考研数学
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微积分 (Calculus)
- 极限与连续 (Limits and Continuity)
- 极限概念
- 数列极限
- 函数极限 (ε-δ定义)
- 极限性质
- 唯一性、局部保号性、局部有界性
- 运算性质 (四则运算、复合函数极限)
- 夹逼定理
- 单调有界数列必有极限
- 极限计算方法
- 等价无穷小代换
- 洛必达法则 (L'Hôpital's Rule)
- 泰勒公式 (Taylor Series expansion)
- 重要极限 (sin(x)/x, (1+1/x)^x)
- 利用导数定义
- 定积分定义
- 函数连续性
- 连续概念 (定义、左右连续)
- 间断点类型 (第一类: 可去、跳跃； 第二类: 无穷、振荡)
- 闭区间连续函数的性质
- 最值定理
- 介值定理 (零点定理)
- 一元函数微分学 (Single Variable Differentiation)
- 导数与微分
- 导数定义 (左导数、右导数)
- 几何意义、物理意义
- 可导与连续关系 (可导必连续，连续不一定可导)
- 微分概念
- 导数计算
- 基本初等函数导数公式
- 导数运算法则 (四则、复合函数链式法则)
- 隐函数求导
- 参数方程求导
- 高阶导数
- 微分中值定理与导数应用
- 罗尔定理 (Rolle's Theorem)
- 拉格朗日中值定理 (Lagrange's Mean Value Theorem)
- 柯西中值定理 (Cauchy's Mean Value Theorem)
- 导数应用
- 函数单调性判别
- 极值与最值
- 曲线凹凸性与拐点
- 渐近线
- 曲率与曲率半径
- 方程的根
- 一元函数积分学 (Single Variable Integration)
- 不定积分
- 原函数与不定积分概念
- 基本积分公式
- 积分方法
- 换元积分法 (第一类、第二类)
- 分部积分法
- 有理函数积分
- 定积分
- 定积分概念与性质
- 积分上限函数及其导数 (牛顿-莱布尼茨公式)
- 积分方法
- 换元法
- 分部法
- 广义积分 (瑕积分、无穷限积分)
- 定积分应用
- 几何应用 (面积、体积、弧长、旋转曲面面积)
- 物理应用 (变力做功、水压力、重心)
- 多元函数微积分 (Multivariable Calculus)
- 多元函数基本概念
- 概念、定义域
- 极限、连续
- 偏导数与全微分
- 偏导数定义与计算
- 全微分概念 (可微与偏导数存在关系)
- 链式法则
- 高阶偏导数
- 隐函数与方程组确定函数的偏导数
- 方向导数与梯度
- 多元函数极值与条件极值
- 无条件极值 (必要条件、充分条件)
- 条件极值 (拉格朗日乘数法)
- 多元函数积分学 (Multivariable Integration)
- 二重积分
- 概念、性质
- 计算方法 (直角坐标、极坐标)
- 交换积分次序
- 应用 (面积、体积、重心、转动惯量)
- 三重积分
- 概念、性质
- 计算方法 (直角坐标、柱坐标、球坐标)
- 应用 (体积、质量、重心)
- 曲线积分与曲面积分 (Line and Surface Integrals)
- 第一类曲线积分 (对弧长积分)
- 概念、计算方法
- 应用 (质量、重心)
- 第二类曲线积分 (对坐标积分)
- 概念、计算方法
- 格林公式 (Green's Theorem)及其应用
- 路径无关条件
- 第一类曲面积分 (对面积积分)
- 概念、计算方法
- 应用 (质量、重心)
- 第二类曲面积分 (对坐标积分)
- 概念、计算方法
- 高斯公式 (Divergence Theorem)及其应用
- 斯托克斯公式 (Stokes' Theorem)及其应用
- 无穷级数 (Infinite Series)
- 常数项级数
- 概念、收敛性判别 (正项级数判别法、交错级数判别法)
- 绝对收敛与条件收敛
- 幂级数
- 收敛半径、收敛区间、收敛域
- 幂级数的运算性质 (和、差、积、商)
- 幂级数的逐项求导与逐项积分
- 函数展开成幂级数 (泰勒级数、麦克劳林级数)
- 傅里叶级数 (Fourier Series) (部分专业要求)
- 狄利克雷收敛定理
- 周期函数的傅里叶级数
- 奇函数、偶函数的傅里叶级数
- 非周期函数在有限区间的傅里叶级数
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线性代数 (Linear Algebra)
- 行列式 (Determinants)
- 定义 (按行/列展开)
- 性质 (转置、行列互换、倍加、倍乘、两行/列相同/成比例)
- 计算方法 (行/列初等变换化为三角形、性质结合)
- 应用 (伴随矩阵、逆矩阵、线性方程组)
- 矩阵 (Matrices)
- 基本概念 (类型、运算：加减、数乘、乘法)
- 矩阵的性质 (转置、对称、反对称)
- 逆矩阵
- 定义
- 计算方法 (伴随矩阵法、初等变换法)
- 性质 ((AB)^-1 = B^-1 A^-1)
- 伴随矩阵
- 定义、性质 (AA = AA = |A|I)
- 矩阵的秩
- 定义 (行秩、列秩、子式秩)
- 性质 (rk(A+B), rk(AB), rk(A^T A))
- 计算方法 (初等变换化为阶梯形)
- 向量 (Vectors)
- n维向量概念、运算
- 线性组合与线性表示
- 线性相关与线性无关
- 定义
- 判别法 (定义、向量组与矩阵秩关系、行列式判别)
- 性质 (部分组相关/无关、整体组相关/无关)
- 向量组的极大无关组
- 定义、求法 (初等变换)
- 向量组的秩
- 定义 (向量组的秩等于其极大无关组含向量个数)
- 计算 (向量组构成矩阵的秩)
- 线性方程组 (Systems of Linear Equations)
- 概念 (齐次、非齐次)
- 解的判别
- 非齐次方程组 Ax=b 有解 <=> rk(A) = rk([A|b])
- 齐次方程组 Ax=0 有非零解 <=> rk(A) < n (未知量个数)
- 解的结构
- 齐次方程组的解空间、基础解系 (求法)
- 非齐次方程组的通解 (特解 + 对应齐次方程组通解)
- 解法 (高斯消元法)
- 特征值与特征向量 (Eigenvalues and Eigenvectors)
- 定义
- 计算方法 (特征多项式 |A-λI|=0 求λ，代入 (A-λI)x=0 求x)
- 性质 (迹、行列式与特征值关系，不同特征值对应特征向量线性无关)
- 矩阵的相似与对角化 (Matrix Similarity and Diagonalization)
- 相似矩阵定义
- 相似对角化
- 定义
- 判别条件 (有n个线性无关的特征向量 <=> A相似于对角阵)
- 实对称矩阵的相似对角化 (必存在，且存在正交矩阵使其对角化)
- 正交矩阵与正交变换
- 二次型 (Quadratic Forms)
- 概念 (二次型、二次型矩阵)
- 化标准形
- 配方法
- 正交变换法 (针实对称矩阵)
- 规范形
- 正定性判别 (顺序主子式法、特征值法)
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概率论与数理统计 (Probability and Mathematical Statistics)
- 概率论基本概念 (Basic Probability Concepts)
- 随机事件与样本空间
- 事件关系与运算
- 概率定义 (古典概型、几何概型、统计概型、公理化定义)
- 概率性质 (加法公式、减法公式、逆事件概率)
- 条件概率
- 事件独立性 (定义、判别)
- 全概率公式、贝叶斯公式
- 随机变量及其分布 (Random Variables and Distributions)
- 随机变量概念 (离散型、连续型)
- 离散型随机变量分布
- 概率分布列 (PMF)
- 常见分布 (0-1分布、二项分布B(n,p)、泊松分布P(λ)、几何分布、超几何分布)
- 连续型随机变量分布
- 概率密度函数 (PDF)
- 分布函数 (CDF) (性质、求法)
- 常见分布 (均匀分布U(a,b)、指数分布E(λ)、正态分布N(μ,σ^2))
- 随机变量函数的分布
- 多维随机变量及其分布 (Multidimensional Random Variables and Distributions)
- 二维随机变量 (概念、联合分布)
- 联合分布列 (离散型)
- 联合概率密度函数 (连续型)
- 边缘分布、条件分布
- 随机变量的独立性 (定义、判别)
- 二维随机变量函数的分布
- 随机变量的数字特征 (Numerical Characteristics of Random Variables)
- 期望 (E(X))
- 定义 (离散型、连续型)
- 性质 (常数、线性性质、独立变量乘积期望)
- 方差 (D(X) 或 Var(X))
- 定义、计算公式
- 性质 (常数、线性性质、独立变量和的方差)
- 标准差 (√D(X))
- 协方差 (Cov(X,Y))
- 定义、计算公式
- 性质 (Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y))
- 相关系数 (ρ_{XY})
- 定义
- 性质 (|ρ| <= 1, ρ=0不一定独立，独立必ρ=0)
- 条件期望 (E(X|Y=y))
- 大数定律与中心极限定理 (Laws of Large Numbers and Central Limit Theorem)
- 切比雪夫不等式
- 大数定律 (切比雪夫、伯努利、辛钦)
- 中心极限定理 (列维-林德伯格、棣莫弗-拉普拉斯)
- 数理统计基本概念 (Basic Concepts of Mathematical Statistics)
- 总体与样本 (简单随机抽样)
- 统计量
- 概念
- 常用统计量 (样本均值、样本方差、样本标准差、样本k阶矩)
- 抽样分布
- χ^2分布
- t分布
- F分布
- 正态总体的样本均值和样本方差的分布
- 参数估计 (Parameter Estimation)
- 点估计 (Point Estimation)
- 矩法估计
- 极大似然估计
- 估计量的评判标准 (无偏性、有效性、相合性)
- 区间估计 (Interval Estimation)
- 置信区间、置信水平
- 单个正态总体均值和方差的区间估计
- 两个正态总体均值差和方差比的区间估计
- 假设检验 (Hypothesis Testing)
- 基本概念 (原假设、备择假设、显著性水平、两类错误)
- 检验步骤
- 正态总体均值和方差的假设检验 (U检验、t检验、χ^2检验、F检验)
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考研数学复习策略 (Exam Review Strategies)
- 整体规划
- 制定复习计划 (分阶段、分模块)
- 选择复习资料 (教材、习题集、模拟题)
- 基础阶段 (概念、定理、公式)
- 仔细研读教材，理解概念本质
- 掌握基本计算方法
- 强化阶段 (题型、方法、技巧)
- 分类刷题 (按章节、按题型)
- 总结解题方法和思路
- 错题整理与分析
- 冲刺阶段 (模拟、查漏补缺)
- 模拟考试 (掐时间、真实环境)
- 回归基础，巩固薄弱环节
- 熟悉考试流程和答题规范
- 各阶段重点
- 高数：概念理解、计算能力、定理应用、多元函数、级数
- 线代：概念理解、计算能力、向量相关、特征值/向量、二次型
- 概率统计：概念理解、公式记忆、分布应用、参数估计、假设检验
- 复习误区
- 只看不练
- 只求难题，忽视基础
- 题海战术，不总结反思
- 偏科严重
- 考试技巧
- 时间分配
- 审题仔细
- 步骤清晰，过程完整
- 适当放弃难题，保证会做的得分
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数学(一)、(二)、(三) 区别 (Math I, II, III Differences)
- 数学(一): 微积分、线性代数、概率统计 (内容最全、要求最高)
- 数学(二): 微积分 (不含线面积分、级数)、线性代数 (不含二次型、正定性)、概率统计 (不含参数估计、假设检验)
- 数学(三): 微积分 (侧重经济应用，线面积分、级数要求低)、线性代数、概率统计 (侧重经济应用)
- 具体差异需对照最新考纲
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常考题型 (Common Exam Questions Types)
- 计算题 (极限、导数、积分、行列式、矩阵运算、特征值等)
- 证明题 (中值定理、不等式、性质等)
- 应用题 (微分应用、积分应用、概率应用、线性代数应用)
- 概念题 (判断、选择)