数学思维导图五年级上册第6单元

# 《数学思维导图五年级上册第6单元》

## 一、单元概述：多边形的面积

### 1.1 核心概念

*   **面积的意义：** 物体表面或封闭图形的大小。
*   **面积单位：** 平方厘米(cm²)、平方分米(dm²)、平方米(m²)、公顷(ha)、平方千米(km²)。
*   **多边形：** 由三条或三条以上的线段围成的封闭图形。本单元主要研究平行四边形、三角形、梯形的面积。
*   **割补法：** 将不规则图形分割成规则图形，或将规则图形补成更大的规则图形，从而计算面积。

### 1.2 学习目标

*   理解平行四边形、三角形、梯形的面积公式的推导过程。
*   熟练运用公式计算平行四边形、三角形、梯形的面积。
*   能够运用面积公式解决简单的实际问题。
*   掌握割补法等解决复杂图形面积的方法。
*   培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

### 1.3 知识结构总览

mermaid
graph LR
A[多边形的面积] --> B(平行四边形的面积);
A --> C(三角形的面积);
A --> D(梯形的面积);
A --> E(组合图形的面积);
B --> B1[公式：S=底×高];
B --> B2[公式推导：割补法转化为长方形];
C --> C1[公式：S=底×高÷2];
C --> C2[公式推导：两个相同三角形拼成平行四边形];
D --> D1[公式：S=(上底+下底)×高÷2];
D --> D2[公式推导：两个相同梯形拼成平行四边形或分割成平行四边形和三角形];
E --> E1[方法：分割法，补全法];
E --> E2[关键：选择合理的分割或补全方案];

## 二、平行四边形的面积

### 2.1 面积公式

*   **公式：** 面积(S) = 底(a) × 高(h)  ，即 S = ah

### 2.2 公式推导

*   **割补法：**
    1.  沿着平行四边形的高剪开，将平行四边形分割成一个直角三角形和一个梯形。
    2.  将直角三角形平移到另一侧，与梯形组成一个长方形。
    3.  观察：
        *   长方形的面积 = 平行四边形的面积
        *   长方形的长 = 平行四边形的底
        *   长方形的宽 = 平行四边形的高
    4.  因此，平行四边形的面积 = 底 × 高

### 2.3 注意事项

*   必须选择正确的底和对应的高。高必须垂直于底。
*   平行四边形的高有无数条，但计算面积时只能选择一条与已知底对应的。

### 2.4 典型例题

*   例1：一个平行四边形的底是8厘米，高是6厘米，它的面积是多少平方厘米？
    *   解：S = ah = 8 × 6 = 48（平方厘米）
*   例2：一个平行四边形的面积是60平方厘米，底是12厘米，高是多少厘米？
    *   解：h = S ÷ a = 60 ÷ 12 = 5（厘米）

## 三、三角形的面积

### 3.1 面积公式

*   **公式：** 面积(S) = 底(a) × 高(h) ÷ 2  ，即 S = ah ÷ 2

### 3.2 公式推导

*   **方法一：两个相同的三角形拼成平行四边形**
    1.  取两个完全相同的三角形。
    2.  将这两个三角形旋转、平移后拼成一个平行四边形。
    3.  观察：
        *   平行四边形的面积 = 两个三角形的面积
        *   平行四边形的底 = 三角形的底
        *   平行四边形的高 = 三角形的高
    4.  因此，三角形的面积 = 平行四边形的面积 ÷ 2 = 底 × 高 ÷ 2

*   **方法二：分割法（直角三角形）**
    1.  直角三角形可以看作是一个长方形沿着对角线分割成的两部分。
    2.  长方形的面积等于长乘宽，直角三角形的面积是长方形面积的一半。

### 3.3 注意事项

*   必须选择正确的底和对应的高。高必须垂直于底。
*   三角形的高可能在三角形内部、外部或一条边上。
*   计算面积时不要忘记除以2。

### 3.4 典型例题

*   例1：一个三角形的底是10厘米，高是5厘米，它的面积是多少平方厘米？
    *   解：S = ah ÷ 2 = 10 × 5 ÷ 2 = 25（平方厘米）
*   例2：一个三角形的面积是45平方厘米，底是9厘米，高是多少厘米？
    *   解：h = S × 2 ÷ a = 45 × 2 ÷ 9 = 10（厘米）

## 四、梯形的面积

### 4.1 面积公式

*   **公式：** 面积(S) = (上底(a) + 下底(b)) × 高(h) ÷ 2  ，即 S = (a + b)h ÷ 2

### 4.2 公式推导

*   **方法一：两个相同的梯形拼成平行四边形**
    1.  取两个完全相同的梯形。
    2.  将这两个梯形旋转、平移后拼成一个平行四边形。
    3.  观察：
        *   平行四边形的面积 = 两个梯形的面积
        *   平行四边形的底 = 梯形的上底 + 下底
        *   平行四边形的高 = 梯形的高
    4.  因此，梯形的面积 = 平行四边形的面积 ÷ 2 = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2

*   **方法二：分割法**
    1.  将梯形分割成一个平行四边形和一个三角形。
    2.  平行四边形的面积 = 下底 × 高
    3.  三角形的面积 = (上底 - 下底) × 高 ÷ 2
    4.  梯形的面积 = 平行四边形的面积 + 三角形的面积 =  下底 × 高 + (上底 - 下底) × 高 ÷ 2 = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2

### 4.3 注意事项

*   正确识别上底、下底和高。
*   计算时先算上底加下底的和。
*   计算面积时不要忘记除以2。

### 4.4 典型例题

*   例1：一个梯形的上底是5厘米，下底是7厘米，高是4厘米，它的面积是多少平方厘米？
    *   解：S = (a + b)h ÷ 2 = (5 + 7) × 4 ÷ 2 = 24（平方厘米）
*   例2：一个梯形的面积是36平方厘米，上底是4厘米，下底是8厘米，高是多少厘米？
    *   解：h = S × 2 ÷ (a + b) = 36 × 2 ÷ (4 + 8) = 6（厘米）

## 五、组合图形的面积

### 5.1 定义

*   组合图形是由几个简单的图形组合而成的。

### 5.2 计算方法

*   **分割法：** 将组合图形分割成几个简单的图形，分别计算它们的面积，然后加起来。
*   **补全法：** 将组合图形补全成一个大的简单图形，然后减去补上的部分的面积。

### 5.3 关键

*   选择合理的分割或补全方案。
*   要认真分析图形的特点，找到隐藏的条件和已知条件之间的联系。
*   注意计算的准确性。

### 5.4 典型例题

*   例1：一个图形由一个长方形和一个三角形组成。长方形的长是10厘米，宽是6厘米，三角形的底是6厘米，高是4厘米。求这个图形的面积。
    *   解：长方形的面积 = 10 × 6 = 60（平方厘米）
    *   三角形的面积 = 6 × 4 ÷ 2 = 12（平方厘米）
    *   组合图形的面积 = 60 + 12 = 72（平方厘米）

## 六、单位换算

*   1 平方米 (m²) = 100 平方分米 (dm²)
*   1 平方分米 (dm²) = 100 平方厘米 (cm²)
*   1 公顷 (ha) = 10000 平方米 (m²)
*   1 平方千米 (km²) = 100 公顷 (ha) = 1000000 平方米 (m²)

## 七、实际应用

*   计算房间的面积，从而确定需要多少地板砖。
*   计算田地的面积，从而确定产量。
*   计算广告牌的面积，从而确定制作成本。
*   设计花坛、庭院等，计算所需材料的数量。

## 八、总结与反思

*   本单元学习了平行四边形、三角形、梯形的面积公式及其推导过程。
*   掌握了割补法等解决复杂图形面积的方法。
*   能够运用面积公式解决简单的实际问题。
*   需要注意的是，要认真分析图形的特点，选择合适的计算方法，并保证计算的准确性。可以通过多做练习，巩固所学知识。

《数学思维导图五年级上册第6单元》

一、单元概述：多边形的面积

1.1 核心概念

面积的意义： 物体表面或封闭图形的大小。
面积单位： 平方厘米(cm²)、平方分米(dm²)、平方米(m²)、公顷(ha)、平方千米(km²)。
多边形： 由三条或三条以上的线段围成的封闭图形。本单元主要研究平行四边形、三角形、梯形的面积。
割补法： 将不规则图形分割成规则图形，或将规则图形补成更大的规则图形，从而计算面积。

1.2 学习目标

理解平行四边形、三角形、梯形的面积公式的推导过程。
熟练运用公式计算平行四边形、三角形、梯形的面积。
能够运用面积公式解决简单的实际问题。
掌握割补法等解决复杂图形面积的方法。
培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

1.3 知识结构总览

mermaid graph LR A[多边形的面积] --> B(平行四边形的面积); A --> C(三角形的面积); A --> D(梯形的面积); A --> E(组合图形的面积); B --> B1[公式：S=底×高]; B --> B2[公式推导：割补法转化为长方形]; C --> C1[公式：S=底×高÷2]; C --> C2[公式推导：两个相同三角形拼成平行四边形]; D --> D1[公式：S=(上底+下底)×高÷2]; D --> D2[公式推导：两个相同梯形拼成平行四边形或分割成平行四边形和三角形]; E --> E1[方法：分割法，补全法]; E --> E2[关键：选择合理的分割或补全方案];

二、平行四边形的面积

2.1 面积公式

公式： 面积(S) = 底(a) × 高(h) ，即 S = ah

2.2 公式推导

割补法：
1. 沿着平行四边形的高剪开，将平行四边形分割成一个直角三角形和一个梯形。
2. 将直角三角形平移到另一侧，与梯形组成一个长方形。
3. 观察：
  - 长方形的面积 = 平行四边形的面积
  - 长方形的长 = 平行四边形的底
  - 长方形的宽 = 平行四边形的高
4. 因此，平行四边形的面积 = 底 × 高

2.3 注意事项

必须选择正确的底和对应的高。高必须垂直于底。
平行四边形的高有无数条，但计算面积时只能选择一条与已知底对应的。

2.4 典型例题

例1：一个平行四边形的底是8厘米，高是6厘米，它的面积是多少平方厘米？
- 解：S = ah = 8 × 6 = 48（平方厘米）
例2：一个平行四边形的面积是60平方厘米，底是12厘米，高是多少厘米？
- 解：h = S ÷ a = 60 ÷ 12 = 5（厘米）

三、三角形的面积

3.1 面积公式

公式： 面积(S) = 底(a) × 高(h) ÷ 2 ，即 S = ah ÷ 2

3.2 公式推导

方法一：两个相同的三角形拼成平行四边形
1. 取两个完全相同的三角形。
2. 将这两个三角形旋转、平移后拼成一个平行四边形。
3. 观察：
  - 平行四边形的面积 = 两个三角形的面积
  - 平行四边形的底 = 三角形的底
  - 平行四边形的高 = 三角形的高
4. 因此，三角形的面积 = 平行四边形的面积 ÷ 2 = 底 × 高 ÷ 2
方法二：分割法（直角三角形）
1. 直角三角形可以看作是一个长方形沿着对角线分割成的两部分。
2. 长方形的面积等于长乘宽，直角三角形的面积是长方形面积的一半。

3.3 注意事项

必须选择正确的底和对应的高。高必须垂直于底。
三角形的高可能在三角形内部、外部或一条边上。
计算面积时不要忘记除以2。

3.4 典型例题

例1：一个三角形的底是10厘米，高是5厘米，它的面积是多少平方厘米？
- 解：S = ah ÷ 2 = 10 × 5 ÷ 2 = 25（平方厘米）
例2：一个三角形的面积是45平方厘米，底是9厘米，高是多少厘米？
- 解：h = S × 2 ÷ a = 45 × 2 ÷ 9 = 10（厘米）

四、梯形的面积

4.1 面积公式

公式： 面积(S) = (上底(a) + 下底(b)) × 高(h) ÷ 2 ，即 S = (a + b)h ÷ 2

4.2 公式推导

方法一：两个相同的梯形拼成平行四边形
1. 取两个完全相同的梯形。
2. 将这两个梯形旋转、平移后拼成一个平行四边形。
3. 观察：
  - 平行四边形的面积 = 两个梯形的面积
  - 平行四边形的底 = 梯形的上底 + 下底
  - 平行四边形的高 = 梯形的高
4. 因此，梯形的面积 = 平行四边形的面积 ÷ 2 = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2
方法二：分割法
1. 将梯形分割成一个平行四边形和一个三角形。
2. 平行四边形的面积 = 下底 × 高
3. 三角形的面积 = (上底 - 下底) × 高 ÷ 2
4. 梯形的面积 = 平行四边形的面积 + 三角形的面积 = 下底 × 高 + (上底 - 下底) × 高 ÷ 2 = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2

4.3 注意事项

正确识别上底、下底和高。
计算时先算上底加下底的和。
计算面积时不要忘记除以2。

4.4 典型例题

例1：一个梯形的上底是5厘米，下底是7厘米，高是4厘米，它的面积是多少平方厘米？
- 解：S = (a + b)h ÷ 2 = (5 + 7) × 4 ÷ 2 = 24（平方厘米）
例2：一个梯形的面积是36平方厘米，上底是4厘米，下底是8厘米，高是多少厘米？
- 解：h = S × 2 ÷ (a + b) = 36 × 2 ÷ (4 + 8) = 6（厘米）

五、组合图形的面积

5.1 定义

组合图形是由几个简单的图形组合而成的。

5.2 计算方法

分割法： 将组合图形分割成几个简单的图形，分别计算它们的面积，然后加起来。
补全法： 将组合图形补全成一个大的简单图形，然后减去补上的部分的面积。

5.3 关键

选择合理的分割或补全方案。
要认真分析图形的特点，找到隐藏的条件和已知条件之间的联系。
注意计算的准确性。

5.4 典型例题

例1：一个图形由一个长方形和一个三角形组成。长方形的长是10厘米，宽是6厘米，三角形的底是6厘米，高是4厘米。求这个图形的面积。
- 解：长方形的面积 = 10 × 6 = 60（平方厘米）
- 三角形的面积 = 6 × 4 ÷ 2 = 12（平方厘米）
- 组合图形的面积 = 60 + 12 = 72（平方厘米）

六、单位换算

1 平方米 (m²) = 100 平方分米 (dm²)
1 平方分米 (dm²) = 100 平方厘米 (cm²)
1 公顷 (ha) = 10000 平方米 (m²)
1 平方千米 (km²) = 100 公顷 (ha) = 1000000 平方米 (m²)

七、实际应用

计算房间的面积，从而确定需要多少地板砖。
计算田地的面积，从而确定产量。
计算广告牌的面积，从而确定制作成本。
设计花坛、庭院等，计算所需材料的数量。

八、总结与反思

本单元学习了平行四边形、三角形、梯形的面积公式及其推导过程。
掌握了割补法等解决复杂图形面积的方法。
能够运用面积公式解决简单的实际问题。
需要注意的是，要认真分析图形的特点，选择合适的计算方法，并保证计算的准确性。可以通过多做练习，巩固所学知识。

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