 / 进价) × 100%
- 数字问题：注意数位的表示方法
- 储蓄问题：利息 = 本金 × 利率 × 时间