图形的运动(二)思维导图
《图形的运动(二)思维导图》
中心主题： 图形的运动(二)
一、旋转
- 概念：
- 将图形绕一个定点沿某个方向旋转一定的角度的变换。
- 三要素：旋转中心、旋转方向（顺时针/逆时针）、旋转角度。
- 性质：
- 旋转不改变图形的形状和大小。
- 对应点到旋转中心的距离相等。
- 对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角。
- 旋转前后的图形全等。
- 作图：
- 确定旋转中心。
- 确定旋转方向和旋转角度。
- 找出图形的关键点。
- 将每个关键点绕旋转中心旋转相同的角度，得到对应的像点。
- 连接各个像点，得到旋转后的图形。
- 辅助线清晰，标明旋转中心、角度和方向。
- 旋转的应用：
- 图案设计：利用旋转创造美丽的图案和花纹。
- 解决几何问题：利用旋转变换将复杂问题转化为简单问题，例如求线段长度、证明角度相等、证明线段关系等。
- 机械设计：齿轮、风车等旋转机械的设计原理。
- 例题：
- 已知△ABC，将它绕点A顺时针旋转60°，得到△ADE，求证：BE=CD。
- 已知正方形ABCD，将△ABE绕点A顺时针旋转90°得到△ADF，求证：EF⊥AC。
- 易错点：
- 忽略旋转方向，导致作图错误。
- 混淆旋转角度和旋转角。
- 对应点找错。
- 误认为旋转改变了图形的大小。
- 进阶：
- 旋转中心在图形内部/外部的情况。
- 多次旋转。
- 与其他变换的结合，例如平移、轴对称。
二、中心对称
- 概念：
- 在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。
- 两个图形关于某个点对称，如果将这两个图形中的一个图形绕着这个点旋转180°，能够与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这个点对称。
- 性质：
- 中心对称图形绕对称中心旋转180°后与自身重合。
- 关于中心对称的两个图形全等。
- 对应点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分。
- 常见中心对称图形：
- 线段（对称中心是线段的中点）
- 正方形、矩形、菱形、平行四边形（对称中心是两条对角线的交点）
- 圆（对称中心是圆心）
- 作图：
- 确定对称中心。
- 找出图形的关键点。
- 连接每个关键点与对称中心，并延长到相同距离处，得到对应的像点。
- 连接各个像点，得到关于对称中心对称的图形。
- 应用：
- 图案设计。
- 证明线段相等、平行。
- 解决实际问题，例如设计路线等。
- 例题：
- 已知四边形ABCD和点O，画出四边形ABCD关于点O对称的图形。
- 证明：平行四边形是中心对称图形。
- 易错点：
- 找不到对应点。
- 延长线段时，没有保证对称中心是线段的中点。
- 混淆中心对称图形和轴对称图形。
- 进阶：
- 中心对称图形的性质应用。
- 利用中心对称解决复杂问题。
- 多个图形关于同一个中心对称。
三、旋转与中心对称的联系与区别
- 联系：
- 中心对称是一种特殊的旋转，旋转角度为180°。
- 中心对称图形可以看作是自身绕对称中心旋转180°后的图形。
- 区别：
- 旋转的旋转角度可以是任意角度，而中心对称的旋转角度必须是180°。
- 旋转变换不一定能得到中心对称图形，只有旋转180°才能得到中心对称图形。
- 旋转需要指定旋转中心、旋转方向和旋转角度，而中心对称只需要指定对称中心。
- 综合应用：
- 在解决几何问题时，可以灵活运用旋转和中心对称的性质，将问题转化为更易解决的形式。
- 例如，可以将旋转变换和中心对称变换结合起来，简化证明过程。
四、综合应用与提升
- 复杂图形的运动变换：
- 将图形进行多次旋转、平移和轴对称变换。
- 分析变换过程，确定每个变换的要素。
- 利用变换的性质解决问题。
- 解决实际问题：
- 分析实际问题，抽象出几何模型。
- 利用图形的运动变换解决实际问题，例如设计图案、计算面积、规划路线等。
- 空间想象能力：
- 培养空间想象能力，能够想象出图形经过运动变换后的形状和位置。
- 通过观察、实验和推理，提高空间想象能力。
- 几何证明：
- 利用旋转和中心对称的性质，证明线段相等、角相等、线段平行、垂直等几何关系。
- 灵活运用各种几何定理和性质，提高证明能力。
- 例题：
- 将一个正方形纸片进行两次对折，然后剪去一个角，展开后得到的图形是什么样的？
- 设计一个中心对称的图案。
- 利用旋转变换证明等边三角形的性质。
五、 总结
- 复习旋转和中心对称的概念、性质和作图方法。
- 总结旋转和中心对称的联系与区别。
- 掌握旋转和中心对称在解决几何问题和实际问题中的应用。
- 培养空间想象能力和逻辑推理能力。
- 反思学习过程，查漏补缺。
