《五年级上册 数学思维导图1~7单元》

单元一：小数乘法

• 概念及意义:
  • 小数乘整数：表示几个相同的小数的和的简便运算。
  • 小数乘小数：表示一个数的几分之几是多少。
  • 理解积的意义：积的大小变化取决于乘数的大小关系，乘数大于1，积大于被乘数；乘数小于1，积小于被乘数。
• 计算方法:
  • 列竖式计算：注意小数点对齐问题（实际上是将小数看作整数进行计算，最后再确定小数点位置）。
  • 确定小数点位置：数出两个乘数中小数位数之和，从积的右边起数出相应的位数，点上小数点。
  • 积的近似数：用“四舍五入”法，精确到哪一位，就看下一位。
• 简便计算:
  • 乘法交换律：a × b = b × a
  • 乘法结合律：(a × b) × c = a × (b × c)
  • 乘法分配律：(a + b) × c = a × c + b × c 或 a × (b + c) = a × b + a × c
  • 灵活运用拆分、凑整等方法。 例如: 2.5 × 1.04 = 2.5 × (1 + 0.04)
• 解决问题:
  • 涉及单价、数量、总价的问题。
  • 涉及行程问题，例如：速度 × 时间 = 路程。
  • 生活中的实际问题，需要灵活运用小数乘法的知识解决。

单元二：小数除法

• 概念及意义:
  • 小数除以整数：按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐。如果除到末尾仍有余数，就在余数后面添0继续除。
  • 整数除以小数：先把除数转化为整数，再按照除数是整数的除法进行计算。
  • 小数除以小数：先把除数转化为整数，同时将被除数扩大相同的倍数，再按照除数是整数的除法进行计算。
• 计算方法:
  • 商不变的性质：被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），商不变。
  • 循环小数：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。
  • 循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。
  • 有限小数：小数部分的位数是有限的小数。
  • 无限小数：小数部分的位数是无限的小数。
• 商的近似数:
  • 用“四舍五入”法取商的近似值。
  • 根据实际情况选择保留位数，例如：钱数通常保留两位小数，表示“元”和“角”。
• 解决问题:
  • 涉及单价、数量、总价的问题。
  • 涉及平均数的问题。
  • 生活中的实际问题，例如：分段计费问题。

单元三：观察物体（三）

• 观察角度与形状:
  • 从不同角度观察同一物体，看到的形状可能不同。
  • 根据给定的图形，判断是从哪个方向观察到的。
  • 利用正方体、长方体等模型进行观察和验证。
• 组合图形的辨认:
  • 辨认由多个简单物体组合而成的复杂物体。
  • 想象和推理被遮挡的部分。
• 空间想象能力培养:
  • 培养空间想象能力，能够在头脑中构建物体的三维图像。
  • 利用画图等辅助手段帮助理解。

单元四：简易方程

• 用字母表示数:
  • 用字母表示数可以简明地表达数量关系。
  • 注意书写规范，例如：乘号通常省略，但数字与字母相乘时，数字写在字母前面。
• 方程的意义:
  • 含有未知数的等式叫做方程。
  • 等式两边相等是方程的核心特征。
• 等式的性质:
  • 等式两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。
  • 等式两边同时乘或除以同一个数（0除外），左右两边仍然相等。
• 解方程:
  • 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
  • 求方程的解的过程叫做解方程。
  • 运用等式的性质解方程，注意每一步都要保证等式两边相等。
• 列方程解决问题:
  • 找准等量关系：分析题目中的已知条件和未知条件，找出数量之间的相等关系。
  • 设未知数：通常设所求的未知数为x。
  • 列方程：根据等量关系列出方程。
  • 解方程：求出方程的解。
  • 检验：将求得的解代入原题进行检验，看是否符合题意。
• 常见的数量关系式:
  • 总价 = 单价 × 数量
  • 路程 = 速度 × 时间
  • 工作总量 = 工作效率 × 工作时间

单元五：多边形的面积

• 平行四边形的面积:
  • 平行四边形的面积 = 底 × 高 (S = ah)
  • 推导过程：通过割补法将平行四边形转化为长方形，利用长方形面积公式推导。
• 三角形的面积:
  • 三角形的面积 = 底 × 高 ÷ 2 (S = ah ÷ 2)
  • 推导过程：将两个完全相同的三角形拼成一个平行四边形，利用平行四边形面积公式推导。
• 梯形的面积:
  • 梯形的面积 = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2 (S = (a + b)h ÷ 2)
  • 推导过程：将两个完全相同的梯形拼成一个平行四边形，利用平行四边形面积公式推导。
• 组合图形的面积:
  • 将组合图形分解成已学过的简单图形，例如：长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等。
  • 分别计算各简单图形的面积，然后相加或相减。
• 不规则图形的面积:
  • 利用方格纸估算不规则图形的面积。
  • 将不规则图形近似地看作规则图形进行计算。

单元六：统计与可能性

• 可能性的大小:
  • 可能性的大小与事件发生的可能性有关。
  • 等可能事件：每个事件发生的可能性相同。
  • 可能性大小的比较：事件包含的结果越多，发生的可能性越大；事件包含的结果越少，发生的可能性越小。
• 公平性判断:
  • 判断游戏规则是否公平，关键是看每个参与者获胜的可能性是否相同。
  • 设计公平的游戏规则。
• 简单事件的概率:
  • 概率 = 有利情况数 / 总情况数

单元七：数学广角——植树问题

• 植树问题类型:
  • 两端都栽：棵数 = 间隔数 + 1
  • 一端栽，一端不栽：棵数 = 间隔数
  • 两端都不栽：棵数 = 间隔数 - 1
  • 封闭图形：棵数 = 间隔数
• 解题关键:
  • 理解间隔、棵数、总长之间的关系。
  • 根据实际情况选择合适的公式。
• 变式问题:
  • 不仅仅是植树，还可以是路灯、广告牌等的安装问题，本质相同。

以上为五年级上册数学1-7单元的思维导图概要，每个小点都可以继续细化，方便理解和记忆。