《六年级数学上册思维导图全册》

第一单元：分数乘法

• 思维导图总览

  • 中心主题：分数乘法
  • 分支：
    • 分数乘整数
    • 分数乘分数
    • 倒数的认识
    • 分数混合运算
    • 解决问题（求一个数的几分之几）

• 分支详解

  • 分数乘整数

    • 概念： 求几个相同分数的和的简便运算。
    • 计算方法： 分子与整数相乘的积作分子，分母不变。能约分的先约分，再计算，结果要化简成最简分数。
    • 举例： 1/3 × 5 = 5/3 = 1 2/3
    • 注意点： 整数可以看作分母是1的分数，方便理解约分。

  • 分数乘分数

    • 概念： 求一个数的几分之几是多少。
    • 计算方法： 分子乘分子作分子，分母乘分母作分母。能约分的先约分，再计算，结果要化简成最简分数。
    • 举例： 1/2 × 2/3 = 1/3
    • 注意点： 约分时只能分子和分母约分，不能分子和分子、分母和分母约分。

  • 倒数的认识

    • 概念： 乘积是1的两个数互为倒数。
    • 求法：
      • 分数：把分子、分母颠倒位置。
      • 整数：看作分母是1的分数，再颠倒。
      • 小数：先化成分数，再颠倒。
      • 1的倒数是1，0没有倒数。
    • 举例： 3/4的倒数是4/3，5的倒数是1/5。
    • 注意点： 倒数是对两个数来说的，不能单独说某个数是倒数。

  • 分数混合运算

    • 运算顺序： 与整数混合运算顺序相同，先乘除后加减，有括号的先算括号里面的。
    • 运算定律： 整数的运算定律同样适用于分数混合运算，例如乘法交换律、结合律、分配律。
    • 举例： 1/2 + 1/3 × 2/5 = 1/2 + 2/15 = 19/30
    • 技巧： 运用运算定律进行简便计算。

  • 解决问题（求一个数的几分之几）

    • 关键： 找到单位“1”，确定是求单位“1”的几分之几。
    • 方法： 单位“1”的量 × 对应的分率 = 所求的量
    • 举例： 某班有40人，其中1/4是女生，求女生有多少人。 40 × 1/4 = 10（人）
    • 注意点： 区分“多/少”问题。如果题目说比XX多/少几分之几，要先确定是多了/少了谁的几分之几。

第二单元：位置与方向（二）

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  • 中心主题：位置与方向（二）
  • 分支：
    • 方向的描述
    • 距离的确定
    • 简单路线图的描述与绘制

• 分支详解

  • 方向的描述

    • 基本方向： 东、南、西、北。
    • 中间方向： 东北、东南、西北、西南。
    • 角度描述： 以正北或正南方向为基准，用度数表示方向的偏移量。例如：北偏东30°，南偏西45°。
    • 确定观测点： 描述方向时，必须明确观测点。
    • 举例： 小明站在学校，看到图书馆在学校北偏东30°的方向。

  • 距离的确定

    • 比例尺： 图上距离与实际距离的比。 例如：1:10000
    • 计算方法：
      • 实际距离 = 图上距离 ÷ 比例尺
      • 图上距离 = 实际距离 × 比例尺
    • 单位换算： 注意统一单位，通常将千米(km)换算成米(m)，或者厘米(cm)。
    • 举例： 在比例尺是1:50000的地图上，两地距离是5厘米，实际距离是多少千米？ 5 cm ÷ (1/50000) = 250000 cm = 2.5 km

  • 简单路线图的描述与绘制

    • 描述方法： 按照行走顺序，依次描述每个路段的方向和距离。
    • 绘制方法：
      • 确定起始点和终点。
      • 根据描述的方向和距离，用线段连接各个地点。
      • 标明方向和距离。
    • 举例： 从学校出发，先向东走200米，再向北偏西40°走150米到达书店。
    • 注意点： 准确测量角度和距离，保持比例。

第三单元：分数除法

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  • 中心主题：分数除法
  • 分支：
    • 分数除以整数
    • 整数除以分数
    • 分数除以分数
    • 分数混合运算
    • 解决问题（已知一个数的几分之几是多少，求这个数）

• 分支详解

  • 分数除以整数

    • 计算方法： 除以一个整数等于乘这个整数的倒数。
    • 公式： a/b ÷ c = a/b × 1/c
    • 举例： 2/3 ÷ 4 = 2/3 × 1/4 = 1/6
    • 注意点： 能约分的先约分。

  • 整数除以分数

    • 计算方法： 除以一个分数等于乘这个分数的倒数。
    • 公式： a ÷ b/c = a × c/b
    • 举例： 5 ÷ 2/3 = 5 × 3/2 = 15/2 = 7 1/2
    • 注意点： 整数可以看作分母是1的分数。

  • 分数除以分数

    • 计算方法： 除以一个分数等于乘这个分数的倒数。
    • 公式： a/b ÷ c/d = a/b × d/c
    • 举例： 1/2 ÷ 3/4 = 1/2 × 4/3 = 2/3
    • 注意点： 牢记“除以一个数等于乘这个数的倒数”。

  • 分数混合运算

    • 运算顺序： 与整数混合运算顺序相同，先乘除后加减，有括号的先算括号里面的。
    • 运算定律： 整数的运算定律同样适用于分数混合运算。
    • 举例： (1/2 + 1/3) ÷ 5/6 = 5/6 ÷ 5/6 = 1
    • 技巧： 灵活运用运算定律进行简便计算。

  • 解决问题（已知一个数的几分之几是多少，求这个数）

    • 关键： 找到单位“1”，确定是已知部分求整体。
    • 方法： 已知部分 ÷ 对应的分率 = 单位“1”的量
    • 方程法： 设单位“1”的量为x，列方程求解。
    • 举例： 某数的2/3是20，求这个数。 20 ÷ 2/3 = 30 或 设这个数为x， (2/3)x = 20， x = 30
    • 注意点： 区分与分数乘法解决问题的不同，确定是已知部分还是已知整体。

第四单元：比

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  • 中心主题：比
  • 分支：
    • 比的意义
    • 比的基本性质
    • 化简比
    • 比的应用（按比例分配）

• 分支详解

  • 比的意义

    • 概念： 两个数相除又叫做两个数的比。
    • 表示方法： a:b (a在前，b在后)
    • 读作： a比b
    • 各部分名称： a是比的前项，b是比的后项，比值是 a ÷ b 的结果。
    • 注意点： 比的前项和后项可以交换位置，但比值会改变。

  • 比的基本性质

    • 性质： 比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。
    • 应用： 化简比和求比值。
    • 举例： 2:3 = (2×2):(3×2) = 4:6

  • 化简比

    • 概念： 把比化成最简整数比。
    • 方法：
      • 整数比：用前项和后项的最大公因数同时除以它们。
      • 分数比：先通分，再去掉分母；或者同时乘以后项的最小公倍数。
      • 小数比：先化成整数比，再化简。
    • 举例： 12:18 = (12÷6):(18÷6) = 2:3， 1/2:1/3 = 3:2
    • 注意点： 化简后的比必须是最简整数比。

  • 比的应用（按比例分配）

    • 概念： 把一个数量按照一定的比进行分配。
    • 方法：
      • 先求出总份数。
      • 再求出每份数。
      • 最后求出各部分对应的量。
    • 公式： 各部分所占份数 ÷ 总份数 × 总数量 = 各部分对应的量
    • 举例： 把100个苹果按2:3的比例分给甲乙两人，甲分得多少个？ (2/(2+3)) × 100 = 40(个)
    • 注意点： 理解比例的意义，找准总数量和各部分所占的份数。

第五单元：圆

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  • 中心主题：圆
  • 分支：
    • 圆的认识
    • 圆的周长
    • 圆的面积

• 分支详解

  • 圆的认识

    • 概念： 圆是由曲线围成的封闭图形。
    • 圆心(O)： 圆中心一点，确定圆的位置。
    • 半径(r)： 连接圆心和圆上任意一点的线段，确定圆的大小。
    • 直径(d)： 通过圆心并且两端都在圆上的线段。
    • 关系： d = 2r
    • 特性：
      • 在同一个圆里，所有的半径都相等，所有的直径都相等。
      • 圆有无数条对称轴。

  • 圆的周长

    • 概念： 圆一周的长度。
    • 公式：
      • C = πd
      • C = 2πr
    • π（圆周率）： 圆的周长与直径的比值，是一个无限不循环小数，通常取3.14。
    • 举例： 半径为5cm的圆，周长是多少？ C = 2 × 3.14 × 5 = 31.4 cm

  • 圆的面积

    • 概念： 圆所占平面的大小。
    • 公式： S = πr²
    • 推导过程： 将圆分割成若干等份，拼成近似的长方形，长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径。
    • 举例： 半径为5cm的圆，面积是多少？ S = 3.14 × 5² = 78.5 cm²
    • 组合图形的面积： 将组合图形分解成基本图形（圆、长方形、正方形、三角形等），分别计算面积，再进行加减。
    • 环形面积： 大圆面积 - 小圆面积 = πR² - πr² = π(R² - r²)

第六单元：百分数

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  • 中心主题：百分数
  • 分支：
    • 百分数的意义
    • 百分数与分数、小数的互化
    • 百分数的应用（求百分率）
    • 百分数的应用（求增加或减少的百分数）
    • 百分数的应用（折扣、成数、税率、利率）

• 分支详解

  • 百分数的意义

    • 概念： 表示一个数是另一个数的百分之几的数，也叫百分率或百分比。
    • 表示方法： 用“%”表示。 例如：25%
    • 意义： 表示一个数占总体的百分之几。
    • 注意点： 百分数不能带单位。

  • 百分数与分数、小数的互化

    • 百分数化分数： 先把百分数写成分母是100的分数，再化简。
    • 百分数化小数： 把百分号去掉，小数点向左移动两位。
    • 分数化百分数： 先把分数化成小数（除不尽时保留三位小数），再把小数点向右移动两位，同时添上百分号。
    • 小数化百分数： 把小数点向右移动两位，同时添上百分号。
    • 举例： 25% = 1/4， 0.75 = 75%， 3/4 = 0.75 = 75%

  • 百分数的应用（求百分率）

    • 公式： (部分量 ÷ 总量) × 100% = 百分率
    • 常见百分率：
      • 合格率：(合格产品数 ÷ 产品总数) × 100%
      • 出勤率：(实际出勤人数 ÷ 应出勤人数) × 100%
      • 发芽率：(发芽种子数 ÷ 种子总数) × 100%
    • 举例： 某班有50人，今天有2人请假，求今天的出勤率。 (48 ÷ 50) × 100% = 96%

  • 百分数的应用（求增加或减少的百分数）

    • 增加的百分数： (增加的量 ÷ 原来的量) × 100%
    • 减少的百分数： (减少的量 ÷ 原来的量) × 100%
    • 举例： 某商品原价100元，现价80元，降价百分之多少？ (100-80) ÷ 100 × 100% = 20%

  • 百分数的应用（折扣、成数、税率、利率）

    • 折扣： 商品按原价的百分之几出售，叫做折扣。 例如：八折 = 80%
    • 成数： 用“几成”表示，一成 = 10%。 例如：八成 = 80%
    • 税率： 应纳税额与各种收入（销售额、营业额……）的比率。
    • 利率： 一定时期内存入银行的本金所生的利息与本金的比率。 利率分年利率、月利率、日利率。
    • 公式：
      • 利息 = 本金 × 利率 × 时间
      • 税额 = 应纳税所得额 × 税率
    • 举例： 某商品打八折后售价80元，原价多少元？ 80 ÷ 80% = 100元

这些思维导图覆盖了六年级数学上册的主要内容，旨在帮助学生更好地理解和掌握知识点，提高学习效率。