《整式的乘除思维导图八上》

一、幂的运算

1.1 同底数幂的乘法

• 概念: am · an = am+n (m,n都是正整数)
• 理解: 底数不变，指数相加
• 推广: am · an · ap = am+n+p (m,n,p都是正整数)
• 注意:
  • 底数相同
  • 乘法运算
  • 指数相加
• 例题:
  • 计算: a² · a³ = a⁵
  • 计算: x · x² · x³ = x⁶
  • (-2)³ · (-2)² = (-2)⁵ = -32

1.2 幂的乘方

• 概念: (am)n = amn (m,n都是正整数)
• 理解: 底数不变，指数相乘
• 注意:
  • 幂的乘方
  • 指数相乘
• 例题:
  • 计算: (a²)³ = a⁶
  • 计算: (x⁴)⁵ = x²⁰
  • [(-3)²]³ = (-3)⁶ = 729

1.3 积的乘方

• 概念: (ab)n = anbn (n是正整数)
• 理解: 将积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘
• 注意:
  • 积的乘方
  • 每个因式都要乘方
• 例题:
  • 计算: (2a)³ = 2³a³ = 8a³
  • 计算: (-3x²)² = (-3)²(x²)² = 9x⁴
  • (ab²)³ = a³(b²)³ = a³b⁶

1.4 同底数幂的除法

• 概念: am ÷ an = am-n (a≠0, m,n都是正整数，且m>n)
• 理解: 底数不变，指数相减
• 规定: a⁰ = 1 (a≠0)
• 负整数指数幂: a⁻ⁿ = 1/an (a≠0, n是正整数)
• 注意:
  • 底数相同
  • 除法运算
  • 指数相减
  • 底数不能为0
• 例题:
  • 计算: a⁵ ÷ a² = a³
  • 计算: x⁸ ÷ x⁵ = x³
  • 5⁰ = 1
  • (1/2)⁻² = 2² = 4

二、整式的乘法

2.1 单项式乘以单项式

• 法则: 把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式
• 步骤:
  • 系数相乘
  • 同底数幂相乘
  • 单独的字母连同指数照抄
• 例题:
  • (2x²) · (3x³) = 6x⁵
  • (-5a²) · (4ab) = -20a³b
  • (1/2xy) · (6x²y³) = 3x³y⁴

2.2 单项式乘以多项式

• 法则: 用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加
• 公式: m(a+b+c) = ma + mb + mc
• 步骤:
  • 单项式乘以多项式的每一项
  • 把所得的积相加
• 注意:
  • 符号问题
  • 不漏乘
• 例题:
  • 2x(x² + 3x - 1) = 2x³ + 6x² - 2x
  • -3a(2a - 5b + c) = -6a² + 15ab - 3ac

2.3 多项式乘以多项式

• 法则: 先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加
• 公式: (a+b)(m+n) = am + an + bm + bn
• 步骤:
  • 一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项
  • 把所得的积相加
• 注意:
  • 符号问题
  • 不漏乘
  • 合并同类项
• 例题:
  • (x+2)(x+3) = x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6
  • (a-1)(a+2) = a² + 2a - a - 2 = a² + a - 2

三、乘法公式

3.1 平方差公式

• 公式: (a+b)(a-b) = a² - b²
• 理解: 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差
• 特点:
  • 形式：(a+b)(a-b)
  • 结果：a² - b²
• 例题:
  • (x+3)(x-3) = x² - 9
  • (2a+1)(2a-1) = (2a)² - 1² = 4a² - 1

3.2 完全平方公式

• 公式: (a+b)² = a² + 2ab + b² 和 (a-b)² = a² - 2ab + b²
• 理解: 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们的积的2倍
• 特点:
  • 形式：(a+b)² 或 (a-b)²
  • 结果：a² + 2ab + b² 或 a² - 2ab + b²
• 例题:
  • (x+2)² = x² + 2(x)(2) + 2² = x² + 4x + 4
  • (y-3)² = y² - 2(y)(3) + 3² = y² - 6y + 9

四、整式的除法

4.1 单项式除以单项式

• 法则: 把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式
• 步骤:
  • 系数相除
  • 同底数幂相除
  • 单独的字母连同指数照抄
• 例题:
  • (6x⁵) ÷ (2x²) = 3x³
  • (12a³b) ÷ (4a²) = 3ab
  • (-15x²y³) ÷ (3xy) = -5xy²

4.2 多项式除以单项式

• 法则: 先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加
• 步骤:
  • 多项式的每一项分别除以单项式
  • 把所得的商相加
• 注意:
  • 符号问题
  • 每一项都要除
• 例题:
  • (4x³ + 6x²) ÷ (2x) = 2x² + 3x
  • (10a²b - 5ab²) ÷ (5ab) = 2a - b

五、因式分解 （补充内容，虽然不在八上教材中，但关联密切）

5.1 定义

• 把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫分解因式。
• 理解: 与整式乘法是互逆运算

5.2 常用方法

• 提公因式法:
  • 确定公因式
  • 提取公因式
  • 例: ax + ay = a(x + y)
• 运用公式法:
  • 平方差公式: a² - b² = (a + b)(a - b)
  • 完全平方公式: a² + 2ab + b² = (a + b)² 和 a² - 2ab + b² = (a - b)²

六、总结

整式的乘除法运算是代数学习的基础，需要熟练掌握幂的运算、整式的乘法、乘法公式和整式的除法，并灵活运用。因式分解是逆向思维的应用，与整式乘法互为逆运算。理解这些概念和公式，并进行大量的练习，才能真正掌握这些知识。