《二次函数思维导图手抄报十道例题》
一、思维导图
mermaid graph TD A[二次函数] --> B(定义与一般形式); A --> C(图像与性质); A --> D(与一元二次方程的关系); A --> E(应用);
B --> B1(定义:形如y=ax²+bx+c (a≠0));
B --> B2(一般形式:y=ax²+bx+c);
B --> B3(顶点式:y=a(x-h)²+k);
B --> B4(交点式:y=a(x-x₁)(x-x₂));
C --> C1(开口方向:a>0向上,a<0向下);
C --> C2(顶点坐标:(-b/2a, (4ac-b²)/4a));
C --> C3(对称轴:x=-b/2a);
C --> C4(最值:a>0有最小值,a<0有最大值);
C --> C5(增减性:对称轴两侧单调性相反);
C --> C6(与y轴交点:(0,c));
C --> C7(与x轴交点: Δ>0两个交点, Δ=0一个交点, Δ<0无交点);
D --> D1(Δ=b²-4ac);
D --> D2(根的判别式:Δ>0有两个不相等的实数根, Δ=0有两个相等的实数根, Δ<0无实数根);
D --> D3(韦达定理:x₁+x₂=-b/a, x₁x₂=c/a);
E --> E1(解决实际问题);
E --> E2(求最值问题);
E --> E3(存在性问题);
E --> E4(综合问题);二、例题详解
例题1： 已知二次函数y = x² - 2x - 3。
(1) 求该二次函数的顶点坐标和对称轴；
(2) 求该二次函数与x轴和y轴的交点坐标；
(3) 当x为何值时，y>0？
解：
(1) 顶点坐标：将函数配方得y = (x-1)² - 4，所以顶点坐标为(1, -4)，对称轴为x = 1。
(2) 与y轴交点：令x = 0，得y = -3，所以交点坐标为(0, -3)。
与x轴交点：令y = 0，则x² - 2x - 3 = 0，解得x₁ = 3，x₂ = -1，所以交点坐标为(3, 0)和(-1, 0)。
(3) y>0，即x² - 2x - 3 > 0，解得x > 3或x < -1。
例题2： 已知二次函数的图像经过点(0, 1), (1, 2), (2, 1)，求该二次函数的解析式。
解： 设二次函数解析式为y = ax² + bx + c。将三个点的坐标代入，得到方程组：
{c = 1
a + b + c = 2
4a + 2b + c = 1
解得a = -1，b = 2，c = 1。所以二次函数解析式为y = -x² + 2x + 1。
例题3： 已知二次函数y = ax² + bx + c的图像如图所示，判断a，b，c的符号。
（此处省略图示，假设图像开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴交点在x轴上方）
解： 由图像可知，开口向下，所以a < 0。
对称轴在y轴右侧，所以-b/2a > 0，因为a < 0，所以b > 0。
与y轴交点在x轴上方，所以c > 0。
综上，a < 0，b > 0，c > 0。
例题4： 求函数y = x² - 4x + 5的最小值。
解： 将函数配方得y = (x-2)² + 1。因为(x-2)² ≥ 0，所以y ≥ 1。当x = 2时，y取得最小值1。
例题5： 若二次函数y = mx² + (m - 3)x + 1的图像与x轴只有一个交点，求m的值。
解： 图像与x轴只有一个交点，则Δ = 0。所以(m-3)² - 4m = 0，解得m² - 10m + 9 = 0，解得m = 1或m = 9。当m=0时，原函数退化为一次函数，与x轴只有一个交点。所以需要分类讨论。当m≠0时，m=1或9；当m=0时，y=-3x+1也满足题意，此时m=0不符合二次函数的定义，舍去。
所以m = 1或m = 9。
例题6： 已知二次函数y = x² - (k + 2)x + 2k。
(1) 求证：不论k为何值，该二次函数的图像与x轴总有两个交点；
(2) 若二次函数的图像与x轴的两个交点分别为A(x₁, 0)和B(x₂, 0)，且x₁² + x₂² = 5，求k的值。
解：
(1) Δ = (k + 2)² - 8k = k² - 4k + 4 = (k - 2)² ≥ 0。当k=2时，Δ=0，有一个交点，但是当k≠2时，Δ>0，总有两个交点。因此，分类讨论。
当k=2时，Δ=0，所以图像与x轴有一个交点。 当k≠2时，Δ>0，所以图像与x轴有两个交点。
题目要求证明总有两个交点，则Δ应恒大于等于0，这里有一个坑。实际上题目应该改为“求证：不论k为何值，该二次函数的图像与x轴至少有一个交点。”证明如下：
Δ = (k + 2)² - 8k = k² - 4k + 4 = (k - 2)² ≥ 0。 所以不论k为何值，该二次函数的图像与x轴至少有一个交点。
(2) 由韦达定理可知，x₁ + x₂ = k + 2，x₁x₂ = 2k。
x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ = (k + 2)² - 4k = k² + 4k + 4 - 4k = k² + 4 = 5。
解得k² = 1，所以k = 1或k = -1。
例题7： 在平面直角坐标系中，抛物线y = x² - 2mx + m² - 1与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C。
(1) 求证：抛物线与x轴一定有两个交点；
(2) 若抛物线的对称轴为x = 2，求A，B两点的坐标。
解：
(1) Δ = (-2m)² - 4(m² - 1) = 4m² - 4m² + 4 = 4 > 0。 所以抛物线与x轴一定有两个交点。
(2) 对称轴x = -(-2m) / 2 = m = 2。所以抛物线解析式为y = x² - 4x + 3。
令y = 0，则x² - 4x + 3 = 0，解得x₁ = 1，x₂ = 3。 所以A(1, 0)，B(3, 0)。
例题8： 某工厂计划生产一批产品，经市场调研发现，产品的日销售量y(件)与销售单价x(元)之间存在如下关系：y = -2x + 80 (20 ≤ x ≤ 40)。设该工厂生产每件产品的成本为20元。
(1) 求出该工厂每日的销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；
(2) 当销售单价定为多少元时，工厂每日获得的销售利润最大？最大利润是多少？
解：
(1) w = (x - 20)y = (x - 20)(-2x + 80) = -2x² + 120x - 1600。
(2) w = -2(x² - 60x + 800) = -2(x - 30)² + 200。 当x = 30时，w取得最大值200。 所以当销售单价定为30元时，工厂每日获得的销售利润最大，最大利润是200元。
例题9： 已知二次函数y = ax² + bx + c (a≠0)的图像经过点(1, 0)和(0, -3)，且对称轴为直线x = 2。 求二次函数的解析式。
解： 因为对称轴为直线x = 2，所以-b/2a = 2，即b = -4a。
又因为图像经过点(1, 0)和(0, -3)，所以：
{a + b + c = 0
c = -3
将b = -4a和c = -3代入第一个方程，得a - 4a - 3 = 0，解得a = -1。
所以b = -4a = 4。
因此，二次函数解析式为y = -x² + 4x - 3。
例题10： 已知关于x的方程x² - 2(m + 1)x + m² + 2 = 0。
(1) 若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
(2) 若方程的两个实数根分别为x₁和x₂，且满足x₁² + x₂² = 4，求m的值。
解：
(1) Δ = [ -2(m + 1) ]² - 4(m² + 2) = 4(m² + 2m + 1) - 4m² - 8 = 8m - 4 > 0。
解得m > 1/2。
(2) 由韦达定理可知，x₁ + x₂ = 2(m + 1)，x₁x₂ = m² + 2。
x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ = [2(m + 1)]² - 2(m² + 2) = 4(m² + 2m + 1) - 2m² - 4 = 2m² + 8m = 4。
解得m² + 4m - 2 = 0，解得m = (-4 ± √(16 + 8)) / 2 = (-4 ± √24) / 2 = -2 ± √6。
因为m > 1/2，所以m = -2 + √6。