《五年级上册第6单元因数与倍数的思维导图》

中心主题：因数与倍数

一、 基本概念

• 定义：

  • 因数： 如果整数a能被整数b整除（b≠0），那么b就是a的因数，也叫约数。
  • 倍数： 如果整数a能被整数b整除（b≠0），那么a就是b的倍数。
  • 整除： 整数a除以整数b，商是整数且没有余数。

• 表示方法：

  • 例如：12 ÷ 3 = 4，则3是12的因数，12是3的倍数。
  • 也可以说：12是3和4的倍数，3和4是12的因数。

• 特点：

  • 一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。
  • 一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
  • 1是所有非零自然数的因数。
  • 一个数是它本身的最大因数和最小倍数。

二、 寻找因数和倍数的方法

• 寻找因数：

  • 列除法算式： 用这个数依次除以1、2、3…直到商小于或等于除数，所有的除数和商都是这个数的因数。（通常从小到大排列）
    • 例如：12的因数：12 ÷ 1 = 12，12 ÷ 2 = 6，12 ÷ 3 = 4； 所以12的因数有1, 2, 3, 4, 6, 12。
  • 利用乘法算式： 写出所有可以得到这个数的乘法算式，乘法算式中的两个数都是这个数的因数。
    • 例如：12 = 1 × 12，12 = 2 × 6，12 = 3 × 4；所以12的因数有1, 2, 3, 4, 6, 12。

• 寻找倍数：

  • 用这个数依次乘1、2、3…
    • 例如：3的倍数：3 × 1 = 3，3 × 2 = 6，3 × 3 = 9，3 × 4 = 12…… 所以3的倍数有3, 6, 9, 12……

三、 特征数

• 2的倍数（偶数）：

  • 个位是0, 2, 4, 6, 8的数。
  • 所有偶数都是2的倍数。

• 5的倍数：

  • 个位是0或5的数。

• 3的倍数：

  • 各个数位上的数字之和是3的倍数。
  • 例如：123，1+2+3=6，6是3的倍数，所以123是3的倍数。

• 奇数和偶数：

  • 偶数： 2的倍数。 0也是偶数。
  • 奇数： 不是2的倍数。
  • 性质：
    • 偶数 ± 偶数 = 偶数
    • 奇数 ± 奇数 = 偶数
    • 偶数 ± 奇数 = 奇数
    • 偶数 × 偶数 = 偶数
    • 偶数 × 奇数 = 偶数
    • 奇数 × 奇数 = 奇数

四、 质数和合数

• 定义：

  • 质数（素数）： 只有1和它本身两个因数的数。
  • 合数： 除了1和它本身以外，还有其他因数的数。
  • 1既不是质数，也不是合数。

• 判断方法：

  • 质数： 只能被1和本身整除。
  • 合数： 除了1和本身，还能被其他数整除。

• 分解质因数：

  • 定义： 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
  • 方法：
    • 短除法： 用质数依次去除这个合数，直到商是质数为止。
    • 例如：把24分解质因数： 24 = 2 × 2 × 2 × 3。

五、 公因数和公倍数

• 定义：

  • 公因数： 几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。
  • 公倍数： 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。

• 最大公因数和最小公倍数：

  • 最大公因数（GCD）： 几个数公有的因数中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。
  • 最小公倍数（LCM）： 几个数公有的倍数中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。

• 寻找方法：

  • 列举法： 列出每个数的因数或倍数，找出公有的，然后确定最大公因数或最小公倍数。
  • 短除法： 用公有的质因数去除这几个数，直到所得的商互质为止。
    • 最大公因数：所有公有的质因数的乘积。
    • 最小公倍数：所有除数（公有的质因数）和商的乘积。
  • 分解质因数法： 先把这几个数分解质因数，然后：
    • 最大公因数：所有公有的质因数的乘积。
    • 最小公倍数：所有质因数的乘积，公有的质因数取指数最大的。

• 特殊情况：

  • 如果两个数互质（只有公因数1），那么它们的最大公因数是1，最小公倍数是这两个数的乘积。
  • 如果两个数是倍数关系，那么它们的最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。

六、 互质数

• 定义： 公因数只有1的两个数，叫做互质数。
• 判断： 两个数的最大公因数是1，则这两个数互质。
• 常见类型：
  • 两个不同的质数一定是互质数。
  • 1和任何非0自然数都互质。
  • 相邻的两个自然数一定是互质数。
  • 两个数都是合数，也可能互质，例如：8和9。

七、 应用

• 解决实际问题：
  • 分组问题： 通常求最大公因数。 例如：将一些糖果平均分给若干个小朋友，求最多可以分给几个小朋友。
  • 重合问题： 通常求最小公倍数。 例如：两辆公共汽车从同一起点出发，多久以后再次同时回到起点。
  • 铺地砖问题： 通常求最大公因数。 例如：用边长相同的正方形地砖铺长方形地面，求地砖的最大边长。

这份思维导图旨在梳理五年级上册第六单元“因数与倍数”的核心知识点，帮助学生建立清晰的知识体系，并能灵活运用所学知识解决实际问题。 通过对基本概念、寻找方法、特征数、质数合数、公因数公倍数以及互质数的学习，为后续数学学习打下坚实的基础。