《五年级下数学思维导图》
一、数与代数
1. 因数与倍数
- 定义:
- 因数：整数a除以整数b(b≠0)除得的商正好是整数而没有余数，我们就说b是a的因数，或称a是b的倍数。
- 倍数：一个数能够被另一数整除，这个数就是另一数的倍数。
- 特征:
- 一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。
- 一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
- 寻找方法:
- 因数：列除法算式，依次除以1, 2, 3...，直到商和除数相同或商比除数小。
- 倍数：依次乘以1, 2, 3...
- 特殊数的因数和倍数:
- 1：只有1个因数，是1。
- 质数：只有1和它本身两个因数。
- 合数：除了1和它本身，还有其他的因数。
- 2、3、5的倍数的特征:
- 2的倍数：个位上是0, 2, 4, 6, 8的数。
- 5的倍数：个位上是0或5的数。
- 3的倍数：各个数位上的数字之和是3的倍数。
- 奇数和偶数:
- 奇数：不是2的倍数，个位是1, 3, 5, 7, 9。
- 偶数：是2的倍数，个位是0, 2, 4, 6, 8。 0是偶数。
2. 质数与合数
- 定义:
- 质数：只有1和它本身两个因数的数。（例：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19...）
- 合数：除了1和它本身，还有其他的因数的数。（例：4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15...）
- 判断方法:
- 根据定义直接判断因数个数。
- 100以内的质数需要熟记。
- 特殊数:
- 1既不是质数，也不是合数。
- 2是唯一的偶数质数。
3. 分数
- 定义: 将单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数。
- 种类:
- 真分数：分子小于分母的分数（小于1）。
- 假分数：分子大于或等于分母的分数（大于或等于1）。
- 带分数：由整数和真分数合成的分数。（大于1）
- 分数与除法的关系: a ÷ b = a/b (b≠0)
- 分数的基本性质: 分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
- 约分: 把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数。
- 最简分数：分子和分母只有公因数1的分数。
- 通分: 把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数。
- 分数的大小比较:
- 同分母分数：分子大的分数大。
- 同分子分数：分母小的分数大。
- 异分母分数：先通分，再比较。
- 分数与小数的互化:
- 小数化分数：看有几位小数，就在1后面添几个0做分母，小数部分作为分子，能约分的要约分。
- 分数化小数：分子除以分母，除不尽的按要求保留几位小数。
- 分数的加减法:
- 同分母分数加减法：分母不变，分子相加减。
- 异分母分数加减法：先通分，再按同分母分数加减法的方法计算。
- 分数的乘除法（六年级内容，可初步了解）
二、图形与几何
1. 长方体和正方体
- 定义:
- 长方体：六个面都是长方形（特殊情况下有两个相对的面是正方形）的立体图形。
- 正方体：六个面都是正方形的立体图形。
- 特征:
- 长方体：有8个顶点，12条棱，6个面。相对的面完全相同，相对的棱长度相等。
- 正方体：有8个顶点，12条棱，6个面。所有的面都是完全相同的正方形，所有的棱长度都相等。
- 表面积:
- 定义：长方体或正方体六个面的总面积。
- 长方体表面积公式：S = 2(ab + ah + bh)
- 正方体表面积公式：S = 6a²
- 体积:
- 定义：物体所占空间的大小。
- 长方体体积公式：V = abh
- 正方体体积公式：V = a³
- 容积:
- 定义：容器所能容纳物体的体积。
- 常用单位：升(L)和毫升(mL)
- 换算关系：1 L = 1000 mL = 1000 cm³ , 1 dm³ = 1 L
- 单位换算:
- 长度单位：km, m, dm, cm, mm
- 面积单位：km², m², dm², cm², mm²
- 体积单位：m³, dm³, cm³ ( mL ) , L
2. 展开图（初步了解）
- 长方体和正方体的展开图： 掌握常见的展开图形式，能根据展开图判断原立体图形。
3. 轴对称图形
- 定义: 如果一个图形沿一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
- 常见的轴对称图形: 线段、角、等腰三角形、等边三角形、长方形、正方形、圆形、等腰梯形等。
- 画对称轴: 找出关键点，做对称点，连线。
4. 平移和旋转
- 平移: 物体或图形沿直线移动，方向和大小没有改变。
- 旋转: 物体或图形绕着一个点或一条直线做圆周运动。
- 旋转三要素：旋转中心，旋转方向（顺时针或逆时针），旋转角度。
三、统计与概率
1. 平均数
- 定义: 一组数据的总和除以这组数据的个数。
- 计算公式: 平均数 = 总数 ÷ 个数
- 应用: 反映一组数据的总体水平。
2. 复式条形统计图
- 作用: 可以清晰地表示两组或多组数据的对比情况。
- 特点: 在同一张统计图上，用不同的颜色或图案表示不同的数据。
四、数学思想方法
- 转化思想: 将复杂的、未知的问题转化为简单的、已知的问题。
- 数形结合思想: 将抽象的数学问题与直观的图形结合起来思考。
- 方程思想: 用字母表示未知数，列方程解决问题。
- 分类讨论思想: 当遇到无法用统一的方法解决的问题时，按照一定的标准进行分类，逐类解决。
- 假设法: 先假设一种情况成立，然后根据假设进行推理，最后得出结论。
五、重要概念补充
- 公因数和最大公因数:
- 公因数：几个数公有的因数。
- 最大公因数：几个数公有的因数中最大的一个。
- 求法：短除法、列举法。
- 公倍数和最小公倍数:
- 公倍数：几个数公有的倍数。
- 最小公倍数：几个数公有的倍数中最小的一个。
- 求法：短除法、列举法。
这仅仅是一个五年级下学期数学的思维导图框架，实际学习中需要根据具体的教材和教学内容进行扩展和细化。每个部分都应该包含更多的例题和练习，以便更好地理解和掌握。