《整式加减乘除思维导图》

I. 整式

A. 定义

1. 单项式：
   • 系数：数字因数（包括符号）
   • 次数：所有字母的指数和
   • 单独一个数或一个字母也是单项式
2. 多项式：
   • 项：多项式中每个单项式
   • 常数项：不含字母的项
   • 次数：最高次项的次数
   • 多项式没有系数
3. 整式：单项式和多项式的统称

B. 同类项

1. 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项
2. 合并同类项：
   • 法则：系数相加，字母及字母的指数不变
   • 步骤：找（找同类项），移（将同类项移到一起，注意符号），并（合并同类项），查（检查是否合并干净）

II. 整式的加减

A. 本质：合并同类项

B. 法则

1. 去括号：
   • 括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变号
   • 括号前是“−”号，把括号和它前面的“−”号去掉，括号里各项都变号
2. 合并同类项

C. 步骤

1. 先去括号
2. 找同类项
3. 合并同类项
4. 化简求值（如果需要）

D. 注意事项

1. 注意去括号时的符号变化
2. 合并同类项时，只合并系数，字母及字母的指数不变
3. 化简结果要最简

III. 整式的乘法

A. 单项式乘单项式

1. 法则：系数相乘，相同字母相乘，不同字母照抄
2. 注意：系数包括符号；相同字母相乘用同底数幂的乘法；结果仍是单项式

B. 单项式乘多项式

1. 法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加
   • m(a+b+c) = ma + mb + mc
2. 注意：
   • 不要漏乘
   • 注意符号
   • 结果是多项式

C. 多项式乘多项式

1. 法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加
   • (a+b)(m+n) = am + an + bm + bn
2. 注意：
   • 不要漏乘
   • 注意符号
   • 合并同类项，结果要最简

D. 乘法公式

1. 平方差公式：(a+b)(a-b) = a² - b²
   • 特征：两数和与这两数差的积
   • 结果：这两数的平方差
2. 完全平方公式：(a+b)² = a² + 2ab + b²; (a-b)² = a² - 2ab + b²
   • 特征：两数和（或差）的平方
   • 结果：这两数的平方和加上（或减去）这两数积的二倍

E. 幂的运算性质

1. 同底数幂的乘法：aᵐ * aⁿ = aᵐ⁺ⁿ (m, n 为正整数)
2. 幂的乘方：(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ (m, n 为正整数)
3. 积的乘方：(ab)ⁿ = aⁿbⁿ (n 为正整数)

IV. 整式的除法

A. 同底数幂的除法

1. 法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减
   • aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (a≠0, m, n 为正整数, m>n)
2. 规定：a⁰ = 1 (a≠0); a⁻ᵖ = 1/aᵖ (a≠0, p为正整数)

B. 单项式除以单项式

1. 法则：系数相除，相同字母相除，只在被除式里的字母照抄
2. 注意：系数包括符号；相同字母相除用同底数幂的除法；结果仍是单项式

C. 多项式除以单项式

1. 法则：先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加
   • (am+bm+cm) ÷ m = a + b + c (m≠0)
2. 注意：不要漏除；注意符号

D. 注意事项

1. 除数不能为零
2. 先确定符号
3. 结果要最简

V. 因式分解（可选，视教学大纲而定）

A. 定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式。

B. 方法

1. 提公因式法
   • 步骤：找公因式，提公因式
2. 公式法
   • 平方差公式：a² - b² = (a+b)(a-b)
   • 完全平方公式：a² + 2ab + b² = (a+b)²; a² - 2ab + b² = (a-b)²

C. 注意事项

1. 分解要彻底
2. 检查是否分解正确

VI. 应用

A. 几何图形面积/体积计算

B. 数字规律探索

C. 代数式化简求值

D. 解决实际问题

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