《四年级数学思维导图第四单元》

中心主题：运算定律与简便计算

一级分支：加法运算定律

• 分支主题：加法交换律

  • 定义： 两个数相加，交换加数的位置，和不变。
  • 公式： a + b = b + a
  • 举例： 12 + 25 = 25 + 12 = 37
  • 应用场景：
    • 口算：18 + 2 + 8 = 18 + 8 + 2 = 26 + 2 = 28（将能凑成整十数的加数交换位置，更方便计算）
    • 列竖式：验算加法竖式，交换加数的位置再算一遍。
    • 简便计算：56 + 39 + 44 = 56 + 44 + 39 = 100 + 39 = 139

• 分支主题：加法结合律

  • 定义： 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
  • 公式： (a + b) + c = a + (b + c)
  • 举例： (15 + 28) + 12 = 15 + (28 + 12) = 15 + 40 = 55
  • 应用场景：
    • 凑整计算：23 + 17 + 45 = 23 + (17 + 45) = 23 + 62 = 85 (如果将17和45先加，计算较为复杂，不如先算23+17得到整十数)
    • 连续加法：超市购物计算总价时，可以灵活运用结合律。例如买了三件商品，价格分别为25元、15元、30元，可以先算25+15=40元，再加30元，更快速。

• 分支主题：加法运算定律的应用

  • 混合运用： 可以同时使用交换律和结合律，使得计算更加简便。
  • 举例： 48 + 25 + 52 + 75 = (48 + 52) + (25 + 75) = 100 + 100 = 200
  • 注意事项： 要观察数字特征，优先考虑能否凑成整十、整百、整千数。

一级分支：乘法运算定律

• 分支主题：乘法交换律

  • 定义： 两个数相乘，交换因数的位置，积不变。
  • 公式： a × b = b × a
  • 举例： 8 × 25 = 25 × 8 = 200
  • 应用场景：
    • 口算：5 × 17 × 2 = 5 × 2 × 17 = 10 × 17 = 170
    • 验算乘法：乘法竖式验算，交换因数的位置再算一遍。

• 分支主题：乘法结合律

  • 定义： 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。
  • 公式： (a × b) × c = a × (b × c)
  • 举例： (4 × 25) × 7 = 4 × (25 × 7) = 4 × 175 = 700
  • 应用场景：
    • 凑整计算：25 × 13 × 4 = (25 × 4) × 13 = 100 × 13 = 1300
    • 与数量关系结合：比如计算长方体的体积，长、宽、高可以任意组合计算。

• 分支主题：乘法分配律

  • 定义： 两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。
  • 公式： (a + b) × c = a × c + b × c 或 a × c + b × c = (a + b) × c
  • 举例： (12 + 40) × 3 = 12 × 3 + 40 × 3 = 36 + 120 = 156
  • 逆用： 25 × 12 + 25 × 8 = 25 × (12 + 8) = 25 × 20 = 500
  • 变式： (a - b) × c = a × c - b × c 或 a × c - b × c = (a - b) × c
  • 应用场景：
    • 分解数字：102 × 15 = (100 + 2) × 15 = 100 × 15 + 2 × 15 = 1500 + 30 = 1530
    • 统一因数：28 × 36 + 72 × 36 = (28 + 72) × 36 = 100 × 36 = 3600

• 分支主题：乘法运算定律的应用

  • 灵活运用： 结合具体情况，选择合适的运算定律进行简便计算。
  • 注意事项： 认真观察数字特点，判断是否符合运算定律的结构。 优先考虑能够凑成整十、整百、整千的组合。

一级分支：简便计算

• 分支主题：常见凑整数

  • 熟记：
    • 25 × 4 = 100
    • 125 × 8 = 1000
    • 5 × 2 = 10
  • 应用： 在计算中寻找这些组合，优先进行计算。

• 分支主题：减法的性质

  • 性质一： 一个数连续减去两个数，等于减去这两个数的和。
  • 公式： a - b - c = a - (b + c)
  • 举例： 100 - 37 - 63 = 100 - (37 + 63) = 100 - 100 = 0
  • 性质二： 一个数减去两个数的和，等于依次减去这两个数。
  • 公式： a - (b + c) = a - b - c
  • 举例： 256 - (48 + 52) = 256 - 48 - 52 = 256 - 100 = 156

• 分支主题：除法的性质

  • 性质一： 一个数连续除以两个数，等于除以这两个数的积。
  • 公式： a ÷ b ÷ c = a ÷ (b × c)
  • 举例： 420 ÷ 7 ÷ 6 = 420 ÷ (7 × 6) = 420 ÷ 42 = 10
  • 性质二： 一个数除以两个数的积，等于依次除以这两个数。
  • 公式： a ÷ (b × c) = a ÷ b ÷ c
  • 举例： 360 ÷ (9 × 4) = 360 ÷ 9 ÷ 4 = 40 ÷ 4 = 10

• 分支主题：综合运用

  • 注意事项：
    • 观察算式中的数字特点，判断是否能够运用运算定律进行简便计算。
    • 合理使用括号，改变运算顺序。
    • 注意运算符号，避免出错。
    • 验算结果，确保计算正确。

一级分支：解决问题

• 分支主题：实际应用

  • 例题： 学校买了25套课桌椅，每张课桌125元，每把椅子75元，一共花了多少钱？
  • 解法一： 先算一套课桌椅的价格，再算25套的总价。 (125 + 75) × 25 = 200 × 25 = 5000 (元)
  • 解法二： 先算课桌的总价，再算椅子的总价，然后相加。 125 × 25 + 75 × 25 = 3125 + 1875 = 5000 (元)

• 分支主题：策略选择

  • 根据题意选择合适的运算定律： 比如，题目中出现“总共”、“一共”等字眼，可能需要用到加法或乘法的运算定律。
  • 简化计算步骤： 通过运算定律，将复杂的计算转化为简单的计算。
  • 检验答案的合理性： 结合实际情况，判断计算结果是否合理。

总结： 熟练掌握加法、乘法的运算定律及其应用，以及减法和除法的性质，可以使计算更加简便快捷，提高解题效率。在实际应用中，要灵活运用这些知识，选择合适的计算方法，解决实际问题。