数学元素思维导图

# 《数学元素思维导图》

## 一、数与代数

### 1.1 数

*   **1.1.1 自然数 (N)**
    *   定义：非负整数 (0, 1, 2, 3...)
    *   性质：有序性，无限性
    *   运算：加法，乘法，减法，除法 (不一定封闭)
    *   应用：计数，排序
*   **1.1.2 整数 (Z)**
    *   定义：自然数及其相反数 (...-2, -1, 0, 1, 2...)
    *   性质：有序性，无限性
    *   运算：加法，乘法，减法，除法 (不一定封闭)
    *   应用：表示温度，海拔，债务
*   **1.1.3 有理数 (Q)**
    *   定义：可表示为 p/q (p, q为整数, q≠0) 的数
    *   种类：整数，分数 (有限小数，无限循环小数)
    *   性质：稠密性
    *   运算：加法，乘法，减法，除法 (除0外封闭)
    *   应用：测量，比例，百分比
*   **1.1.4 无理数**
    *   定义：无限不循环小数
    *   种类：π, √2, e
    *   性质：不可表示为分数
    *   运算：与有理数运算遵循实数运算规则
    *   应用：几何，物理
*   **1.1.5 实数 (R)**
    *   定义：有理数和无理数的集合
    *   性质：完备性
    *   运算：加法，乘法，减法，除法 (除0外封闭)
    *   应用：所有数学领域
*   **1.1.6 复数 (C)**
    *   定义：形如 a + bi (a, b为实数, i为虚数单位, i² = -1) 的数
    *   组成：实部 (a)，虚部 (b)
    *   运算：加法，乘法，减法，除法
    *   应用：工程，物理

### 1.2 代数式

*   **1.2.1 单项式**
    *   定义：数字与字母的乘积 (或单独的数字或字母)
    *   系数：单项式中的数字因数
    *   次数：所有字母的指数之和
*   **1.2.2 多项式**
    *   定义：几个单项式的和
    *   项：多项式中的每个单项式
    *   次数：多项式中次数最高的项的次数
*   **1.2.3 整式**
    *   定义：单项式和多项式的统称
    *   运算：加法，减法，乘法，除法
*   **1.2.4 分式**
    *   定义：形如 A/B (A, B为整式, B≠0) 的式子
    *   性质：分子分母同时乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变
    *   运算：加法，减法，乘法，除法
*   **1.2.5 方程**
    *   定义：含有未知数的等式
    *   解：使方程成立的未知数的值
    *   类型：一元一次方程，二元一次方程，一元二次方程
    *   应用：解决实际问题
*   **1.2.6 不等式**
    *   定义：用不等号连接的式子
    *   解集：使不等式成立的未知数的取值范围
    *   类型：一元一次不等式，一元二次不等式
    *   应用：解决实际问题

### 1.3 函数

*   **1.3.1 定义**
    *   概念：自变量和因变量之间的对应关系
    *   表示：解析式，图像，表格
*   **1.3.2 常见函数**
    *   一次函数：y = kx + b (k≠0)
    *   二次函数：y = ax² + bx + c (a≠0)
    *   反比例函数：y = k/x (k≠0)
    *   指数函数：y = a^x (a>0, a≠1)
    *   对数函数：y = log_a(x) (a>0, a≠1, x>0)
    *   三角函数：sin x, cos x, tan x
*   **1.3.3 函数性质**
    *   定义域
    *   值域
    *   单调性
    *   奇偶性
    *   周期性
    *   最值

## 二、空间与几何

### 2.1 平面几何

*   **2.1.1 点，线，面**
    *   基本元素
    *   关系：点在线上，线在面上
*   **2.1.2 图形**
    *   三角形
        *   种类：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，等腰三角形，等边三角形
        *   性质：内角和180°，边角关系
    *   四边形
        *   种类：平行四边形，矩形，菱形，正方形，梯形
        *   性质：边角关系，对角线关系
    *   圆
        *   要素：圆心，半径，直径
        *   性质：周长，面积，弧长，扇形面积
*   **2.1.3 全等与相似**
    *   全等：形状和大小完全相同
    *   相似：形状相同，大小不同
    *   判定定理
*   **2.1.4 变换**
    *   平移
    *   旋转
    *   轴对称
    *   位似

### 2.2 立体几何

*   **2.2.1 空间图形**
    *   棱柱
    *   棱锥
    *   圆柱
    *   圆锥
    *   球
*   **2.2.2 位置关系**
    *   直线与直线
        *   平行
        *   相交
        *   异面
    *   直线与平面
        *   平行
        *   垂直
        *   相交
    *   平面与平面
        *   平行
        *   相交
*   **2.2.3 表面积与体积**
    *   公式
    *   计算

### 2.3 解析几何

*   **2.3.1 坐标系**
    *   直角坐标系
    *   极坐标系
*   **2.3.2 直线方程**
    *   点斜式
    *   斜截式
    *   两点式
    *   一般式
*   **2.3.3 圆的方程**
    *   标准方程
    *   一般方程
*   **2.3.4 圆锥曲线**
    *   椭圆
    *   双曲线
    *   抛物线

## 三、统计与概率

### 3.1 统计

*   **3.1.1 数据收集与整理**
    *   调查
    *   实验
    *   数据表格
*   **3.1.2 数据描述**
    *   平均数
    *   中位数
    *   众数
    *   方差
    *   标准差
*   **3.1.3 统计图表**
    *   条形图
    *   折线图
    *   扇形图
    *   直方图

### 3.2 概率

*   **3.2.1 随机事件**
    *   确定性事件
    *   不确定性事件
*   **3.2.2 概率的计算**
    *   古典概率
    *   几何概率
*   **3.2.3 概率的应用**
    *   预测
    *   决策

## 四、逻辑与集合

### 4.1 逻辑

*   **4.1.1 命题**
    *   定义：可以判断真假的语句
    *   种类：原命题，逆命题，否命题，逆否命题
*   **4.1.2 逻辑联结词**
    *   且 (∧)
    *   或 (∨)
    *   非 (¬)
*   **4.1.3 量词**
    *   全称量词 (∀)
    *   存在量词 (∃)

### 4.2 集合

*   **4.2.1 定义**
    *   概念：一些对象的全体
    *   元素：组成集合的每个对象
*   **4.2.2 表示**
    *   列举法
    *   描述法
*   **4.2.3 关系**
    *   元素与集合的关系：属于 (∈)，不属于 (∉)
    *   集合与集合的关系：包含 (⊆)，真包含 (⊂)，相等 (=)
*   **4.2.4 运算**
    *   交集 (∩)
    *   并集 (∪)
    *   补集 (∁)

《数学元素思维导图》

一、数与代数

1.1 数

1.1.1 自然数 (N)
- 定义：非负整数 (0, 1, 2, 3...)
- 性质：有序性，无限性
- 运算：加法，乘法，减法，除法 (不一定封闭)
- 应用：计数，排序
1.1.2 整数 (Z)
- 定义：自然数及其相反数 (...-2, -1, 0, 1, 2...)
- 性质：有序性，无限性
- 运算：加法，乘法，减法，除法 (不一定封闭)
- 应用：表示温度，海拔，债务
1.1.3 有理数 (Q)
- 定义：可表示为 p/q (p, q为整数, q≠0) 的数
- 种类：整数，分数 (有限小数，无限循环小数)
- 性质：稠密性
- 运算：加法，乘法，减法，除法 (除0外封闭)
- 应用：测量，比例，百分比
1.1.4 无理数
- 定义：无限不循环小数
- 种类：π, √2, e
- 性质：不可表示为分数
- 运算：与有理数运算遵循实数运算规则
- 应用：几何，物理
1.1.5 实数 (R)
- 定义：有理数和无理数的集合
- 性质：完备性
- 运算：加法，乘法，减法，除法 (除0外封闭)
- 应用：所有数学领域
1.1.6 复数 (C)
- 定义：形如 a + bi (a, b为实数, i为虚数单位, i² = -1) 的数
- 组成：实部 (a)，虚部 (b)
- 运算：加法，乘法，减法，除法
- 应用：工程，物理

1.2 代数式

1.2.1 单项式
- 定义：数字与字母的乘积 (或单独的数字或字母)
- 系数：单项式中的数字因数
- 次数：所有字母的指数之和
1.2.2 多项式
- 定义：几个单项式的和
- 项：多项式中的每个单项式
- 次数：多项式中次数最高的项的次数
1.2.3 整式
- 定义：单项式和多项式的统称
- 运算：加法，减法，乘法，除法
1.2.4 分式
- 定义：形如 A/B (A, B为整式, B≠0) 的式子
- 性质：分子分母同时乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变
- 运算：加法，减法，乘法，除法
1.2.5 方程
- 定义：含有未知数的等式
- 解：使方程成立的未知数的值
- 类型：一元一次方程，二元一次方程，一元二次方程
- 应用：解决实际问题
1.2.6 不等式
- 定义：用不等号连接的式子
- 解集：使不等式成立的未知数的取值范围
- 类型：一元一次不等式，一元二次不等式
- 应用：解决实际问题

1.3 函数

1.3.1 定义
- 概念：自变量和因变量之间的对应关系
- 表示：解析式，图像，表格
1.3.2 常见函数
- 一次函数：y = kx + b (k≠0)
- 二次函数：y = ax² + bx + c (a≠0)
- 反比例函数：y = k/x (k≠0)
- 指数函数：y = a^x (a>0, a≠1)
- 对数函数：y = log_a(x) (a>0, a≠1, x>0)
- 三角函数：sin x, cos x, tan x
1.3.3 函数性质
- 定义域
- 值域
- 单调性
- 奇偶性
- 周期性
- 最值

二、空间与几何

2.1 平面几何

2.1.1 点，线，面
- 基本元素
- 关系：点在线上，线在面上
2.1.2 图形
- 三角形
  - 种类：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，等腰三角形，等边三角形
  - 性质：内角和180°，边角关系
- 四边形
  - 种类：平行四边形，矩形，菱形，正方形，梯形
  - 性质：边角关系，对角线关系
- 圆
  - 要素：圆心，半径，直径
  - 性质：周长，面积，弧长，扇形面积
2.1.3 全等与相似
- 全等：形状和大小完全相同
- 相似：形状相同，大小不同
- 判定定理
2.1.4 变换
- 平移
- 旋转
- 轴对称
- 位似

2.2 立体几何

2.2.1 空间图形
- 棱柱
- 棱锥
- 圆柱
- 圆锥
- 球
2.2.2 位置关系
- 直线与直线
  - 平行
  - 相交
  - 异面
- 直线与平面
  - 平行
  - 垂直
  - 相交
- 平面与平面
  - 平行
  - 相交
2.2.3 表面积与体积
- 公式
- 计算

2.3 解析几何

2.3.1 坐标系
- 直角坐标系
- 极坐标系
2.3.2 直线方程
- 点斜式
- 斜截式
- 两点式
- 一般式
2.3.3 圆的方程
- 标准方程
- 一般方程
2.3.4 圆锥曲线
- 椭圆
- 双曲线
- 抛物线

三、统计与概率

3.1 统计

3.1.1 数据收集与整理
- 调查
- 实验
- 数据表格
3.1.2 数据描述
- 平均数
- 中位数
- 众数
- 方差
- 标准差
3.1.3 统计图表
- 条形图
- 折线图
- 扇形图
- 直方图

3.2 概率

3.2.1 随机事件
- 确定性事件
- 不确定性事件
3.2.2 概率的计算
- 古典概率
- 几何概率
3.2.3 概率的应用
- 预测
- 决策

四、逻辑与集合

4.1 逻辑

4.1.1 命题
- 定义：可以判断真假的语句
- 种类：原命题，逆命题，否命题，逆否命题
4.1.2 逻辑联结词
- 且 (∧)
- 或 (∨)
- 非 (¬)
4.1.3 量词
- 全称量词 (∀)
- 存在量词 (∃)

4.2 集合

4.2.1 定义
- 概念：一些对象的全体
- 元素：组成集合的每个对象
4.2.2 表示
- 列举法
- 描述法
4.2.3 关系
- 元素与集合的关系：属于 (∈)，不属于 (∉)
- 集合与集合的关系：包含 (⊆)，真包含 (⊂)，相等 (=)
4.2.4 运算
- 交集 (∩)
- 并集 (∪)
- 补集 (∁)

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