《初一有理数思维导图高清》
一、有理数概念框架
mermaid graph TD A[有理数] --> B{整数} A --> C{分数} B --> D{正整数} B --> E{0} B --> F{负整数} C --> G{正分数} C --> H{负分数} D --> I[1, 2, 3...] F --> J[-1, -2, -3...]
- 有理数：可以表示成分数形式的数（有限小数或无限循环小数）。
- 整数：正整数、0、负整数的统称。
- 分数：可以表示成两个整数之比的数。包括正分数和负分数。
- 正整数：大于0的整数。
- 0：既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界点。
- 负整数：小于0的整数。
- 正分数：大于0的分数。
- 负分数：小于0的分数。
二、数轴
mermaid graph LR A[数轴] --> B{定义} A --> C{要素} B --> D[具有原点、正方向和单位长度的直线] C --> E[原点] C --> F[正方向] C --> G[单位长度] E --> H[数轴上表示0的点] F --> I[通常规定向右的方向为正方向] G --> J[表示单位长度的线段长度] A --> K[作用] K --> L[直观表示数的大小] K --> M[可以比较有理数的大小]
- 数轴的定义：具有原点、正方向和单位长度的直线。
- 数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。
- 原点：数轴上表示0的点。
- 正方向：数轴上规定的正方向，通常是向右的方向。
- 单位长度：数轴上表示一个单位长度的线段长度。
- 数轴的作用：
- 可以直观地表示数的大小关系。
- 可以比较有理数的大小。
三、相反数
mermaid graph LR A[相反数] --> B{定义} A --> C{性质} B --> D[只有符号不同的两个数互为相反数] C --> E[a的相反数是-a] C --> F[0的相反数是0] C --> G[互为相反数的两个数的和为0] A --> H[表示] H --> I[数轴上，表示互为相反数的两个点到原点的距离相等]
- 相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数。
- 性质：
- a的相反数是-a。
- 0的相反数是0。
- 互为相反数的两个数的和为0。
- 表示：数轴上，表示互为相反数的两个点到原点的距离相等。
四、绝对值
mermaid graph LR A[绝对值] --> B{定义} A --> C{几何意义} A --> D{代数意义} B --> E[数轴上表示一个数的点到原点的距离] C --> F[表示距离，总是非负的] D --> G{正数} D --> H{负数} D --> I{零} G --> J[正数的绝对值是它本身] H --> K[负数的绝对值是它的相反数] I --> L[0的绝对值是0] A --> M[公式] M --> N{|a| = a (a>0)} M --> O{|a| = -a (a<0)} M --> P{|a| = 0 (a=0)}
- 绝对值的定义：数轴上表示一个数的点到原点的距离。
- 几何意义：表示距离，总是非负的。
- 代数意义：
- 正数的绝对值是它本身。
- 负数的绝对值是它的相反数。
- 0的绝对值是0。
- 公式：
- |a| = a (a>0)
- |a| = -a (a<0)
- |a| = 0 (a=0)
五、有理数的大小比较
mermaid graph LR A[有理数大小比较] --> B{数轴比较} A --> C{规则比较} B --> D[数轴上右边的数大于左边的数] C --> E[正数>0>负数] C --> F[两个负数，绝对值大的反而小]
- 数轴比较：数轴上右边的数大于左边的数。
- 规则比较：
- 正数 > 0 > 负数
- 两个负数，绝对值大的反而小。
六、有理数的运算
mermaid graph LR A[有理数的运算] --> B{加法} A --> C{减法} A --> D{乘法} A --> E{除法} A --> F{乘方} B --> G[同号相加] B --> H[异号相加] B --> I[加法交换律] B --> J[加法结合律] C --> K[减去一个数等于加上这个数的相反数] D --> L[同号得正，异号得负] D --> M[任何数与0相乘都得0] D --> N[乘法交换律] D --> O[乘法结合律] D --> P[乘法分配律] E --> Q[除以一个数等于乘以这个数的倒数] E --> R[0不能作除数] F --> S[相同因数的乘积] F --> T[幂] F --> U[底数] F --> V[指数] F --> W[正数的任何次幂都是正数] F --> X[负数的奇次幂是负数] F --> Y[负数的偶次幂是正数]
- 加法：
- 同号相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
- 异号相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
- 加法交换律：a+b=b+a
- 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
- 减法：减去一个数等于加上这个数的相反数。a - b = a + (-b)
- 乘法：
- 同号得正，异号得负，然后把绝对值相乘。
- 任何数与0相乘都得0。
- 乘法交换律：ab=ba
- 乘法结合律：(ab)c=a(bc)
- 乘法分配律：a(b+c)=ab+a*c
- 除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数。a ÷ b = a * (1/b) (b≠0)。 0不能作除数。
- 乘方：
- 相同因数的乘积。 例如：aaa = a^3
- 幂：乘方的结果。
- 底数：被乘的因数。
- 指数：相同因数的个数。
- 正数的任何次幂都是正数。
- 负数的奇次幂是负数。
- 负数的偶次幂是正数。
七、科学计数法
mermaid graph LR A[科学计数法] --> B{定义} A --> C{表示形式} B --> D[把一个大于10的数表示成a×10^n的形式] C --> E[a×10^n] E --> F[1≤|a|<10] E --> G[n为正整数，等于原数的整数位数减1]
- 科学计数法的定义：把一个绝对值大于10的数表示成a×10^n的形式。
- 表示形式：a×10^n，其中 1≤|a|<10，n为正整数，等于原数的整数位数减1。
八、有理数混合运算
mermaid graph LR A[有理数混合运算] --> B{运算顺序} B --> C[先乘方，后乘除，最后加减] B --> D[同级运算，从左到右进行] B --> E[有括号的，先算括号里面的，先算小括号，再算中括号，最后算大括号]
- 运算顺序：
- 先乘方，后乘除，最后加减。
- 同级运算，从左到右进行。
- 有括号的，先算括号里面的，先算小括号，再算中括号，最后算大括号。